图上距离与实际距离

第十章图形的相似

10．1 图上距离与实际距离

[新知导读]

1、在一幅江苏省地图上，扬州与南京的距离AB=1.25cm，实际上扬州与南京的距离AB约为100km，请根据上述条件回答下列问题：（1）线段AB与AB的比是．（2）地图的比例尺是多少？（3）在计算过程中应注意什么？

答：（1）1：8000000；（2）1：8000000；（3）单位一致。

2、已知线段a=2cm,b=4cm,c=5cm,d=10cm，它们是比例线段吗？为什么？答：是。因为a：c=b：d。 [范例点睛] 例1：已知

，

xyz

==，且2x+3y-z=18，求x，y，z的值。 234

方法点拨：设常数k等于已知，用含有k的式子分别表示x、y、z，然后解方程求出k，从而求出x，y，z的值。

易错辨析：应用常数k或其他字母表示x、y、z，而不能认为x=2,y=3,z=4。例2：(2005年安徽)小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排.和平广场位于爷爷家东400米,老年大学位于爷爷家西600米.从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米.

(1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置.

(2)求爷爷家到和平路小学的直线距离.

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方法点拨：图示中给定的单位长度可以看作比例尺，根据题意画出几个地方的位置，然后利用勾股定理进行计算。

易错辨析：和平路小学、老年大学的位置容易画错。[知识链接] “变化的鱼”

如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的。

（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？

（2）线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ [随堂演习]

1、等边三角形三边之比是___；线段2cm、8cm的比例中项为cm。 2、已知

ADAE

，AD=10，AB=30，AC=24，则． BDEC

3、下列各组长度的线段是否成比例？

（1）4cm, 6cm , 8cm , 10cm （2）4cm , 6cm , 8cm , 12cm （3）11cm , 22cm , 33cm , 66cm （4）、2cm , 4cm , 4cm , 8cm

4、在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（）

A、0.2172km B、2.172km C、21.72km D、217.2km

5、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（） A、20m B、16m C、18m D、15m

6、已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn=pq，将它改写成比例式的形式，错误的是 ( ) ．．Ａ、

mqpnqnmp

= Ｂ、= Ｃ、= Ｄ、= pnmqmpnq

abc

===k，则下列四个点中在正比例函数b+cc+aa+b

7、已知a、b、c均为正数，且

y=kx图象上的坐标是（） A、（1，

） B、（1，2） C、（1，-） D、（1，-1） 22

ADAE3ABEC

==，试求：8、如图，已知（1）；（2）的值 BDEC2BDAC

9、已知有三条长分别为1cm，4cm，8cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长

ADAE

=,AB=12,AE=6,EC=4. DBEC

DBEC

=(1)求AD的长；(2)试说明成立 ABAC

10、如图,△ABC中,

10．2 黄金分割

[新知导读]

1、如图的五角星中,

ACBC

与的关系是( ) ABAC

A、相等 B、答：A

ACBCACBC

> C、

2、（1）如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______. （2）一条线段的黄金分割点有个。

答：

（1（2）2。

[范例点睛]

例1：若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？方法点拨：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

ACBC

=，那么称线段被点ABAC

C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，AC∶AB=

-1

∶1≈0．681∶1。 2

易错辨析:有两种情况：

（1）如图(1)AC是较长线段，则AC∶AB=

(1)

5-1

∶1， 2

(2)

（2）如图(2)AC是较短线段，则BC∶AB=误区点击：容易遗漏第二种情况．

-1

：1 2

例2：如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1, 求CD的长.

方法点拨：根据C、D两点都是AB的黄金分割点分别求出AC、BD的值，再根据线段的和、差关系进行运算。

易错辨析:注意黄金比的前、后项的次序，次序写错，则所有计算都错。 [随堂演习] 一、选择题:

1、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果( )

ACBC

=,那么下列说法错误的是 ABAC

ACB

A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点 C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比 2

、黄金分割比是 ( ) A、

B、 C、 D、0.618 222

ACAC

与的值分别是( ) ABBC

3、如图,点C是AB的黄金分割点,那么

A、

, B、, 2222

C二、填空题:

4、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。

5、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC=________. （结果保留根号）

6、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形。若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________.（结果保留根号）三、解答题:

7、如图，为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么

身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋

?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释。

8、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞

台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）

9、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）

10．3 相似图形

[新知导读]

1、给你一块巴掌大的多边形的玉石，你能在上面雕刻曹雪芹的名著《红楼梦》吗？也许你会瞠目结舌：那字得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形． ①你还能举几个生活中常见的相似形吗？

如：；

②在你所举的例子中，发现相似形是相同，不一定相同的图形．

答：①略；②形状、大小。

2、下列图形不是形状相同的图形是（） A、某人的侧身照片和正面

B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C、像同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 D、一棵树与它倒影在水中的像答：A [范例点睛]

例1：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？一对双胞胎兄弟同时拍的照片是相似形吗？

思路点拨：放大镜的作用是把整个图形变大，不会改变原图形的形状；哈哈镜是一种改变人的形状的特殊镜子，可以把长变短，圆变椭圆，以达到搞笑、开心的效果；科学家研究发现世上没有相同的两个人（长相不会完全相同），通常我们说某某与某人长得好像是相似形，这是生活中语言文字描述上的相似，而不是数学上的相似形．

例2：下面各组图形中，哪些是相似形？哪些不是？ (1)

(2)

(3)

(4)

大多少倍或缩小多少倍都能使它与另一个互相重合，若两个图形是相似图形，则对应边成比例，对应角相等．②判断两个图形是不是相似图形的

例3、在图(2)所附的格点图里将(1)的图形放大思路点拨：对应线段应放大相同的倍数．易错辨析：相邻线段夹角的大小不能变化 [课外链接]放大图形的另一种方法 (1) 在原来的图片上画一些小方格子 (2) 在另一张纸上画同样数量的大方格子

（如果你想放大一倍，那么大方格子必须是小方格子边长的2倍，依此类推）． (3) 将小方格子的内容画在相应的大方格子中放大下面的图形，并尝试说明其中的一些道理．

[随堂演练]

1、下列图形中不一定是相似图形的是（） A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形 C、两个长方形 D、两个正方形

2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( ) A、50° B、95° C、35° D、25° 3、若△ABC∽△ABC，且

‘

’

AB‘‘’‘‘’

2，则△ABC与△ABC相似比是，△ABC''

与△ABC的相似比是。

4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。

与你的同伴比一比，看谁画得又快又好．

5、如图，左图格点中有一个四边形，在右边格点图中画出一个与该四边形相似的图形。

6、观察下面的各组图形，其中相似的图形有（填序号）． (1)

(2) （3）

(5) (6)

求:(1)∠ADE和∠AED的度数；

(2)DE的长.

7、如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=•40E

C8、如图，七巧板中有多少组相似三角形？拼一拼，看你能否设计出更

新颖的相似图形，试一试，和你的同学交流拼法．

9、观察一组图形，图形中的三角形都是相似三角形，根据其变化规律，可得第10个图中三角形的个数为

第三个

10、如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(不全等)，且点A1、B1、、C1都在单位正方形的顶点上．

10．4 探索三角形相似的条件(一)

教学目标：

知识目标：使学生了解判定1的证明方法并会应用，掌握例2的结论．能力目标：

1．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

2．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．情感目标：

1．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点 2．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析：

1．重点是判定定理1的应用，以及例2的结论． 2．难点是了解判定定理1的证题方法与思路．

3．疑点是用类比的方法，由全等三角形的判定方法引出三角形相似的判定定理时，全等三角形的判定方法中的“对应边相等”，在这里是“对应边成比例”，而全等中的“ASA”由于只有一条边，不能写出比，因此用全等三角形中的“ASA”引出本节判定定理1时，不需要“边”这个条件，且探讨，有两角对应相等，两三角形是否相似？教学方法：探讨发现法．教学过程

(一)复习提问：什么叫相似三角形？什么叫相似比？

(二)讲解新课

我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？

我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：

问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？答：SAS、ASA(AAS)、SSS、HL．

问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

强调：(1)学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引异、纠正． (2)用类比方法找出的新命题一定要加以证明．

如图5-35，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=B′．问：△ABC与△A′B′C′是否相似？

分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？答：三角形相似的定义，

问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．

(1)在△ABC边AB(或延长线)上，截取AD=A′B′，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”．

