数值分析作业(1)
1：思考题（判断是否正确并阐述理由）
（a ）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
(b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。
(c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。
(d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。
(f)浮点数的加法满足结合律。
(g)浮点数的加法满足交换律。
(h)浮点数构成有效集合。
(i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。 √ 2: 解释下面Matlab 程序的输出结果
t=0.1;
n=1:10;
e=n/10-n*t
3：对二次代数方程的求解问题
ax 2+bx +c =0
有两种等价的一元二次方程求解公式
-b ±x =2a
2c x = 对
a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？
4：函数sin x 的幂级数展开为： x 3x 5x 7
+-+ sin x =x -3! 5! 7!
利用该公式的Matlab 程序为
function y=powersin(x)
% powersin. Power series for sin(x)
% powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series
s=0;
t=x;
n=1;
while s+t~=s;
s=s+t;
t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t
n=n+2;
end
（a ） 解释上述程序的终止准则；
（b ） 对于x=π/2、x=11π/2、x =21π/2，计算的精度是多少？分别需
要计算多少项？
5:指数函数的幂级数展开
23x x x e =1+x +++ 2! 3!
根据该展开式，编写Matlab 程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析x
数值分析作业（2）
思考题
1：判断下面命题是否正确并阐述理由
（a ） 仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss 消元法才会失败。
(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的；
(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；
(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异；
(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵；
(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵；
(g) 一个奇异矩阵不可能有LU 分解；
(h) 奇异矩阵的范数一定是零；
(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；
（j ） 一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky 分解。 2: 全主元Gauss 消元法与列主元Gauss 消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？
3：满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？
（a ）矩阵的行列式小； （b ）矩阵的范数小；
（c ）矩阵的范数大； （d ）矩阵的条件数小；
（e ）矩阵的条件数大； （f ）矩阵的元素小；
4: 分析Jacobi 迭代法和Gauss_Seidel迭代法，回答下列问题：
(a): 它们的主要区别是什么？
（b ）：哪种方法更适合于并行计算？
(c): 哪种方法更节省存储空间？
(d): Jacobi 方法是否更快？
计算题：
⎡2-100⎤⎢-12-10⎥⎥，试求A 的Cholesky 分解 1：对矩阵A =⎢⎢0-12-1⎥⎢⎥00-12⎣⎦
⎡12-2⎤⎡2-11⎤⎥, A =⎢222⎥ 1112:对矩阵A 1=⎢⎢⎥2⎢⎥⎢⎢⎣221⎥⎦⎣-1-12⎥⎦
证明：求解以A 1为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的，而
Gauss-Seidel 方法是发散的；求解以A 2为系数矩阵的线性方程组，
Jacobi 迭代是发散的，而Gauss-Seidel 方法是收敛的。 3：对矩阵
⎡1a a ⎤⎥ a 1a ⎢⎢⎥⎢⎣a a 1⎥⎦
（a ） 参数a 取什么值，矩阵是正定的？
（b ）参数a 取什么值时，求解以A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的？
数值分析作业(1)
1：思考题（判断是否正确并阐述理由）
（a ）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
(b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。
(c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。
(d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。
(f)浮点数的加法满足结合律。
(g)浮点数的加法满足交换律。
(h)浮点数构成有效集合。
(i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。 √ 2: 解释下面Matlab 程序的输出结果
t=0.1;
n=1:10;
e=n/10-n*t
3：对二次代数方程的求解问题
ax 2+bx +c =0
有两种等价的一元二次方程求解公式
-b ±x =2a
2c x = 对
a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？
4：函数sin x 的幂级数展开为： x 3x 5x 7
+-+ sin x =x -3! 5! 7!
利用该公式的Matlab 程序为
function y=powersin(x)
% powersin. Power series for sin(x)
% powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series
s=0;
t=x;
n=1;
while s+t~=s;
s=s+t;
t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t
n=n+2;
end
（a ） 解释上述程序的终止准则；
（b ） 对于x=π/2、x=11π/2、x =21π/2，计算的精度是多少？分别需
要计算多少项？
5:指数函数的幂级数展开
23x x x e =1+x +++ 2! 3!
根据该展开式，编写Matlab 程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析x
数值分析作业（2）
思考题
1：判断下面命题是否正确并阐述理由
（a ） 仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss 消元法才会失败。
(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的；
(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；
(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异；
(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵；
(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵；
(g) 一个奇异矩阵不可能有LU 分解；
(h) 奇异矩阵的范数一定是零；
(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；
（j ） 一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky 分解。 2: 全主元Gauss 消元法与列主元Gauss 消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？
3：满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？
（a ）矩阵的行列式小； （b ）矩阵的范数小；
（c ）矩阵的范数大； （d ）矩阵的条件数小；
（e ）矩阵的条件数大； （f ）矩阵的元素小；
4: 分析Jacobi 迭代法和Gauss_Seidel迭代法，回答下列问题：
(a): 它们的主要区别是什么？
（b ）：哪种方法更适合于并行计算？
(c): 哪种方法更节省存储空间？
(d): Jacobi 方法是否更快？
计算题：
⎡2-100⎤⎢-12-10⎥⎥，试求A 的Cholesky 分解 1：对矩阵A =⎢⎢0-12-1⎥⎢⎥00-12⎣⎦
⎡12-2⎤⎡2-11⎤⎥, A =⎢222⎥ 1112:对矩阵A 1=⎢⎢⎥2⎢⎥⎢⎢⎣221⎥⎦⎣-1-12⎥⎦
证明：求解以A 1为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的，而
Gauss-Seidel 方法是发散的；求解以A 2为系数矩阵的线性方程组，
Jacobi 迭代是发散的，而Gauss-Seidel 方法是收敛的。 3：对矩阵
⎡1a a ⎤⎥ a 1a ⎢⎢⎥⎢⎣a a 1⎥⎦
（a ） 参数a 取什么值，矩阵是正定的？
（b ）参数a 取什么值时，求解以A 为系数矩阵的线性方程组，Jacobi 迭代是收敛的？