钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进_上_两端支承的构件

第12卷第5期2010年10月

建筑钢结构进展

Progress in Steel Building Structu res V o l. 12N o. 5 O ct. 2010

国家标准钢结构设计规范! (GB 50017) 修订专题讨论论文

钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上)

∀∀∀两端支承的构件

陈绍蕃

(西安建筑科技大学结构工程与抗震教育部重点实验室, 西安 710055)

摘要: 首先阐述两端简支的弹性压弯构件面内等效弯矩系数的理论侧面及公式的简化。考虑了3种不同的加载工

况。对于兼承横向荷载和端弯矩的工况, 提出应用叠加原理的方法, 可以得到简单而精度较好的解。其次, 用现有面内稳定极限承载力资料校验建议的计算公式, 3种工况都得到满意的结果。最后论证, 把简支构件 m 系数计算公式中的欧拉临界力改为端部约束杆的临界力, 即可推广到构件端部有约束的情况。

关键词: 压弯构件; 面内稳定; 等效弯矩系数

中图分类号:T U 311. 2, T U 318. 01 文献标识码:A 文章编号:1671-9379(2010) 05-0001-07

Improvement of the Equivalent Mom ent Factor for In Plane Stability Calculation of Steel Beam Columns Part (#) :

Members Supported at Both Ends

CH EN S hao f an

(Key Laboratory of St ructural and Aseismatic Engineering of t he Education Ministry,

Xi ∃an Universit y of Architect ure and Technology, Xi ∃an 710055, China)

CH EN Shao fan:chensf2@yahoo. com. cn

Abstract : T his article firstly deals with the theoretical aspect of the in plane equivalent moment facto r for elastic beam columns

supported at both ends, as w ell as the approx i mation of relevant analytical formulas. T hree loading cases have been considered. F or members subject simultaneously to end moments and transverse loading, application of the principle of superposition is suggested, leading easily to more precise solution. Secondly, the validity and accuracy of the r ecommended formulas are checked by available data of the ultimate stability capacity. Satisfactory results are obtained fo r all the three loading cases. Finally, it is arg ued that, by changing the Euler critical force into that of members restrained r otationally at the ends, the for mulas of m factor also apply to the latter case.

Keywords: beam column; in plane stability ; equivalent moment factor

面内等效弯矩系数是在进行压弯构件平面内稳定计算时把非均匀分布的弯矩转化为均匀弯矩的系数。在钢结构设计规范! (GB 50017 2003) (以下简称03规范) 的公式(5. 2. 2 1)

N mx M x

+&f x A x M 1x (1-0. 8N /N %Ex )

(1)

这些符号中的下标x 表示绕x 轴(即截面强轴) 的弯曲, 下文予以省略。03规范对系数 m 的取值有详细规定, 但比较粗糙, 大多偏于安全。除了和框架二阶分析有关的内容外, 规定和88规范(GBJ 17 88) 没有大的区别。20世纪80年代以来, 国内外发表过多篇研讨改进 m 取值的论文。但是这个课题仍有讨论空间。现在03规范

的修订工作已经启动, 全面审视等效弯矩系数, 提高其精

[1 5]

中, 该系数用 mx 表示。式中的M x 代表所计算构件或杆

收稿日期:2010-07-02作者简介:

段的最大弯矩, 乘积度, 很有必要。mx M x 即为等效的均匀弯矩M ex 。

陈绍蕃(1919-) , 男, 硕士, 教授, 主要从事钢结构基本性能和设计原理研究。E mail:chensf2@yahoo. com. cn 。

建筑钢结构进展第12卷

1 等效弯矩系数的定义和基本公式

等效弯矩系数的任务, 是把非均匀分布的弯矩转化为等效的均匀弯矩。严格处理这一问题, 应该以压弯构件平面内稳定承载力相等作为转化的基础。但是稳定承载力不仅涉及弯矩的分布, 轴线压力的大小, 还和塑性开展有关, 情况复杂。因此, 转而以弹性范围二阶弯矩的最大值相等作为等效的条件。以图1所示承受轴线压力和跨度中央横向集中荷载的构件为例, 它的一阶最大弯矩为M max , 加上轴线压力N 对挠度产生的弯矩后, 得到二阶最大弯矩M ∋, max 。设均匀分布的等效弯矩为M e 。在同样压力N 作用下, 等效二阶弯矩的最大值为M ∋, e , 等效弯矩M e 由下式决定

M ∋, max =M ∋, e

令图1(a) , (b) 两种工况的放大系数分别为:

! =M ∋, max /M max 和 ! e =M ∋, e /M e

则有

! M max =! e M e

从而得到:

(2)

M e =

M max = m M max ! e

(3)

弹性杆在均匀弯矩和轴线压力作用下的放大系数, 可以算得为

[6]

! e =sec

kl 1+0. 23n

(21-n

(4)