(2)在△ABC边AB(或延长线上)上，截取AD=A′B′，在边AC(或延长线上)截取AE=A′C′，连结DE，“作全等，证相似”．

(教师向学生解释清楚“或延长线”的情况)

虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

条件1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

∵ ∠„=∠„，∠„=∠„， ∴ △„∽△„．

例1 已知：△ABC和△ABC中，∠A=50°， ∠B=∠B=60°，∠C=70°． △ ABC与△ABC相似吗？为什么？此例题是判定的直接应用，应使学生熟练掌握．

例2已知：如图10-12，DE∥BC，

分别交AB、AC于点D、E。△ADE与△ABC相似吗？为什么？

解：（见教材）

该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定条件1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定三角形相似．

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。

练习：练习1、2、3、4．小结：

(1)判定1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路． (2)判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．

作业：教材习题10.4 1．

10．4 探索三角形相似的条件(二)

111

教学目标

知识目标：

1．使学生了解判定条件2、的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题． 2．通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解． 3．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：

4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

1．重点是使学生掌握这个判定条件，会运用它们判定三角形相似．

2．难点是对判定条件2作一种辅助线思路的进一步巩固，以及讨论这种类型题的审题及书写格式．

3．疑点是在判定条件3的证明过程中，又一次运用了利用比例证明线段相等的方法，教学时要进一步讲明和巩固这种方法．教学方法：探讨发现法教学过程

(一)复习提问

1．什么叫相似三角形？我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

2．叙述判定定理1，定理1的证题思路是什么？①作相似，证全等，②作全等，证相似)．

(二)讲解新课

类比三角形全等判定的“SAS”让学生得出：

判定条件2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知：如图，在△AB C和△A′B′C′中，

A′

CB′

A′B′: AB= A′C′: A C, ∠A=∠A′ 试说明：△ABC∽△A′B′C′．为什么？建议“已知、求证”要学生自己写出．

讨论：1.如图10－16，在△AB C和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？

2. 如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。

（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD∽△ABC （2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝__时，△AEB∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？

这种类型的题具有两层意思：一是对正确的题目加以说明；二是对不正确的题目要说出理由或举反例，但后者对于初二学生来说比较困难．为降低难度，这里的题目全是正确的，只要求学生能用学过的知识给出证明就可以了，不必研究如何判定两个三角形不相似．

练习

教材P．121练习 1、2． 3．如图, 若AD·AB=AE·AC,

则△_______∽△______，且∠

4.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，

AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长。小结：

1．让学生了解判定条件2的说明思路与方法． 2．会利用这个判定条件判定两个三角形是否相似．作业

习题10.4中2、3．

10．4 探索三角形相似的条件(三)

教学目标

知识目标：

1．使学生了解判定条件3的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题． 2．通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解． 3．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：

4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

1．重点是使学生掌握这个判定条件，会运用它们判定三角形相似．

2．难点是对判定条件2作辅助线思路的进一步巩固，以及例3这种类型题的审题及书写格式．

(一)复习提问

1．我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

2．叙述判定条件1、2，判断条件2的证题思路是什么？①作相似，证全等，②作全等，证相似)．

3、两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？

(二)讲解新课

类比三角形全等判定的“SSS”让学生得出：

判定条件3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．

A′

CB′

已知：如图，在△AB C和△A′B′C′中， A′B′: AB= A′C′: A C=BC：B′C′, ∠A=∠A′ 试说明：△ABC∽△A′B′C′．为什么？建议“已知、求证”要学生自己写出．

另外，仿照判定条件2的说明思路，让学生自己说出辅助线的作法在讲解判定条件3的过程中，再一次强调使用比例证明线段相等的方法，以便使学生能够熟练掌握它．

例3 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由。 (1)∠A=100°，AB=5cm，AC=10cm∠A′=100°，A′B′=8cm，A′C′=12cm； (2) AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm，这种类型的题具有两层意思：一是对正确的题目加以说明；二是对不正确的题目要说出理由或举反例，但后者对于初二学生来说比较困难．为降低难度，这里的题目全是正确的，只要求学生能用学过的知识给出证明就可以了，不必研究如何判定两个三角形不相似．

