排列组合中涂色问题的常见方法及策略

排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题

1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240

2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法

原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

4（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A4； ⑤

⑥

① ④ （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A； 4

444

44（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A4；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A4；

4所以根据加法原理得涂色方法总数为5A4=120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：

32) 区域3与5必须同色，故有A4种；

3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，

44) 则区域3与5不同色，有A4种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，

44有A4种，故用四种颜色时共有2A4种。由加法原理可知满足题意的着色方

34法共有A4+2A4=24+224=72

3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同

色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同

的涂色方法？

分析：可把问题分为三类： 4（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为A5；

（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只

122

C5A4；

25) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A5，

2122因此，所求的涂法种数为A52C5A4A5260 4、 根据相间区使用颜色的种类分类

例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一

区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择 解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时， 有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，

此时，B、D、F各有3种着色方法故有4333108 种方法。

（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有C3A4种着色方法，此时B、

D、F有322种着色方法，故共有C3A4322432种着色方法。

（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有A4种着色方法，此时B、D、诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295 32222

3F各有2种着色方法。此时共有A4222192种方法。

故总计有108+432+192=732种方法。

说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。

二、 点的涂色问题

方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论

（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，

（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的

四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D

12分别同色，故有C5A460种方法。

（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，

再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，

2故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与

C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有

1211C5A4C2C2240种方法。

5（3） 若恰用五种颜色染色，有A5120种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360 种染色方法。

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2

D染色有13227种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是607420 解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295

解答略。

三、 线段涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，

主要方法有：（1）根据共用了多少颜色分类讨论

（2）根据相对线段是否同色分类讨论。

例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

4解法一：（1）使用四颜色共有A4种

112（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有C4C2A3种，

2（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有A4种

41122 因此，所求的染色方法数为A4C4C2A3A484种

解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312种涂色方法。

由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，

故分类讨论：

当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选 当CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227种涂色方法。

由乘法原理，总的涂色方法数为12784种

例8、用六种颜色给正四面体ABCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？

解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，

3故有A6种方法。

（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间

34不同色，故有C6A6种方法。

15（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有C3A6种方法。

（4）若恰用六种颜色涂色，则有A6种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为A6C3A6C3A6A64080种。

诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295 3241566

四、 面涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：按色数来分

例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法

原理分

解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理n153!30

5（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C6，6种方法，必有两面同色（必为相对面）

确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数

5取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2C65390

42(3)共用四种颜色,仿上分析可得 n3C6C490

3(4)共用三种颜色,n4C620

例10、四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不

同色，有多少种涂法？

C B

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：

（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A4种；

诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295 3

14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C2 A4；

314故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A4C2A472

环形问题的解决

如：如图，把一个圆分成n(n2)个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？

解：设分成n个扇形时染色方法为an种

（1） 当n=2时A1、A2有A=12种，即a2=12 2

4（2） 当分成n个扇形，如图，A，An1 1与A2不同色，A2与A3 不同色，

与An不同色，共有43n1种染色方法， 但由于An与A所以应排除An与A1邻，1

n2个扇形加在一起为同色的情形；An与A1同色时，可把An、 A1看成一个扇形，与前

n1个扇形，此时有an1种染色法，故有如下递推关系：

an43n1an1

anan143n1(an243n2)43n1

2an243n243n1an343n343n43n1

4[3n13n2(1)n3]

(1)33nn

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排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题

1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240

2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法

原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

4（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A4； ⑤

⑥

① ④ （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A； 4

444

44（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A4；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A4；

4所以根据加法原理得涂色方法总数为5A4=120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：

32) 区域3与5必须同色，故有A4种；

3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，

44) 则区域3与5不同色，有A4种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，

44有A4种，故用四种颜色时共有2A4种。由加法原理可知满足题意的着色方

34法共有A4+2A4=24+224=72

3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同

色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同

的涂色方法？

分析：可把问题分为三类： 4（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为A5；

（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只

122

C5A4；

25) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A5，

2122因此，所求的涂法种数为A52C5A4A5260 4、 根据相间区使用颜色的种类分类

例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一

区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择 解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时， 有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，

此时，B、D、F各有3种着色方法故有4333108 种方法。

（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有C3A4种着色方法，此时B、

D、F有322种着色方法，故共有C3A4322432种着色方法。

（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有A4种着色方法，此时B、D、诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295 32222

3F各有2种着色方法。此时共有A4222192种方法。

故总计有108+432+192=732种方法。

说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。

二、 点的涂色问题

方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论

（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，

（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的

四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D

12分别同色，故有C5A460种方法。

（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，

再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，

2故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与

C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有

1211C5A4C2C2240种方法。

5（3） 若恰用五种颜色染色，有A5120种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360 种染色方法。

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2

D染色有13227种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是607420 解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 诸宸教育 地址：汤阴一中对面（政通园二区） 短信联系：[1**********] QQ：1282716295

解答略。

三、 线段涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，

主要方法有：（1）根据共用了多少颜色分类讨论

（2）根据相对线段是否同色分类讨论。

例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

4解法一：（1）使用四颜色共有A4种

112（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有C4C2A3种，

2（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有A4种

41122 因此，所求的染色方法数为A4C4C2A3A484种

解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312种涂色方法。

由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，

故分类讨论：

当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选 当CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227种涂色方法。

由乘法原理，总的涂色方法数为12784种

例8、用六种颜色给正四面体ABCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？

解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，

3故有A6种方法。

（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间

34不同色，故有C6A6种方法。

15（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有C3A6种方法。

（4）若恰用六种颜色涂色，则有A6种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为A6C3A6C3A6A64080种。

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四、 面涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：按色数来分

例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法

原理分

解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理n153!30

5（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C6，6种方法，必有两面同色（必为相对面）

确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数

5取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2C65390

42(3)共用四种颜色,仿上分析可得 n3C6C490

3(4)共用三种颜色,n4C620

例10、四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不

同色，有多少种涂法？

C B

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：

（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A4种；

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14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C2 A4；

314故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A4C2A472

环形问题的解决

如：如图，把一个圆分成n(n2)个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？

解：设分成n个扇形时染色方法为an种

（1） 当n=2时A1、A2有A=12种，即a2=12 2

4（2） 当分成n个扇形，如图，A，An1 1与A2不同色，A2与A3 不同色，

与An不同色，共有43n1种染色方法， 但由于An与A所以应排除An与A1邻，1

n2个扇形加在一起为同色的情形；An与A1同色时，可把An、 A1看成一个扇形，与前

n1个扇形，此时有an1种染色法，故有如下递推关系：

an43n1an1

anan143n1(an243n2)43n1

2an243n243n1an343n343n43n1

4[3n13n2(1)n3]

(1)33nn

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