式中:l 为杆长度; k =

n =N /N E 。N E 为欧拉临

界力∀EI/l 。将式(4) 代入式(3) , 得到:! 1-n (! m =

1+0. 23n e

(5)

这就是等效弯矩系数的基本计算公式, 系数的本质是折减系数, 不应大于1. 0。有的文献在简化! e 时用(1+0. 25n) 代替(1+0. 23n) [7]。

一些美国文献, 包括它的房屋钢结构规范, 把式(5) 右端的分母(1+0. 23n) 简化为1. 0, 并以C m 代表等效弯矩系数[8 10], 得到

C m =! (1-n)

(6)

采用这样的基本公式使得系数偏大, 计算结果偏于安全。用于承受端弯矩的压杆甚至会出现C m >1的不合理情况, 比如文献[2]和文献[

10]的条文说明。

图1 等效弯矩示意图

Fig. 1 Schematic of equivalent m ome nt

三分点集中荷载的放大系数和全跨均匀荷载很接

2 承受横向荷载的简支压弯构件

压弯构件的横向荷载可以是单个或多个集中荷载, 或者是均匀分布荷载。这些压杆的 m 系数都由式(5) 计算, 只是放大系数! 随荷载不同而有差异。文献[6]给出了几种工况! 的理论推导过程, 和下列简化结果:

1-0. 18n

跨度中央集中荷载 ! =(7a)

1-n 三分点两个相同的集中荷载 ! =

1+0. 051n

(7b)

1-n

近, 可以采用同一系数。式(8a, b) m 系数的精确表达式分别是sin u/u 和2(1-cos u) /u 2, u =kl/2=∀2公式的近似程度很好, 见表1。

表1 式(8a, b) 的 m 系数与精确值比较Tab . 1 Comparison of m factor of Equation (8a, b)

with accu rate values

n u sin u/u 1-0. 36n 2(1-co s u) /u 2

1-0. 18n

0. 20. 7020. 920. 930. 960. 96

0. 40. 9930. 840. 860. 920. 93

0. 61. 2170. 770. 780. 880. 89

0. 81. 4050. 700. 710. 850. 86

1. 01. 5710. 640. 640. 810. 82

1+0. 028n

全跨均布荷载 ! =(7c)

1-n 以之代入式(5) 并加以简化, 得到等效弯矩系数的实用公式:

跨度中央集中荷载 m =1-0. 36n 全跨均布荷载 m =1-0. 18n

(8a) (8b)

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

如果把以上! 系数代入式(6) , 则结果是:跨度中央集中荷载 m =1-0. 18n (1-0. 2n 全跨均布荷载 m =1-0. 03n (1. 0

(9a)

(9b)

0. 23n) (1- n) 进一步简化, 则有:

N M

+=1N cr (1-(0. 23+ ) n) M y

对此式的第二项的分子和分母分别引进 m 和塑性

发展系数 x , 使转化为构件稳定计算公式, 并和数值方法算得的结果进行校准, 把(0. 23+ ) 改为0. 8, 即得到式(1) 。由此可见, 在确定 m 时略去(1+0. 23n) 是不恰当的。

这些数据也出现在我国的一些教科书中。03规范则更进一步简化, 对仅承横向荷载的压弯构件一概取 m =1. 0, 使计算结果更为保守。

式(9a) 和(9b) 略去(1+0. 23n) 的原因, 可能是认为式(1) 左端弯矩项中不含(1+0. 23n) , 因此计算 m 时也可把它略去。实际上对式(1) 的来源宜如下理解。从边缘屈服的下列公式出发

N M max

+=1N Pl M y

(10)

3 承受端弯矩的简支压弯构件

随着端弯矩的方向及大小的变化, 压弯构件可以是同向曲率(图2(a) ) 或反向曲率(图2(b) ) 。其二阶最大弯矩或是在跨度范围内(图2(a) ) , 或是在弯矩较大的支座处(图2(b) ) 。当二阶弯矩最大的截面D 距离跨度中央不远时, 用M ∋, max 和图1(b) 的M ∋,e 相等来进行等效操作, 其效果和D 截面位于跨度中央时不会相差很多。但是, 在图2(b) 所示的情况, 二阶最大弯矩出现在右端, 以它和位于跨度中央的M ∋,e 相等作为等效条件, 会得出过大的 m 系数。另一方面, 03规范的压弯构件强度计算公式比较严格。图2(b) 所示工况, 强度条件是构件设计的

控制因素。因此, 对 m 系数的考察可以只限于二阶最大

弯矩位于跨内的工况。

式中:N Pl 和M y 分别为构件截面的屈服压力和边缘屈服弯矩; M max 为计及初始缺陷和二阶效应的最大弯矩, 即

M max =

(1+0. 23n) M +Ne 0

1-n

[7]

e 0为反映缺陷综合影响的初曲矢高, 其值可以从M =0的条件得出。经过运算, 式(10) 转化为

N (1+0. 23n) M +=1N cr (1- n) M y

取(1+0. 23n) 的近似值1/(1-0. 23n) , 并对(1-

图2 承受端弯矩的压弯构件

Fig. 2 Beam columns subject to end m ome nts

文献[3]和[6 9]都给出二阶最大弯矩位于跨内时弯矩放大系数的计算公式

M ∋, max

! ==

M 1

-2m cos kl +m

sin kl

式中:m 为端弯矩比, m =M 2/M 1, M 1为绝对值较大者。当两端弯矩使构件产生同向曲率时m 取正号。取! e 的理论值sec

代入式(5) , 得到:

sin kl m =

由于kl =l

-2m cos kl +m

2(1-cos kl )