练习练习 1、2．

ABBCCA

==BDBEED

3、如图，已知，

试说明：∠ABD＝∠CBE，为什么？小结：

1．让学生了解判定条件3的说明思路与方法． 2．会利用这个判定定理判定两个三角形是否相似． (四)作业

习题10.4中4、5、6．

10．4探索三角形相似的条件(四)

教学目标

知识目标：

1．使学生掌握应用判定条件1、2、3解决有关问题．

2．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：

继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

1．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点 2．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

1．重点是使学生掌握判定条件1、2、3，并会运用它判定三角形相似． 2．难点是探索几何命题的说明思路以及例4这种探索性题目的分析思维方法． 3．疑点是要求在记两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，同此例4中要使△ABC∽△CBD，应有点A与C，B与B，C与D成对应点，对应边分别是斜边AB和一条直角边CB．同样有△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD。注意对应关系。教学方法：探索发现法．教学过程

(一)复习提问

1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？(4种) 2．叙述平行线判别相似三角形的条件、判定条件1、2、3。 (也可用小纸条让学生默写)．

其中判定条件1、2、3的说明思路是什么？(①作相似，证全等；②作全等，证相似)．

(二)讲解新课

例4、如图，在Rt⊿ABC中，△ACB＝90°，CD是斜边AB上的高。（1）图中有相似三角形？请用符号把它们表示出来，并说明理由；（2）AC是哪两条线段的比例中项？为什么？

解：(略)

教师在讲解例题时，应指出要使△ABC∽△CBD应有点A与C， C与D，B与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．

例5、如图，在正方形ABCD中，点M、N分号在AB、BC上， AB＝4，AM＝1，BN＝0.75。

（1） △ADM与△BMN相似吗？为什么？（2）求∠DMN的度数。解：(略) 详见课本P124例5。

例6、如图，当BD与a、b满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？(不指明对应

关系)

解：(略)．

探索性题目是已知命题的结论，寻找使结论成立的题设，是探索充分条件，所以有一定难度．为了降低难度，本题中给了探索方向，即“BD与a、b满足怎样的关系式”．

这种题目体现分析问题的思维方法，对培养学生研究问题的习惯有好处，教师要给予足够重视．但由于有一定难度，只要求学生了解这类问题的思考方法，不应提高要求或增加难度．

练习

教材P125 练习中 1、2．

3、如图在∆PCD是正三角形，∠APB＝60，试说明：⊿APC∽⊿PBD 小结：

(1)前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用． (2)关于探索性题目的处理．作业

习题10.4中7、8．

10．4探索三角形相似的条件(五)

教学目标：

灵活运用相似三角形判别的不同条件解决问题，进不步体会判断三角形相似的各种

条件各自的运用特点。

通过对具体问题图形的观察、条件分析、思考、提高观察图形、分析问题、数形结

合的解决问题的能力。

教学重点：分析条件与对应图形的结合并找出解题的方向教学难点：如何将判别方法与对应思考中的相似三角形结合学习方法：观察法想像法小组讨论交流练习法教学过程［知识回顾］

1. 如图1已知∠ADE=∠B,则∆AED _________理由是___________________ 2. 如图2若

=________，则∆AEF ∆ABC，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿AB

＿＿＿＿；若∆AEF ∆ABC，则EF与BC的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3. 在∆ABC和∆A'BC中，若∠A＝∠A',∠B＝∠B', AB＝AC＝1，BC:BC＝

3:2，则A'B'＝＿＿＿＿，AC＝＿＿＿＿＿

4. 在∆ABC和∆ABC中，若,∠B＝∠B,AB＝6，BC＝8，BC=4,则AB＝＿＿＿，

''''''''

时，∆ABC ∆ABC；当AB＝＿＿＿＿时∆CBA ∆ABC。

''''''''

5. 如图3，如果∠B＝∠C则图中相似三角形有＿＿＿＿＿＿对，分别是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

NO1

NO2

NO3

6. 已知：Rt∆ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB交于D，若BC＝5，AC＝12，则CD

＝＿＿＿＿＿＿＿＿ AD＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿， DB＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿［范例点睛］

