一、有理数与实数
一、有理数 1、凡能写成
q
(p , q 为整数且p ≠0) 形式的数，都是有理数. p
零和正整数统称为自然数；
⎧⎧⎧正整数⎧正整数
正有理数⎨⎪整数⎪零⎪正分数⎨⎩⎪⎪
⎪按定义分：有理数⎨零 按符号分： 有理数⎨⎩负整数 ⎪⎪⎧负整数⎧正分数⎪分数⎨⎪负有理数⎨
⎩负分数⎩负分数⎩⎩
注：0既不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数（举例：
当a=0时）；正数和0统称为非负数; 做题时看清数的范围；
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 利用数轴可以表示任意一个有理数和无理数；
⎧a (a >0)
3．绝对值可表示为：a =⎪⎨0(a =0) ；绝对值的问题经常分类讨论；
⎪⎩-a (a
4、有理数的大小比较
（1）、利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）、利用法则：正数的绝对值越大，这个数越大；正数永远比0大，负数永远比0小；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小；大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
5、倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a、b 互为负倒数.
6、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；例如2与—2 7、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 8、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ） 9、有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a（bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c）=ab+ac .
10、有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除；除以一个数也等
1a
a
于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义；
11、乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方符号表示为a n ，乘方的结果叫幂，a 叫底数，n 叫次数, 12、有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:
n n n n ｎ
（-b -a ）-a n ＝（-a ）或(a -b ) ＝ , 当n 为正偶数时: a ＝（-a ）或
ｎ
(a -b ) n ＝（b -a ）.
13、混合运算顺序：若无括号先算乘法，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序：若有括号要先算括号里的
14、近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位
.*有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
15、科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，且1
16、奇数：不是2的倍数的整数，所有奇数可以用2n-1或2n+1(n为整数) 表示；
偶数：是2的倍数的整数，所有的偶数可以用2n 表示，0也是偶数；
练习题：
1、（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2、（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ )
1
A ．0的绝对值是0 B ．是无理数 C ．|—2|的相反数是２ D ．1的倒
3
数是-1
11
3、（2010年镇江）的倒数是 ；-的相反数是
32
4、（2009年滨州）对于式子-(-8) ，下列理解：（1）可表示-8的相反数；（2）可表示-1 与-8的乘积；（3）可表示-8的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5、接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年 全国耕地面积
共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ） A 、1.14×106 B 、1.14×107 C 、1.14×108 D 、0.114×109
6、如果两个数的和与积都是正数，那么只要（ ） A ．这两个数均为正数 B．这两个数均为负数
C ．这两个数符号相同 D．有一个数为正，并且它的绝对值大于另一个数的绝对值
7、若a+b>0, ab>0。则（ ）
A 、a>0, b>0 B 、a
C 、a, b异号，且正数的绝对值较大； D 、a, b异号、且负数的绝对值较大。 8、若a ，b 是互为相反数，则（ ） A ．a 2n ，b 2n 也是互为相反数 C ．a n ，b n 也是互为相反数
B ．a 2n +1，b 2n +1也是互为相反数
D ．以上三种情况都不可能
9、计算：
2 (b -1）10、已知ab -2与 互为相反数
（1）、求a 、b 的值： （
＋
ab （1
１ａ
2）
＋＋（
、
１１ａ
试
＋）＋
求
（２（
式
ｂ）ａ
子
１
＋（＋＋
１ｂ２２
）＋０
的值
二、实数 1、
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧整数⎨⎪⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪⎪23⎪分数(小数) ⎨⎪
实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪23⎩⎩⎪
⎪
⎪无理数⎧正有理数(无限不循环小数) ⎨⎪⎩负有理数⎩
无理数即无限不循环小数，一般分3类：一是开方不尽的数，如2等；二是特定意义的数，如π；三是特定结构的数，如0.[1**********]001......
实数中的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的完全一样，运算法则、运算律也相同
2、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根），即如果x 2＝ａ，则x 叫做a 的平方根
3、一个正数有2个平方根，它们互为相反数（负的平方根不要落下）；0的平方根为0；负数没有平方根（即a 中a 要满足条件a>=0）（看清题目问的是“算术平方根”还是“平方根”，一般出现在选择填空中） 4、a 的算术平方根为，算术平方根都为非负数：
5、开方运算：求一个数a 的平方根运算，叫做开平方(与平方运算互为逆运算，即( a ) 2=b,= a ) 6、a 的立方根用“
3
a ”表示
7、立方根的性质：立方根都只有一个，正数的立方根为正数，0的立方根为0，负数的立方根为负数
8、若实数a 在数轴上的对应点为A ，实数b 在数轴上的对应点为B,, 则A 、B 两点的距离AB=a
练习题
1、下列说法中正确的是（ ） A 、
的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、
=±1 D 、
是5的平
方根的相反数
33
2、若x ＋y ＝0，则x 与y 的关系是（ ） A 、x ＝y ＝0 B 、x 与y 的值相等 C 、x 与y 互为倒数
D 、x 与y 互为相反数
3、(2010天津) 比较2
，
的大小，正确的是（ ）
Ａ．2
Ｂ．2
4、已知那么a+b-c的值为___________
5、|＋|－|＋„＋|－|
6、已知：
=0，求实数a, b的值
一、有理数与实数
一、有理数 1、凡能写成
q
(p , q 为整数且p ≠0) 形式的数，都是有理数. p
零和正整数统称为自然数；
⎧⎧⎧正整数⎧正整数
正有理数⎨⎪整数⎪零⎪正分数⎨⎩⎪⎪
⎪按定义分：有理数⎨零 按符号分： 有理数⎨⎩负整数 ⎪⎪⎧负整数⎧正分数⎪分数⎨⎪负有理数⎨
⎩负分数⎩负分数⎩⎩
注：0既不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数（举例：
当a=0时）；正数和0统称为非负数; 做题时看清数的范围；
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 利用数轴可以表示任意一个有理数和无理数；
⎧a (a >0)
3．绝对值可表示为：a =⎪⎨0(a =0) ；绝对值的问题经常分类讨论；
⎪⎩-a (a
4、有理数的大小比较
（1）、利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）、利用法则：正数的绝对值越大，这个数越大；正数永远比0大，负数永远比0小；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小；大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
5、倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a、b 互为负倒数.