(11)

∀E 可知 m 是m 和n

图3 承受端弯矩的压弯构件 m 系数

Fig. 3 colu mns su bject to end moments m factor of beam

二者的函数。此式适用于m &cos kl 范围内。式(11) 在此范围内画成曲线见图3。

03规范规定:

m =0. 65+0. 35m

(12)

建筑钢结构进展第12卷

此式为图3中斜直线A B 。此线大体上比理论值的曲线都高, 虽然有小部分超出A B 直线, 并不会造成不安全后果。甚至可以考虑把它下降为A C 线, 即取

m =0. 6+0. 4m

(13)

其原因除了强度条件外, 还因压弯构件在弯矩平面内失稳时总要开展一定的塑性, 这一非弹性因素使 m 降低[9]。

对图4(b) m M = mQ M Q - m 1M 1(14b) (14c)

对图4(c) m M = m 1M 1- mQ M Q

式中:M Q 和 mQ 为集中荷载Q 产生的弯矩和它的等效弯矩

系数; M 1和 m 1为绝对值较大的端弯矩和对应于M 1, M 2的等效弯矩系数。 m Q 由式(8a) 计算。 m 1按第3节的分析宜按式(13) 取值。但是从图3看, 式(13) 在大多数情况下高于 m 的理论值。因此, 为确保安全计, 对图4(b) 所示 m 1M 1被减去的工况, 式(14b) 中的 m 1应改取为:

m 1=0. 5(1+m)

(15)

4 同时承受横向荷载和端弯矩的简支压弯

构件

如果要计算式(1) 在多重弯矩作用下的等效弯矩系

横向荷载和端弯矩的同时作用, 使弯矩图变得复杂。数, 由于式中的M x 是构件(段) 的最大弯矩, 对图4的3

种工况分别得到:为了使计算简单, 03规范对 m 系数的规定是:弯矩使构件产生同向曲率时取 m =1. 0, 产生反向曲率时 m =0. 85。实际上, 运用叠加原理可以得到不很复杂的 m , 且结果较精确。

一般地说, 叠加原理不适用于解算稳定问题。但是, 在构件轴线压力保持常值时, 叠加原理仍然适用。横向荷载作用下的二阶弯矩和端弯矩作用下的二阶弯矩相叠加, 它们的和就是总的二阶弯矩, 因此不同荷载的( m M ) 可以直接叠加。以跨度中央的集中荷载Q 和两端不等的弯矩M 1, M 2为例, 总的等效弯矩是:

对图4(a) m M = mQ M Q + m 1M 1

(14a)

对图4(c) m =( m 1M 1- mQ M Q )/M 1对图4(b)

对图4(a) m =( mQ M Q + m 1M 1) /[M Q +0. 5(M1+M 2)]

(16a)

m =( mQ M Q - m 1M 1) /[M Q -0. 5(M1-M 2)]

(16b) (16c )

但是以式(14) 直接计算 m M x 更为简便, 没有必要去计算 m 。式(14) 中 mQ 涉及到N E , 似乎使计算复杂化, 但N E 和式(1) 的N %E 只差一个系数1. 1, 总是要算的。

叠加原理也可用于承受多种横向荷载(如既有集中荷载, 又有分布荷载)

的工况。

图4 兼承横向荷载和端弯矩的构件

Fig. 4 Beam colum ns subject to transverse load together with end moments

果由N /N Pl -M/M y 曲线族表示。笔者在图中加绘直线

5 以构件的稳定承载力校验等效弯矩系数

检验等效弯矩系数取值是否适当, 正确的方法应该是把所取 m 纳入式(1) 计算构件的稳定承载力, 看它是否接近而略低于构件稳定承载力的精确值。本节就按此法考察上面三节得出的 m 计算公式的适宜性。

RS 和折线RT U , 分别代表03规范一般压弯构件的截面强度计算公式和塑性设计框架柱的强度计算公式。由图可见, 长细比等于50的构件, m

利用图5的数据校验 m 系数, 可以有两种方式。一种是对某一n =N /N E 值量出m =1时的M /M y 和m 为其它值(如0和-0. 5时) 的M /M y , 二者的比值即是精确的 m 系数。当然, 量取的数值有一定误差, 但是用于和式(12, 13) 对比, 还是足以说明问题的。表2给出这样取得的数据。

