2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的叫做弦
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为 、 、三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（）的直径 ，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是
2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
考点一：垂径定理 例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是： 甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2、连接AB，BC
，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
对应训练
A． B． C．8 D．12
37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
考点三：圆内接四边形的性质
例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（
）
A．6
B．5 C．3 D．
3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（
）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM
B． CB DB
C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．
3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），
4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．
一、选择题
1．（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C
、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F
，则EF的长（ ）
A．等于
B．等于 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化
2．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为
P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A
．3 B．4 C． D．
3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．
20
4．（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＞BE B． AD
BC C．∠D=1∠AEC 2D．△ADE∽△CBE
5．（2012•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°
B．35° C．25° D．20°
6．（2012•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ ）
A．
40° B．50° C．60° D．70°
7．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
8．（2012•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题
13
14．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（
的射线，点P是射线上的动点，连接
AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是
．
三、解答题 16．（
2012•荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
17．（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的叫做弦
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为 、 、三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（）的直径 ，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是
2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
考点一：垂径定理 例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是： 甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2、连接AB，BC
，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
对应训练
A． B． C．8 D．12
37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
考点三：圆内接四边形的性质
例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（
）
A．6
B．5 C．3 D．
3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（
）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM
B． CB DB
C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．
3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），
4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．
一、选择题
1．（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C
、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F
，则EF的长（ ）
A．等于
B．等于 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化
2．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为
P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A
．3 B．4 C． D．
3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．
20
4．（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＞BE B． AD
BC C．∠D=1∠AEC 2D．△ADE∽△CBE
5．（2012•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°
B．35° C．25° D．20°
6．（2012•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ ）
A．
40° B．50° C．60° D．70°
7．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
8．（2012•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题
13
14．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（
的射线，点P是射线上的动点，连接
AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是
．
三、解答题 16．（
2012•荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
17．（2012•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．