如图，矩形ABCD由3个边长相等的正方形组成，（1）请找出图中相似三角形，并加以证明。（2）请求出∠1+∠2的度数是多少？

［课堂演练］

1. 如图，若点F是三角形形ABC的边上的一个点，则下列说法错误的是（）（1）若∠AFC＝∠ACB，则∆ACF ∆ABC （2）若∠ACF＝∠B，则∆ACF ∆ABC （3）若AC＝AF∙AB，则∆ACF ∆ABC （4）若AC：CF＝AB：BC，则∆ACF ∆ABC

2. 三角形三边之比为3：5：7与它相似的三角形的最长边是21，另两边之和是（）（1） 24 （2） 21 （3） 19 （4） 9

3. 两个相似三角形的周长比是2：3，则它们对应边比是＿＿＿＿＿＿＿对应边比是＿＿

＿＿＿＿＿＿对应中位线比是＿＿＿＿＿＿＿＿中线比是＿＿＿＿＿＿＿ 4.如图在∆PCD是正三角形，∠APB＝60，试说明， ⊿APC∽⊿PBD

［作业］完成补充练习

10、5相似三角形的性质（1）

教学目标：

1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、发展学

生合情推理，和有条理的表达能力教学重点：相似三角形的性质教学难点：有条理的表达与推理教学过程：

一、创设情境

情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm，求这个地块的实际周长及面积。

问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1：500表示什么含义？

问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？

问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？

情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。

问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？

问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？

情境3：若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？

问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？得出：相似三角形的周长比等于相似比

问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？” 得出：相似多边形的周长等于相似比

情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？

问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？

问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方

问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。

二、例题教学：

例1. 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm，求这个地块的实际周长为面积。

例2. 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。

（例2）（拓展练习2）

说明：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这个例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系。

三、拓展练习：

1、P131 练习1、2、3

2、如图，在△ABC中，DE//BC，若AE/EC=1/2，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。

四、小结

五、作业 P133 习题1、2

10、5相似三角形的性质（2）

教学目标：

1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；

2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；

3、经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。

教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题教学过程：一、创设情境

情境1：如图（1）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？

A’

DCB’D’C’

图（1）图（2）

情境2：全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段又有怎样的关系呢？

二、探索活动：

问题1. 全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）有怎样的关系？怎样说理，选举其中一例加以说明。

问题2. 相似三角形的对应边成比例，对应线段有怎样的关系？

问题3、如图（2），△ABC∽△A′B′C′，相比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，试证明AD/A′D′=k的理由

由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比

问题4、相似三角形对应中线、角平分线有怎样的关系？问题5、小结相似三角形对应线段的关系。问题6、填表

三、例题教学例1. 课本P132例2 例2. （情境一中的问题）变式训练：课本P134页第6题. 四、拓展练习

1.课本P132页第1题和P133页第2题.

2.如图：已知梯形两条边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？

说明：拓展练习可以在做完课本练习后根据情况选择使用.

五、小结：

六、作业

P133 第4题和P134 第6题

10、5相似三角形的性质（三）

教学目的：

1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念及三角形相似的判定及即相似三角形的性质等知识。

2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高解决实际问题的能力及将实际问题抽象成数学问题的思想方法。

3、通过学习，养成严谨科学的学习品质

教学重点：利用相似三角形的有关知识解决问题的能力。教学难点：各种数学知识的综合应用。教学过程：一、复习提问：

1、复习相似三角形的概念，三角形相似的判定及相似三角形性质等知识。 2、练习：如图PN∥BC，AD⊥BC与D，交PN于E，则

二、新课讲解：

例1、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

PNAE

，为什么？ BCAD

分析：比较提问2练习与本体的联系，学生不难寻找解题思路，但教师要向学生讲清将此题抽象为证明三角形相似的数学问题。

另外，此题也可用下面的方法来解。 ∵PN∥BC， ∴

PNANAE

== BCACAD

设 PN ＝ x (mm)

xAD-x= BCAD

解得：x ＝ 48

答：这个正方形零件的边长为 48 mm 。

例2、如图所示,正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,DF⊥AE于F. (1)试说明△ABE∽△DFA；

(2)求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.