由表中数据可见式(13) 的 m 对一般压弯构件是适

5. 1 承受端弯矩的构件

图5给出文献[11]算得的热轧H 形截面压弯构件承载力的精确相关曲线, 构件截面为欧洲型号H E200A, 承受轴线压力N 和绕强轴的端弯矩M 及mM 。计算考虑了1/1000的初曲矢度和抛物线形分布的残余应力, 钢材为Q 235级。共计算了m =1. 0、0. 5、0、-0. 5和-1. 0五种端弯矩比和#=50、100、150三种构件长细比。计算结

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

宜的。第二种校验方式是:把式(1) 的强度设计值f 改为屈服强度f y , 并移至公式的左端。代入构件的截面特性A 、W , 作用效应N 、M x 和各项系数后, 考察左端两项之和和1. 0的差距。H E200A 的截面尺寸为190) 200) 6. 5) 10, A =53. 8cm 2, W x =389cm 3, N Pl =A f y =1264. 3kN , M y =Wf y =9141. 5kN cm 。按03规范规定, 截面属于b 类。当#=100时, =0. 555。现在计算N =0. 4N Pl 的工况。N =0. 4) 1264. 3=505. 7kN 。由图5得出m =1. 0、0. 5、0、-0. 5时的M/M y , 算得的M 值列于表3。面内稳定承载力相关公式改写后的第一项为N /( A f y ) =0. 72, 第二项(( mx M x ) /( x W 1x f y ) ) (1-0. 8N /N %Ex )

-1

也列于

表3中。由表的最后一行数值可知:03规范的相关公式偏于安全, 裕度约为20%; m

裕度略小。

表2 由图5量得的 m 系数Tab. 2 d from Fig. 5m factor measure

N =N /N E

#=100

m =0m =-0. 5

#=150

m =0m =-0. 5

0. 2(0. 69) *

∀∀∀

0. 30. 58∀∀∀

0. 40. 56∀0. 57∀

0. 50. 530. 350. 560. 38

0. 60. 500. 300. 500. 31

按式(13) 0. 600. 400. 600. 40

按式(12) 0. 650. 4750. 650. 475

图5 承受端弯矩构件的承载力Fig. 5 Bearing capacity of b eam columns

subject to end mom ents

注:*代表承载力的点位于图5RS 线的右侧。

表3 HE200A 压弯构件的承载力

Tab. 3 Bearing capacity of HE200A beam colum ns

m M /(kN cm) m 式(13) 相关公式第二项相关公式左端之和

122851. 000. 461. 18

0. 529250. 800. 471. 19

041140. 600. 501. 22

-0. 55942*0. 400. 481. 20

5. 2 承受横向荷载的构件

图6为文献[11]给出的H E200A 压弯构件的又一承载力相关曲线。构件承受轴线压力N 和绕弱轴的弯矩M 。包括由中央集中荷载和4分点对称荷载产生的两种工况和作为参照系的均匀受弯构件。截面绕弱轴的边缘屈服弯矩为M y =134) 23. 5=3149kN cm, 仍为b 类截面。这里着重考察中央集中荷载的工况。在同一轴向压力作用下把所能承受的弯矩和均匀受弯者比较, 就可得出等效弯矩系数。

校验的结果和承受端弯矩的构件类似, 按式(8a) 计算的 m 都略高于图6显示的数值:

#=100的构件:当n =0. 46时, 式(8a) 和图6分别给出 m =0. 83和0. 76

#=150的构件:当n =0. 52时, 式(8a) 和图6分别给出 m =0. 81和0. 68

第二种校验方式的结果是:

#=100, N /N Pl =0. 4时, 相关公式得到0. 72+0. 28=1. 0

注:*在图5R S 线右侧。

以上分析表明, 对一般压弯构件, m 改按式(13) 计算是可行的。但是, 对塑性设计的框架柱则仍应保留式(12) 。从 m 系数的性质看, 它不仅是m 的函数, 也是n 的函数, 式(12) 不和n 相联系, 难免在不少情况下偏安全稍多(参看图3) 。文献[4]推荐下列和n 挂钩的C m 计算公式

C m =1+0. 25n-0. 6n 1/3(1-m)

此式当m =1时给出大于1. 0的C m 值, 除以(1+0. 25n) 后才是等效弯矩系数。

建筑钢结构进展第12卷

#=150, N /N Pl =0. 2时, 相关公式得到0. 65+0. 45=1. 10

两个数值均不小于1. 0, 第一种工况没有多余裕度, 原因是图6中#=100时系数只有0. 516, 低于03规范的0. 555。

校验结果证实了式(8a) 中 m 计算公式的适用性。

把0. 667和0. 751代入由式(1) 改动的相关公式, 得出:

工况a 工况b

0. 72+0. 43=1. 150. 72+0. 42=1. 14

校验再次表明建议 m

计算公式的适宜性。

5. 3 同时承受横向荷载和端弯矩的构件

文献[1]分析的对象是翼缘为40t ) 2t, 腹板为80t ) t 的Q 235钢工形截面压弯构件。分析时考虑了1/1000的初弯曲和峰值为0. 3f

的残余应力。面内稳定的极限承

载力也由N 和M 的相关曲线给出。施加的作用包括只承端弯矩和兼承横向荷载和端弯矩的多种工况。这里只用图7的两种工况进行 m 系数的校验。按照式(14) , 两种工况的 m M x 分别为工况a 工况b

2M(1-0. 36n) -M =M (1-0. 72n) 1. 5M (1-0. 36n) -0. 5M =M (1-0. 54n)

分析#=100, N /N P =0. 4的构件, N =2256kN, 文献[1]图上查得相应的弯矩分别为69600kN cm 和60200kN cm 。算得n =N /N E =0. 462; 由式(14b) 算得的 m 分别为0. 667和0. 751。这两个数值都小于03规范规定的0. 85, 也分别小于文献[1]建议的0. 80和0. 85。

图6 承受横向集中荷载构件的承载力Fig. 6 Bearing capacity of b eam columns su bject to transverse concentrate load

图7 兼承横向荷载和端弯矩构件的校验

Fig. 7 Verification of beam columns subject to transverse load and end moments

献[7]把简支构件的! e 加以套用

6 端部有转动约束的构件

以上所做分析, 都是针对两端简支的构件, 而现实结构中的压弯构件通常都在端部有一定的转动约束。现有的文献除[5]论述过一端铰支, 另端有任意值转动刚度的构件外, 都只限于分析两端固定的构件。然而固端梁不可能像图1(b) 那样均匀受弯, 无法计算其放大系数! e 。因此, 只能用变通的方法。

固端梁在横向荷载和轴线压力作用下的二阶放大系数是可以推导的。当横向荷载为跨度中央的集中荷载Q 时, 文献[6 7]得出的放大系数为:

! =

1-0. 2N /N cr

1-N /N c r

对固端梁取为:

! e (

得到:

m =

1-0. 2N /N cr

(1-0. 45N /N cr

1+0. 25N /N cr

(19)

1+0. 25N /N cr

1-N /N cr

(18)

若把0. 25改为0. 23, m 的较精确近似表达式应为(1-0. 38N /N cr ) 和(1-0. 36N /N cr ) 颇为接近。

美国规范也采用类似方法, 不过仍然忽略分母中的0. 25N /N cr , 取

m =1-0. 2N /N cr

对承受横向均布荷载的构件, 文献[7]分别给出的! 和 m 为:

! =

1-0. 38N /N cr

1-N /N cr

(17)

式中:N c r 为构件的弹性临界力, N cr =∀EI /(0. 5l) , 此式除用N cr 代替N

外, 大体和简支构件的式(7a) 相同。文

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

和

m =

1-0. 38N /N cr

(1-0. 63N /N cr

1+0. 25N /N cr

(20)

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[10] ANSI AISC. Specification for structur al steel building s

[S], 2005.

[11] Ballio G, M azzolani F M.

T heory and design of steel

structures [M ].Chapman and Hall, L ondon, 1983.

但是这一! 值属于构件端截面, 以它和式(18) 跨中央的! e 相比而得出的 m 不够合理。反之, 如果取中央截面的! , m 将增大不少。然而这样做也不够合理, 因为式(1) 的M x 是所计算杆段的最大弯矩, 它出现在端部。有鉴于此, 建议比照式(8a, b) 采用下列公式计算。他们分别比式(19) 和(20) 要大一些, 可以保障安全。

跨度中央集中荷载 m =1-0. 36N /N cr (21a) 全跨均布荷载 m =1-0. 18N /N cr (21b)

式中:N cr 为临界荷载, N cr =∀EI /(∃l ) , ∃为由端部转动约束条件所确定的构件计算长度系数, 固端梁取∃=0. 5。两端有弹性转动约束的构件, 性能介于简支构件和固端构件之间, 也同样可以用这两个公式计算。应同时取和端部约束条件相对应的∃系数。

仅承端弯矩的有转动约束的一般构件, 可以和简支构件一样采取和N /N cr 无关的式(13) 的 m 。塑性设计的框架柱则取式(12) 。兼承横向荷载和端弯矩的构件仍然可以采用第4节所述的叠加方法, 只需把N /N E 改为N /N cr 就行了。

7 结论

由以上分析可以得出下列结论:

(1) 压弯构件的面内等效弯矩系数 m 是轴线压力N 的函数, 系数的精确值和N /N cr 密切相关。

(2) 等效弯矩系数实质上是个折减系数, 取值不应大于1. 0。

(3) 仅承端弯矩的压弯构件, 为简化起见, m 可以不和N /N cr 挂钩, 但塑性设计的框架柱和一般压弯构件应有所区别。

(4) 运用叠加原理可以使承受复杂弯矩图的压弯构件的 m 计算简化。

(5) 适用于简支压弯构件的式(8a, b) 和(14a, b) , 在把欧拉临界力N E 换成考虑端部转动约束的临界力N 修订工作参考。

致谢感谢同事苏明周教授审阅文稿, 研究生燕佳将文稿录入计算机。

后, 可以用于非简支构件。这些公式和式(13) 可供规范

第12卷第5期2010年10月

建筑钢结构进展

Progress in Steel Building Structu res V o l. 12N o. 5 O ct. 2010

国家标准钢结构设计规范! (GB 50017) 修订专题讨论论文

钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上)

