高中数学培优讲座
第三讲：平面几何证明基本方法——分析法、综合法、反证法、同一法
（一）分析法、综合法
分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程；综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论.
无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程，分析法先认定结论为真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应如何迈步，这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤.
选择型分析法解题，就是从要求解的结论B 出发，希望能一步步把问题转化，但又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论B ，需要什么样（充分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优，假设有条件C 就有结论B ，即C 就为选择找到的使B 成立的（充分）条件（C ⇒；同样地，再分析在什么样的条件下能选择得到C ，即D ⇒B ）C ，最终追溯到此结论成立或原命题的某一充分条件（或充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A 为止.
在运用选择型分析法解题时，常使用一系列短语：“只需„„即可”来刻画，具体来说，若可找到C ⇒B ，欲证A ⇒B ，只需证A ⇒C 即可.
0例题1：如图，已知∠，点B 在CE 上，CA = CB=CD，过A ，C ，D 三点的圆交ACE =∠CDE =90
AB 于F . 求证：F 为△CDE 的内心.
如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的等价（充分必要）条件，那么这种分析法又叫可逆型分析法。因而，可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形，用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法证明的命题，用可逆型分析法不一定能证明.
可逆型分析法的证明中，常用符号“⇔”来表示，或用一系列“则需证„„”来表示，并最后指出“上述每步可逆，故命题成立”. a +b 例题
2：直角△ABC 中，a 、b 为直角边长，c 为斜边长。求证：≤c 2
如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构造型措施：如构造一些条件，作某些辅助图等，进行探讨、推导，才能追溯到原命题的已知条件(或稍作变形处理) 的分析法又叫做构造型分析法.
例题3：如图，AD 是△ABC 的中线，任意引直线CF 交AB 于F ，交AD 于E ，求证：.
2AF
FB ED
在由已知条件着手较难时，或没有熟悉的模式可供化归推导时，我们可倾向于寻找简单的模式（特例），然后将一般情形化归到这个简单的模式上来。这样的综合法称为奠基型综合法. 例题4：如图，由任一点
△ABC 的三条高AD 、BE 、
段，求证：这三条垂线段
一条是其余两条的和.
P 向等边CF 作垂线中最长
的
当问题给出的已知条件较少且看不出与所求结论的直接联系时，或条件关系松散难以利用时，去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡，这样的综合法称之为媒介型综合法.
例题5：（斯特瓦尔特定理）设D 是△ABC 底边BC 上任一点，求证：
222. AD ⋅BC =AB ⋅CD +AC ⋅BD -BC ⋅BD ⋅C
类似方法可证：
1．（阿波罗尼斯定理）若AD 是△ABC 的中线，则AB . +AC =2(AD +BD )
（提示：△ADB 和△ADC 中用余弦定理）
2．（斯库顿定理）在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，则AD . =AB ⋅AC -BD ⋅C
（提示：在△CAD 和△BAD 中，用cos ） ∠CAD =cos ∠BA
3．（托勒密定理）在圆内接四边形ABCD 中，AC . ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅B
（提示：在△BAD 和△BCD 中，用cos ；又在△ABC 和△ACD 中，用∠BAD =-cos ∠BC
，分别整理出BD 2，AC 2的表达式，再相乘即证）
cos ∠ABC =-cos ∠AD 22222
解题时，运用解析法的思想制订解题的大体计划和方向，然后并不真用解析法来实现这个计划，而用综合法来实现，这种综合法我们称之为解析型综合法.
例题6：如图，在四边形ABC'D 中，已知∠B 为直角，对角线
AC=BD，过AB 、CD 之中点E 、G 作中垂线交于N ；过BC 、
中点F 、H 作中垂线交于M . 求证：B 、M 、N 三点共直线.
AD 之
上面，我们分别介绍了分析法与综合法，在解题时，这两种方法可单独使，也可结合使用，在分析中有综合，在综合中有分析，交叉使用去论证、求解问用题.