三、课堂小结：

本节课主要学习了中和利用相似三角形的有关知识解决实际问题，让学生在此方面的能力要所提高。

四、课堂练习：教科书第245中的练习。五、补充练习：

已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，形FGNI的周长。

FG5

=，BC＝36cm,AD＝12cm 。求：矩GH9

六、作业：教科书的245中A组8、B组4。

10．6 图形的相似

[新知导读]

1.公安人员在侦破案件中，有时会从一枚指纹来确定罪犯的身份，最终破案。借助放大镜可以将它放大，保持形状不变。

再如微型胶卷所拍摄的照片就是把实物缩小，保持形状不变。你还能举出生活中将一个图形放大或缩小的例子吗？如等。答：答案不唯一。例如：用放大镜放大图形实际是以眼睛为位似中心的位似图形。 2. 经过不同位似中心将同一图形进行放大和缩小，试问放大后的图形和缩小后的图形能否也是位似图形？谈谈你的看法。

答：由放大或缩小猴图形中对应线段与原图形中对应线段互相平行，故而放大后的图形和缩小后的图形的对应线段也互相平行，因而它们也是位似图形。

3.如图，已知ΔABC，过点O引OA并延长到A1，使OA1=2AO，请画出ΔA1B1C1，使ΔA1B1C1 ∽ ΔABC。答：画图略。 [范例点睛]

例1：请画出如图所示的两个五角星的位似中心并度量大小两个五角星的位似比。

思路点拨：确定位似中心是关键，具体方法是过每一对应点作直线，其交点为位似中心。例2：阅读并回答问题：

在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：

第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D`E`F`G`。

第二步：连结BF`，并延长交AC于点F；第三步：过F点作FE⊥BC交AB于点E；第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；第五步：过G点作GD⊥BC于点D。

四边形DEFG即为所求作的正方形DEFG。根据以上作图步骤，回答以下问题：

（1）上述所求作的四边形DEFG是正方形吗？为什么？

（2）在△ABC中，如果BC=10，高AQ=6，求上述正方形DEFG的边长。思路点拨：

① 由作法步骤可知四边形DEFG是正方形D`E`F`G`的位似图形，位似中心是点B。 ② 四边形DEFG是给定△ABC的内接正方形。 ③ 由相似形的性质可求正方形DEFG的边长。 [课外链接]

如图任取一个点O，你能把五边形ABCDE放大到原来的倍吗？

思路点拨：作位似图形的方法是先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线另一侧取原多边形各顶点的对应点，连结各点即得到放大或缩小的图形。

把位似中心取在多边形外或多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，都可以

把一个多边形放大或缩小。如图所示：

[随堂演练]

1、如图画出一个与△ABC相似比为1∶2的位似图形。

2、如图在6×6的方格中画出等腰梯形ABCD的位似图形，位似中心为点A，所画图形与原等腰梯形ABCD的相似比为2：1。

3、如图画以五角星ABCDE的中心O为位似中心，所画图形与原五角星ABCDE的相似比为1∶2。

4、如图，在直角坐标系中，作出四边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O 。

5、如图，三个矩形中相似的是（）

4.5

A 甲和乙 B 乙和丙 C 甲和丙 D 没有相似矩形

6、下列说法正确的是（）

A、位似图形一定是相似图形 B、相似图形不一定是位似图形 C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

7、已知，在四边形ABCD中，点E为AB上的任一点，过E作EF∥AD交BD于点F，过

F作FG∥CD交BC于点G。EG与AC平行吗？为什么？

8、如图，已知矩形ABCD中，以对角线AC、BD的交点O为位似中心，解答以下问题：（1）按新图与已知图形的相似比为形A1B1C1D1和A2B2C2D2；

（2）求S△OA1B1:S四边形A1D1D2A2的值。

和相似比为2作两个矩2

9、如图，已知五边形A＇B＇C＇D＇E＇是五边形ABCDE的位似图形，但被小玮擦去了一部分，你能将它补完整吗？

10.7 相似三角形的应用（1）

[新知导读]

1、如图所示的测量旗杆的方法,已知AB是标杆,BC表示AB

在太阳光下的影子,•叙述错误的是 ( )

A.可以利用在同一时刻,不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高

B.可以利用△ABC∽△EDB,来计算旗杆的高

CBD

C.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高 D.需要测量出AB、BC和DB的长,才能计算出旗杆的高答：C