∀∀∀两端支承的构件

陈绍蕃

(西安建筑科技大学结构工程与抗震教育部重点实验室, 西安 710055)

摘要: 首先阐述两端简支的弹性压弯构件面内等效弯矩系数的理论侧面及公式的简化。考虑了3种不同的加载工

关键词: 压弯构件; 面内稳定; 等效弯矩系数

中图分类号:T U 311. 2, T U 318. 01 文献标识码:A 文章编号:1671-9379(2010) 05-0001-07

Improvement of the Equivalent Mom ent Factor for In Plane Stability Calculation of Steel Beam Columns Part (#) :

Members Supported at Both Ends

CH EN S hao f an

(Key Laboratory of St ructural and Aseismatic Engineering of t he Education Ministry,

Xi ∃an Universit y of Architect ure and Technology, Xi ∃an 710055, China)

CH EN Shao fan:chensf2@yahoo. com. cn

Abstract : T his article firstly deals with the theoretical aspect of the in plane equivalent moment facto r for elastic beam columns

Keywords: beam column; in plane stability ; equivalent moment factor

N mx M x

+&f x A x M 1x (1-0. 8N /N %Ex )

(1)

的修订工作已经启动, 全面审视等效弯矩系数, 提高其精

[1 5]

中, 该系数用 mx 表示。式中的M x 代表所计算构件或杆

收稿日期:2010-07-02作者简介:

段的最大弯矩, 乘积度, 很有必要。mx M x 即为等效的均匀弯矩M ex 。

陈绍蕃(1919-) , 男, 硕士, 教授, 主要从事钢结构基本性能和设计原理研究。E mail:chensf2@yahoo. com. cn 。

建筑钢结构进展第12卷

1 等效弯矩系数的定义和基本公式

M ∋, max =M ∋, e

令图1(a) , (b) 两种工况的放大系数分别为:

! =M ∋, max /M max 和 ! e =M ∋, e /M e

则有

! M max =! e M e

从而得到:

(2)

M e =

M max = m M max ! e

(3)

弹性杆在均匀弯矩和轴线压力作用下的放大系数, 可以算得为

[6]

! e =sec

kl 1+0. 23n

(21-n

(4)

式中:l 为杆长度; k =

n =N /N E 。N E 为欧拉临

界力∀EI/l 。将式(4) 代入式(3) , 得到:! 1-n (! m =

1+0. 23n e

(5)

这就是等效弯矩系数的基本计算公式, 系数的本质是折减系数, 不应大于1. 0。有的文献在简化! e 时用(1+0. 25n) 代替(1+0. 23n) [7]。

一些美国文献, 包括它的房屋钢结构规范, 把式(5) 右端的分母(1+0. 23n) 简化为1. 0, 并以C m 代表等效弯矩系数[8 10], 得到

C m =! (1-n)

(6)

采用这样的基本公式使得系数偏大, 计算结果偏于安全。用于承受端弯矩的压杆甚至会出现C m >1的不合理情况, 比如文献[2]和文献[

10]的条文说明。

图1 等效弯矩示意图

Fig. 1 Schematic of equivalent m ome nt

三分点集中荷载的放大系数和全跨均匀荷载很接

2 承受横向荷载的简支压弯构件

1-0. 18n

跨度中央集中荷载 ! =(7a)

1-n 三分点两个相同的集中荷载 ! =

1+0. 051n

(7b)

1-n

近, 可以采用同一系数。式(8a, b) m 系数的精确表达式分别是sin u/u 和2(1-cos u) /u 2, u =kl/2=∀2公式的近似程度很好, 见表1。

表1 式(8a, b) 的 m 系数与精确值比较Tab . 1 Comparison of m factor of Equation (8a, b)

with accu rate values

n u sin u/u 1-0. 36n 2(1-co s u) /u 2

1-0. 18n

0. 20. 7020. 920. 930. 960. 96

0. 40. 9930. 840. 860. 920. 93

0. 61. 2170. 770. 780. 880. 89

0. 81. 4050. 700. 710. 850. 86

1. 01. 5710. 640. 640. 810. 82

1+0. 028n

全跨均布荷载 ! =(7c)

1-n 以之代入式(5) 并加以简化, 得到等效弯矩系数的实用公式:

跨度中央集中荷载 m =1-0. 36n 全跨均布荷载 m =1-0. 18n

(8a) (8b)

