奇偶数的性质与应用
一、基本概念和知识
1. 奇数与偶数
整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k 来（k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）来表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2. 奇数与偶数的运算性质
对于两个数：
⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数； 注：加减运算符号不改变结果的奇偶性
⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数
对于多个数：
⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数
⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数.
【例1】1+3+5+„+2009的和是奇数？还是偶数？
奇数
【巩固】7+9+11+„+2017的和是奇数？还是偶数？
偶数
【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
150/2=75
【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？
300/2=150
【例3】已知a 、b 、c 中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a -1，b -2，c -3的乘积
一定是偶数。
∵a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，
∴a 、c 中至少有一个是奇数，
∴a -1，c -3中至少有一个是偶数。
又∵偶数×整数=偶数，
∴ (a -1) ⨯(b -2) ⨯ (c -3) 是偶数。
【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和
都是偶数？
1到9有五个奇数四个偶数，所以不可能，根据⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；
【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使
得每一行中的四个数之和都是偶数？
1到16有奇数偶数各八个所以可以根据⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；
【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送
了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？
解决问题的实质是送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关
由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记一次
那么互赠一次总数就要加2
所以贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数
送贺年卡的人可以分为两种：
⑴一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数
⑵另一种是送出了奇数张贺年卡的人
送出了奇数张贺年卡的总数=送出的贺年卡总数-送出了偶数张贺年卡的总数
=偶数-偶数
=偶数
由此式子看出送出奇数张贺卡的人数必须是偶数时，才使他们送出的贺年卡总数为偶数
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数
还是偶数？请说明理由。
握手是两个人共同的事情，当两个同学握手时，相对于两位同学都是握了一次手
所以每次握手次数总和总是2
因此无论总人数为多少，握手的总次数是若干个2相加为偶数。
现在我们把握手的同学分为两类：
⑴握手次数为偶数：无论人数是多少，握手总次数一定为偶；
⑵握手次数为奇数：
由于最终的握手次数为偶
⑴的握手次数也为偶
所以⑵中的握手次数和也应为偶
于是握手次数为奇数次的同学应该有偶数个
【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？
不可能因为这些数全是奇数，根据奇数个奇数之和是奇数，而28是偶数所以不可能。
【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=38
不能因为四个偶数，五个奇数，而38为一个偶数，所以不可能
奇偶数的性质与应用
一、基本概念和知识
1. 奇数与偶数
整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k 来（k 为整数）表示，奇数则可以用2k +1（k 为整数）来表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2. 奇数与偶数的运算性质
对于两个数：
⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数； 注：加减运算符号不改变结果的奇偶性
⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数
对于多个数：
⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数
⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数.
【例1】1+3+5+„+2009的和是奇数？还是偶数？
奇数
【巩固】7+9+11+„+2017的和是奇数？还是偶数？
偶数
【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
150/2=75
【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？
300/2=150
【例3】已知a 、b 、c 中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a -1，b -2，c -3的乘积
一定是偶数。
∵a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，
∴a 、c 中至少有一个是奇数，
∴a -1，c -3中至少有一个是偶数。
又∵偶数×整数=偶数，
∴ (a -1) ⨯(b -2) ⨯ (c -3) 是偶数。
【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和
都是偶数？
1到9有五个奇数四个偶数，所以不可能，根据⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；
【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使
得每一行中的四个数之和都是偶数？
1到16有奇数偶数各八个所以可以根据⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；
【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送
了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？
解决问题的实质是送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关
由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记一次
那么互赠一次总数就要加2
所以贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数
送贺年卡的人可以分为两种：
⑴一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数
⑵另一种是送出了奇数张贺年卡的人
送出了奇数张贺年卡的总数=送出的贺年卡总数-送出了偶数张贺年卡的总数
=偶数-偶数
=偶数
由此式子看出送出奇数张贺卡的人数必须是偶数时，才使他们送出的贺年卡总数为偶数
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数
还是偶数？请说明理由。
握手是两个人共同的事情，当两个同学握手时，相对于两位同学都是握了一次手
所以每次握手次数总和总是2
因此无论总人数为多少，握手的总次数是若干个2相加为偶数。
现在我们把握手的同学分为两类：
⑴握手次数为偶数：无论人数是多少，握手总次数一定为偶；
⑵握手次数为奇数：
由于最终的握手次数为偶
⑴的握手次数也为偶
所以⑵中的握手次数和也应为偶
于是握手次数为奇数次的同学应该有偶数个
【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？
不可能因为这些数全是奇数，根据奇数个奇数之和是奇数，而28是偶数所以不可能。
【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=38
不能因为四个偶数，五个奇数，而38为一个偶数，所以不可能