2、下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的

(1)在三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．

(2)在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系?与同伴进行交流．答：（1）顺序应为(3)(2)(1)．因为在早晨，太阳位于正东方向，此时树的影子较长，影子位于树的正西方向，在上午，随着太阳位置的变化，树影的长度逐渐变短，树影也由正西方向向正北方向移动．

(2)因为大树的影子较长，小树的影子较短，因此应该有大树的高度与其影子的长度之比等于小树高度与其影长之比．（或者大树与小树高度之比等于大树与小树的影长之比） [范例点睛] 例１:实验与探究：

取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片．

(1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化?

(2)固定小棒和纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化?

思路点拨：(1)固定手电筒(或台灯)时，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子

将变大或变小。当改变小棒或纸片的位置时，位置距离灯光越近，影子越大；距离越远，影子越小，当不改变位置只改变方向时，影子随着方向的改变而改变．

(2)固定小棒和纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置，影子随着物体与手电筒(或台灯)之间距离的缩小而增大；改变手电筒(或台灯)的方向，影子随着发生变化．

易错辨析：错误的认为小棒的影子是小棒，三角形、矩形纸片的影子还是三角形和矩形．实际上在改变手电筒(或台灯)摆放位置和方向或者改变小棒和三角形、矩形纸片的位置和方向时，它们的影子是变化的。

思考：手电筒或台灯发出的光线与太阳光线是否相同?

你的结论：

例2、如图,一人拿着一支刻有厘米分度的小尺,站在距电线杆约有20m的B处,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆,

臂E′D•长约50cm,求电线杆EF的高.

思路点拨：可以根据△ACD∽△AEF,△AE′D∽△ABF得到 CDADE`DADE`DCD0.50.1====,, 即即, EFAFBFAFBFEF20EF

可以求出EF的长.

[随堂演练]

1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )

A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

2、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）

A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长

3、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是 ( )

A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求 B.利用直升飞机进行实物测量

C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求 D.利用标杆,借助三角形相似来求

4、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（）

A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以

5、下面两图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?为什么？

（1）（2）

6、下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？

7、晚上，扬洋在马路的一侧散步，对面有一路灯，当扬洋笔直地往前走时，他在这盏路灯下的影子也随之向前移动．扬洋头顶的影子所经过的路径是怎样的？它与扬洋所走的路线有何位置关系?

8、利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.

9、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,

已知当地冬至

中午12时,物高与影长的比是已知两楼相距20米,那么甲

楼的影子落在乙楼上有多高?

ACE

10、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（BC）为1.8米,求路灯离地面的高度.

10.7 相似三角形的应用（2）

[新知导读]

1、当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。这是因为（）

A.汽车开的很快 B.盲区减小 C.盲区增大 D.无法确定

答：C

2、数学是教人学聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想方法，并有意识地在生活中应用这些思想方法解决身边的问题。测量不能直接到达两端的物体的高度（或长度）时，经常运用相似三角形的知识。

例如，测量一棵松树AB的高度：可在同一时刻测量树的影

长BC和测杆DE的影长EC（使A和D的影子重合，这样更简

便），再测出DE的长就可以求出AB了。其道理是什么？

答：因为DE∥AB，所以△DEC∽△ABC,从而

[范例点睛]

例１：阳光通过窗口照到教室内，竖直的窗框AB在地面上留下2ｍ长

的影子ED．已知窗框的影子到窗框下墙脚的距离（即EC）是4ｍ，窗

口底边离地面的距离BC是1.2ｍ，试求窗框ＡＢ的高度． ‘‘‘ShOBC'

B'C'

DEEC ，则可求出AB的长。 ABBC

思路点拨：阳光是平行光线,找出相似三角形及其对应边．

例2：已知几何课本中的字大小为0.4cm×0.35cm,假设学生座

位到黑板的距离是5ｍ，老师在黑板上写字，究竟字要写多大

才能使学生望去时，同他书桌相距30ｃｍ的课本上的字感觉

相同？(即视角相同)（结果保留整数）

思路点拨：设眼睛在O处,黑板在AB 处，A´B是课本的位置，利用相似三角形的性质求出黑板上的字的宽度和高度。

方法点评：将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形.