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

如果把以上! 系数代入式(6) , 则结果是:跨度中央集中荷载 m =1-0. 18n (1-0. 2n 全跨均布荷载 m =1-0. 03n (1. 0

(9a)

(9b)

0. 23n) (1- n) 进一步简化, 则有:

N M

+=1N cr (1-(0. 23+ ) n) M y

对此式的第二项的分子和分母分别引进 m 和塑性

这些数据也出现在我国的一些教科书中。03规范则更进一步简化, 对仅承横向荷载的压弯构件一概取 m =1. 0, 使计算结果更为保守。

N M max

+=1N Pl M y

(10)

3 承受端弯矩的简支压弯构件

控制因素。因此, 对 m 系数的考察可以只限于二阶最大

弯矩位于跨内的工况。

式中:N Pl 和M y 分别为构件截面的屈服压力和边缘屈服弯矩; M max 为计及初始缺陷和二阶效应的最大弯矩, 即

M max =

(1+0. 23n) M +Ne 0

1-n

[7]

e 0为反映缺陷综合影响的初曲矢高, 其值可以从M =0的条件得出。经过运算, 式(10) 转化为

N (1+0. 23n) M +=1N cr (1- n) M y

取(1+0. 23n) 的近似值1/(1-0. 23n) , 并对(1-

图2 承受端弯矩的压弯构件

Fig. 2 Beam columns subject to end m ome nts

文献[3]和[6 9]都给出二阶最大弯矩位于跨内时弯矩放大系数的计算公式

M ∋, max

! ==

M 1

-2m cos kl +m

sin kl

式中:m 为端弯矩比, m =M 2/M 1, M 1为绝对值较大者。当两端弯矩使构件产生同向曲率时m 取正号。取! e 的理论值sec

代入式(5) , 得到:

sin kl m =

由于kl =l

-2m cos kl +m

2(1-cos kl )

(11)

∀E 可知 m 是m 和n

图3 承受端弯矩的压弯构件 m 系数

Fig. 3 colu mns su bject to end moments m factor of beam

二者的函数。此式适用于m &cos kl 范围内。式(11) 在此范围内画成曲线见图3。

03规范规定:

m =0. 65+0. 35m

(12)

建筑钢结构进展第12卷

此式为图3中斜直线A B 。此线大体上比理论值的曲线都高, 虽然有小部分超出A B 直线, 并不会造成不安全后果。甚至可以考虑把它下降为A C 线, 即取

m =0. 6+0. 4m

(13)

其原因除了强度条件外, 还因压弯构件在弯矩平面内失稳时总要开展一定的塑性, 这一非弹性因素使 m 降低[9]。

对图4(b) m M = mQ M Q - m 1M 1(14b) (14c)

对图4(c) m M = m 1M 1- mQ M Q

式中:M Q 和 mQ 为集中荷载Q 产生的弯矩和它的等效弯矩

m 1=0. 5(1+m)

(15)

4 同时承受横向荷载和端弯矩的简支压弯

构件

如果要计算式(1) 在多重弯矩作用下的等效弯矩系

横向荷载和端弯矩的同时作用, 使弯矩图变得复杂。数, 由于式中的M x 是构件(段) 的最大弯矩, 对图4的3

对图4(a) m M = mQ M Q + m 1M 1

(14a)

对图4(c) m =( m 1M 1- mQ M Q )/M 1对图4(b)

对图4(a) m =( mQ M Q + m 1M 1) /[M Q +0. 5(M1+M 2)]

(16a)

m =( mQ M Q - m 1M 1) /[M Q -0. 5(M1-M 2)]

(16b) (16c )

叠加原理也可用于承受多种横向荷载(如既有集中荷载, 又有分布荷载)

的工况。

图4 兼承横向荷载和端弯矩的构件

Fig. 4 Beam colum ns subject to transverse load together with end moments

果由N /N Pl -M/M y 曲线族表示。笔者在图中加绘直线

5 以构件的稳定承载力校验等效弯矩系数

RS 和折线RT U , 分别代表03规范一般压弯构件的截面强度计算公式和塑性设计框架柱的强度计算公式。由图可见, 长细比等于50的构件, m

由表中数据可见式(13) 的 m 对一般压弯构件是适

5. 1 承受端弯矩的构件

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

-1

也列于

表3中。由表的最后一行数值可知:03规范的相关公式偏于安全, 裕度约为20%; m

裕度略小。

表2 由图5量得的 m 系数Tab. 2 d from Fig. 5m factor measure

N =N /N E

#=100

m =0m =-0. 5

#=150

m =0m =-0. 5

0. 2(0. 69) *

∀∀∀

0. 30. 58∀∀∀

0. 40. 56∀0. 57∀

0. 50. 530. 350. 560. 38

0. 60. 500. 300. 500. 31

按式(13) 0. 600. 400. 600. 40

按式(12) 0. 650. 4750. 650. 475

图5 承受端弯矩构件的承载力Fig. 5 Bearing capacity of b eam columns

subject to end mom ents

注:*代表承载力的点位于图5RS 线的右侧。

表3 HE200A 压弯构件的承载力

Tab. 3 Bearing capacity of HE200A beam colum ns

m M /(kN cm) m 式(13) 相关公式第二项相关公式左端之和

122851. 000. 461. 18

0. 529250. 800. 471. 19

041140. 600. 501. 22

-0. 55942*0. 400. 481. 20

5. 2 承受横向荷载的构件

校验的结果和承受端弯矩的构件类似, 按式(8a) 计算的 m 都略高于图6显示的数值:

#=100的构件:当n =0. 46时, 式(8a) 和图6分别给出 m =0. 83和0. 76

#=150的构件:当n =0. 52时, 式(8a) 和图6分别给出 m =0. 81和0. 68

第二种校验方式的结果是:

#=100, N /N Pl =0. 4时, 相关公式得到0. 72+0. 28=1. 0

注:*在图5R S 线右侧。

C m =1+0. 25n-0. 6n 1/3(1-m)

此式当m =1时给出大于1. 0的C m 值, 除以(1+0. 25n) 后才是等效弯矩系数。

建筑钢结构进展第12卷

#=150, N /N Pl =0. 2时, 相关公式得到0. 65+0. 45=1. 10

两个数值均不小于1. 0, 第一种工况没有多余裕度, 原因是图6中#=100时系数只有0. 516, 低于03规范的0. 555。

校验结果证实了式(8a) 中 m 计算公式的适用性。

把0. 667和0. 751代入由式(1) 改动的相关公式, 得出:

工况a 工况b

0. 72+0. 43=1. 150. 72+0. 42=1. 14

校验再次表明建议 m

计算公式的适宜性。

5. 3 同时承受横向荷载和端弯矩的构件

文献[1]分析的对象是翼缘为40t ) 2t, 腹板为80t ) t 的Q 235钢工形截面压弯构件。分析时考虑了1/1000的初弯曲和峰值为0. 3f

的残余应力。面内稳定的极限承

2M(1-0. 36n) -M =M (1-0. 72n) 1. 5M (1-0. 36n) -0. 5M =M (1-0. 54n)

图6 承受横向集中荷载构件的承载力Fig. 6 Bearing capacity of b eam columns su bject to transverse concentrate load

图7 兼承横向荷载和端弯矩构件的校验

Fig. 7 Verification of beam columns subject to transverse load and end moments

献[7]把简支构件的! e 加以套用

6 端部有转动约束的构件

固端梁在横向荷载和轴线压力作用下的二阶放大系数是可以推导的。当横向荷载为跨度中央的集中荷载Q 时, 文献[6 7]得出的放大系数为:

! =

1-0. 2N /N cr

1-N /N c r

对固端梁取为:

! e (

得到:

m =

1-0. 2N /N cr

(1-0. 45N /N cr

1+0. 25N /N cr

(19)

1+0. 25N /N cr

1-N /N cr

(18)

若把0. 25改为0. 23, m 的较精确近似表达式应为(1-0. 38N /N cr ) 和(1-0. 36N /N cr ) 颇为接近。

美国规范也采用类似方法, 不过仍然忽略分母中的0. 25N /N cr , 取

m =1-0. 2N /N cr

对承受横向均布荷载的构件, 文献[7]分别给出的! 和 m 为:

! =

1-0. 38N /N cr

1-N /N cr

(17)

式中:N c r 为构件的弹性临界力, N cr =∀EI /(0. 5l) , 此式除用N cr 代替N

外, 大体和简支构件的式(7a) 相同。文

第5期钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进(上) ∀∀∀两端支承的构件

和

m =

1-0. 38N /N cr

(1-0. 63N /N cr

1+0. 25N /N cr

(20)

参考文献:

[1] 任学斌, 李开禧. 钢梁柱等效弯矩系数 mx 的计算研究[J].重

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跨度中央集中荷载 m =1-0. 36N /N cr (21a) 全跨均布荷载 m =1-0. 18N /N cr (21b)

7 结论

由以上分析可以得出下列结论:

(1) 压弯构件的面内等效弯矩系数 m 是轴线压力N 的函数, 系数的精确值和N /N cr 密切相关。

(2) 等效弯矩系数实质上是个折减系数, 取值不应大于1. 0。

(3) 仅承端弯矩的压弯构件, 为简化起见, m 可以不和N /N cr 挂钩, 但塑性设计的框架柱和一般压弯构件应有所区别。

(4) 运用叠加原理可以使承受复杂弯矩图的压弯构件的 m 计算简化。

(5) 适用于简支压弯构件的式(8a, b) 和(14a, b) , 在把欧拉临界力N E 换成考虑端部转动约束的临界力N 修订工作参考。

致谢感谢同事苏明周教授审阅文稿, 研究生燕佳将文稿录入计算机。

后, 可以用于非简支构件。这些公式和式(13) 可供规范

钢压弯构件面内等效弯矩系数取值的改进_上_两端支承的构件

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