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第三讲：平面几何证明基本方法——分析法、综合法、反证法、同一法
（一）分析法、综合法
分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程；综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论.
无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程，分析法先认定结论为真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应如何迈步，这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤.
选择型分析法解题，就是从要求解的结论B 出发，希望能一步步把问题转化，但又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论B ，需要什么样（充分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优，假设有条件C 就有结论B ，即C 就为选择找到的使B 成立的（充分）条件（C ⇒；同样地，再分析在什么样的条件下能选择得到C ，即D ⇒B ）C ，最终追溯到此结论成立或原命题的某一充分条件（或充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A 为止.
在运用选择型分析法解题时，常使用一系列短语：“只需„„即可”来刻画，具体来说，若可找到C ⇒B ，欲证A ⇒B ，只需证A ⇒C 即可.
0例题1：如图，已知∠，点B 在CE 上，CA = CB=CD，过A ，C ，D 三点的圆交ACE =∠CDE =90
AB 于F . 求证：F 为△CDE 的内心.
如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的等价（充分必要）条件，那么这种分析法又叫可逆型分析法。因而，可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形，用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法证明的命题，用可逆型分析法不一定能证明.
可逆型分析法的证明中，常用符号“⇔”来表示，或用一系列“则需证„„”来表示，并最后指出“上述每步可逆，故命题成立”. a +b 例题
2：直角△ABC 中，a 、b 为直角边长，c 为斜边长。求证：≤c 2
如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构造型措施：如构造一些条件，作某些辅助图等，进行探讨、推导，才能追溯到原命题的已知条件(或稍作变形处理) 的分析法又叫做构造型分析法.
例题3：如图，AD 是△ABC 的中线，任意引直线CF 交AB 于F ，交AD 于E ，求证：.
2AF
FB ED
在由已知条件着手较难时，或没有熟悉的模式可供化归推导时，我们可倾向于寻找简单的模式（特例），然后将一般情形化归到这个简单的模式上来。这样的综合法称为奠基型综合法. 例题4：如图，由任一点
△ABC 的三条高AD 、BE 、
段，求证：这三条垂线段
一条是其余两条的和.
P 向等边CF 作垂线中最长
的
当问题给出的已知条件较少且看不出与所求结论的直接联系时，或条件关系松散难以利用时，去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡，这样的综合法称之为媒介型综合法.
例题5：（斯特瓦尔特定理）设D 是△ABC 底边BC 上任一点，求证：
222. AD ⋅BC =AB ⋅CD +AC ⋅BD -BC ⋅BD ⋅C
类似方法可证：
1．（阿波罗尼斯定理）若AD 是△ABC 的中线，则AB . +AC =2(AD +BD )
（提示：△ADB 和△ADC 中用余弦定理）
2．（斯库顿定理）在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，则AD . =AB ⋅AC -BD ⋅C
（提示：在△CAD 和△BAD 中，用cos ） ∠CAD =cos ∠BA
3．（托勒密定理）在圆内接四边形ABCD 中，AC . ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅B
（提示：在△BAD 和△BCD 中，用cos ；又在△ABC 和△ACD 中，用∠BAD =-cos ∠BC
，分别整理出BD 2，AC 2的表达式，再相乘即证）
cos ∠ABC =-cos ∠AD 22222
解题时，运用解析法的思想制订解题的大体计划和方向，然后并不真用解析法来实现这个计划，而用综合法来实现，这种综合法我们称之为解析型综合法.
例题6：如图，在四边形ABC'D 中，已知∠B 为直角，对角线
AC=BD，过AB 、CD 之中点E 、G 作中垂线交于N ；过BC 、
中点F 、H 作中垂线交于M . 求证：B 、M 、N 三点共直线.
AD 之
上面，我们分别介绍了分析法与综合法，在解题时，这两种方法可单独使，也可结合使用，在分析中有综合，在综合中有分析，交叉使用去论证、求解问用题.