解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣, 其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜
色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5⨯4⨯3⨯4=240
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求
出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
4（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A 4；l ⑤
⑥
① ④ （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A ； 4
444
44（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A 4；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A 4；
4所以根据加法原理得涂色方法总数为5A 4=120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有A 4种；
3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
434) 则区域3与5不同色，有A 4种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，
有A 4种，故用四种颜色时共有2A 4种。
由加法原理可知满足题意的着色方法44
34共有A 4+2A 4=24+2⨯24=72
3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入
手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类： 4（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为A 5；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只
122
C 5A 4；
25) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A 5
， 2122因此，所求的涂法种数为A 5+2C 5A 4+A 5=260
4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可A 1解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，
有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，
此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4⨯3⨯3⨯3=108
种方法。 22 （2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有C 3A 4种着色方法，此时B 、
22D 、F 有3⨯2⨯2种着色方法，故共有C 3A 4⨯3⨯2⨯2=432种着色方法。
3 （3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有A 4种着色方法，此时B 、D 、
3F 各有2种着色方法。此时共有A 4⨯2⨯2⨯2=192种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成n (n ≥2) 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？
解：设分成n 个扇形时染色方法为a n 种
（1） 当n=2时A 1、A 2有A 4=12种，即a 2=12 2，A n -1 （2） 当分成n 个扇形，如图，A 1与A 2不同色，A 2与A 3 不同色，
与A n 不同色，共有4⨯3n -1种染色方法， 但由于A n 与A 所以应排除A n 与A 1邻，1
同色的情形；A n 与A 1同色时，可把A n 、 A 1看成一个扇形，与前n -2个扇形加在一起为n -1个扇形，此时有a n -1种染色法，故有如下递推关系：
a n =4⨯3n -1-a n -1
∴a n =-a n -1+4⨯3n -1=-(-a n -2+4⨯3n -2) +4⨯3n -1
2=a n -2-4⨯3n -2+4⨯3n -1=-a n -3+4⨯3n -3-4⨯3n -+4⨯3n -1
==4⨯[3n -1-3n -2+
n n +(-1) n ⨯3]=(-1) ⨯3+3
二、点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，
（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四
种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分
12别同色，故有C 5A 4=60种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再
从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，
2故有A 4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，
而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
1211C 5A 4C 2C 2=240种方法。
5（3） 若恰用五种颜色染色，有A 5=120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有5⨯4⨯3=60种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有1⨯3+2⨯2=7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是60⨯7=420
解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。 三、线段涂色问题
1) 根据共用了多少颜色分类讨论
2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方
法？
4解法一：（1）使用四颜色共有A 4种
112 （2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有C 4 C 2A 3种，
2 （3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有A 4种
41122 因此，所求的染色方法数为A 4+C 4C 2A 3+A 4=84种
解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4⨯3=12种
涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分
类讨论：
当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜
色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供
选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有1⨯3+2⨯2=7种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12⨯7=84种
例8、用六种颜色给正四面体A -BCD 的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
3故有A 6种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与
34组之间不同色，故有C 6A 6种方法。
15 （3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有C 3A 6种
方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有A 6种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为A 6+C 3A 6+C 3A 6+A 6=4080种。
四、面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？ 3241566
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理n 1=5⨯3! =30
5（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C 6，=6种方法，必有两面同色（必为相对面）
确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
5n 2=C 6⨯5⨯3=90
(3)共用四种颜色, 仿上分析可得
42n 3=C 6C 4=90
3(4)共用三种颜色, n 4=C 6=20
例10、四棱锥P -ABCD ，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同
色，有多少种涂法？
⇒C B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
3（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A 4种；
14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C 2 A 4；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A 4+C 2A 4=72
314
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣, 其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜
色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5⨯4⨯3⨯4=240
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求
出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
4（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A 4；l ⑤
⑥
① ④ （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A ； 4
444
44（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A 4；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A 4；
4所以根据加法原理得涂色方法总数为5A 4=120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有A 4种；
3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
434) 则区域3与5不同色，有A 4种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，
有A 4种，故用四种颜色时共有2A 4种。
由加法原理可知满足题意的着色方法44
34共有A 4+2A 4=24+2⨯24=72
3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入
手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类： 4（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为A 5；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只
122
C 5A 4；
25) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A 5
， 2122因此，所求的涂法种数为A 5+2C 5A 4+A 5=260
4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可A 1解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，
有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，
此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4⨯3⨯3⨯3=108
种方法。 22 （2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有C 3A 4种着色方法，此时B 、
22D 、F 有3⨯2⨯2种着色方法，故共有C 3A 4⨯3⨯2⨯2=432种着色方法。
3 （3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有A 4种着色方法，此时B 、D 、
3F 各有2种着色方法。此时共有A 4⨯2⨯2⨯2=192种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成n (n ≥2) 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？
解：设分成n 个扇形时染色方法为a n 种
（1） 当n=2时A 1、A 2有A 4=12种，即a 2=12 2，A n -1 （2） 当分成n 个扇形，如图，A 1与A 2不同色，A 2与A 3 不同色，
与A n 不同色，共有4⨯3n -1种染色方法， 但由于A n 与A 所以应排除A n 与A 1邻，1
同色的情形；A n 与A 1同色时，可把A n 、 A 1看成一个扇形，与前n -2个扇形加在一起为n -1个扇形，此时有a n -1种染色法，故有如下递推关系：
a n =4⨯3n -1-a n -1
∴a n =-a n -1+4⨯3n -1=-(-a n -2+4⨯3n -2) +4⨯3n -1
2=a n -2-4⨯3n -2+4⨯3n -1=-a n -3+4⨯3n -3-4⨯3n -+4⨯3n -1
==4⨯[3n -1-3n -2+
n n +(-1) n ⨯3]=(-1) ⨯3+3
二、点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，
（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四
种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分
12别同色，故有C 5A 4=60种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再
从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，
2故有A 4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，
而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
1211C 5A 4C 2C 2=240种方法。
5（3） 若恰用五种颜色染色，有A 5=120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有5⨯4⨯3=60种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有1⨯3+2⨯2=7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是60⨯7=420
解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。 三、线段涂色问题
1) 根据共用了多少颜色分类讨论
2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方
法？
4解法一：（1）使用四颜色共有A 4种
112 （2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有C 4 C 2A 3种，
2 （3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有A 4种
41122 因此，所求的染色方法数为A 4+C 4C 2A 3+A 4=84种
解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4⨯3=12种
涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分
类讨论：
当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜
色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供
选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有1⨯3+2⨯2=7种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12⨯7=84种
例8、用六种颜色给正四面体A -BCD 的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
3故有A 6种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与
34组之间不同色，故有C 6A 6种方法。
15 （3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有C 3A 6种
方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有A 6种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为A 6+C 3A 6+C 3A 6+A 6=4080种。
四、面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？ 3241566
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理n 1=5⨯3! =30
5（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C 6，=6种方法，必有两面同色（必为相对面）
确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
5n 2=C 6⨯5⨯3=90
(3)共用四种颜色, 仿上分析可得
42n 3=C 6C 4=90
3(4)共用三种颜色, n 4=C 6=20
例10、四棱锥P -ABCD ，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同
色，有多少种涂法？
⇒C B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
3（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A 4种；
14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C 2 A 4；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A 4+C 2A 4=72
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