6、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；例如2与—2 7、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 8、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ） 9、有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a（bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c）=ab+ac .
10、有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除；除以一个数也等
1a
a
于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义；
11、乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方符号表示为a n ，乘方的结果叫幂，a 叫底数，n 叫次数, 12、有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:
n n n n ｎ
（-b -a ）-a n ＝（-a ）或(a -b ) ＝ , 当n 为正偶数时: a ＝（-a ）或
ｎ
(a -b ) n ＝（b -a ）.
13、混合运算顺序：若无括号先算乘法，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序：若有括号要先算括号里的
14、近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位
.*有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
15、科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，且1
16、奇数：不是2的倍数的整数，所有奇数可以用2n-1或2n+1(n为整数) 表示；
偶数：是2的倍数的整数，所有的偶数可以用2n 表示，0也是偶数；
练习题：
1、（2010安徽）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2、（2010．湘潭）下列判断中，你认为正确的是（ )
1
A ．0的绝对值是0 B ．是无理数 C ．|—2|的相反数是２ D ．1的倒
3
数是-1
11
3、（2010年镇江）的倒数是 ；-的相反数是
32
4、（2009年滨州）对于式子-(-8) ，下列理解：（1）可表示-8的相反数；（2）可表示-1 与-8的乘积；（3）可表示-8的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5、接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年 全国耕地面积
共减少114000000亩，用科学记数法表示为（ ） A 、1.14×106 B 、1.14×107 C 、1.14×108 D 、0.114×109
6、如果两个数的和与积都是正数，那么只要（ ） A ．这两个数均为正数 B．这两个数均为负数
C ．这两个数符号相同 D．有一个数为正，并且它的绝对值大于另一个数的绝对值
7、若a+b>0, ab>0。则（ ）
A 、a>0, b>0 B 、a
C 、a, b异号，且正数的绝对值较大； D 、a, b异号、且负数的绝对值较大。 8、若a ，b 是互为相反数，则（ ） A ．a 2n ，b 2n 也是互为相反数 C ．a n ，b n 也是互为相反数
B ．a 2n +1，b 2n +1也是互为相反数
D ．以上三种情况都不可能
9、计算：
2 (b -1）10、已知ab -2与 互为相反数
（1）、求a 、b 的值： （
＋
ab （1
１ａ
2）
＋＋（
、
１１ａ
试
＋）＋
求
（２（
式
ｂ）ａ
子
１
＋（＋＋
１ｂ２２
）＋０
的值
二、实数 1、
⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧整数⎨⎪⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧⎪有理数⎨正分数(, ) (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪⎪23⎪分数(小数) ⎨⎪
实数⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪23⎩⎩⎪
⎪
⎪无理数⎧正有理数(无限不循环小数) ⎨⎪⎩负有理数⎩
无理数即无限不循环小数，一般分3类：一是开方不尽的数，如2等；二是特定意义的数，如π；三是特定结构的数，如0.[1**********]001......
实数中的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的完全一样，运算法则、运算律也相同
2、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根），即如果x 2＝ａ，则x 叫做a 的平方根
3、一个正数有2个平方根，它们互为相反数（负的平方根不要落下）；0的平方根为0；负数没有平方根（即a 中a 要满足条件a>=0）（看清题目问的是“算术平方根”还是“平方根”，一般出现在选择填空中） 4、a 的算术平方根为，算术平方根都为非负数：
5、开方运算：求一个数a 的平方根运算，叫做开平方(与平方运算互为逆运算，即( a ) 2=b,= a ) 6、a 的立方根用“
3
a ”表示
7、立方根的性质：立方根都只有一个，正数的立方根为正数，0的立方根为0，负数的立方根为负数
8、若实数a 在数轴上的对应点为A ，实数b 在数轴上的对应点为B,, 则A 、B 两点的距离AB=a
练习题
1、下列说法中正确的是（ ） A 、
的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、
=±1 D 、
是5的平
方根的相反数
33
2、若x ＋y ＝0，则x 与y 的关系是（ ） A 、x ＝y ＝0 B 、x 与y 的值相等 C 、x 与y 互为倒数
D 、x 与y 互为相反数
3、(2010天津) 比较2
，
的大小，正确的是（ ）
Ａ．2
Ｂ．2
4、已知那么a+b-c的值为___________
5、|＋|－|＋„＋|－|
6、已知：
=0，求实数a, b的值