[课外链接]相似体

我们可以把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相同，但形状完全相同，我们就把它们叫做相似体．例如两个正方体是相似体，它们的对应边之比等于相似比，表面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立

方．假定某种鱼可以看作相似体，现有两种不同的价格：鱼长为

30cm 的每条12元，鱼长为45cm 的每条18元，买哪种鱼合算？

思路点拨：体积与重量成正比，单位体积花钱越少越合算．

[随堂演练]

1、右图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）

A、111 cm B、㎝ C、㎝ D、1㎝ 632

2、如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，

房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在

（）

A、△ACE B、△ABD

C、四边形BCED D、△BDF

3、如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25m,长臂长16.25m,当短臂下降0.85m时，长臂端点升

高多少？（杆的宽度忽略不计）

4、如图，李阅凡同学拿着一支刻有厘米分划线的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12cm线恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm，试求电线杆的高。

5、如图，在河的两边有A、B两棵大树，现测得A、B、D在同一条直

线上，A、C、E在同一条直线上，BC∥DE，DE＝90m,BC=70m,BD=20m.

试求A、B两树之间的距离。

6、学校操场上有一根高高的旗杆,请你设计一个方案来测量旗杆的高度(画出示意图,并简要说明理由).

7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）

8、已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的

投影BC=3m.

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光

下的投影长为6m，请你计算DE的长.

cm，要把它加工成正方形9、如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm ，高AD=8

零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

10、已知某斜拉桥的一组互相平行的钢索a、b、c、d、e钢

索与桥面的固定点分别为A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ，每相邻两点

等距离.

(1)问至少需要知道几根钢索的长,才能求出其余钢索的长?

(2) 若e=20m,d=30m,则其余钢索分别是多长?

10.7 相似三角形的应用（3）

[知识梳理]

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影（projiction）现象。我们主要学习了两种投影：平行投影、中心投影。

1、平行光线所形成的投影称为平行投影（parallel projection）。

物体的视图实际上是该物体在平行光线下且光线与投影面垂直时形成的投影。

太阳光线可以看成平行光线，在阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；在同一时刻，不同物体的影子长与它们的高度成比例，即两物体影子之比等于其对应的高的比。

2、探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影（central projection）.

例如皮影是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲.用灯光照射在银幕上,艺人在幕后一边操纵剪影,一边演唱,并配以音乐.在灯光的照射下,做不同的手势可以形成各种各样的手影.皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.

眼睛所在的位置称为视点(vision spot).

由视点出发的线称为视线(visionline).

看不到的地方称为盲区(blind area)。

[范例点睛]

例１：钱晨和他爸爸在阳光下的沙滩上漫步，他不想

让爸爸看到他的影子，那么你能画出钱晨的大致活动

范围吗?(用线段表示其影子)

思路点拨：只要钱晨的影子与他爸爸的影子完全重叠，

他爸爸就看不见他的影子了．如图，AB是爸爸的身高，CD是钱晨的身高，BE是爸爸的影子，DE是钱晨的影子．当D点在BD之间移动时，即

钱晨在线段BD之间活动时，爸爸就看不见他的影子

了．

例2：一条河的两岸有一段是平行的，在该河岸的这

一段每隔5米有一棵树，河对岸每隔50米有一根电线杆。在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻d两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，且这两棵树之间还有3棵树，求河的宽度。

思路点拨：依题意可画示意图，由题意知AM=25米，BC=20米，

DE=50米，由BC∥DE知，△ABC∽ △ADE, 从而BCAC202===。

DEAE505

又设河宽 MN=x米，故AM，AN分别为△ABC， △ADE的对应高线，从而

可以求出AN的长，再利用MN=AN-AM求出河宽。

[回顾反思] AM225==，AN5AN

1、当进行平行投影时，在同一时刻，甲、乙两物体的高度之比等于它们的影长之比。

太阳光线可以看成平行光线，不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的．

2、当进行中心投影时，灯光的光线可以看成是从一点发出的，在同—灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过光源所在位置。

3、视图与平行投影的联系：视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影．

主视图（或正视图）就是一束平行光从正面照射物体产生的投影，左视图就是一束平行光从左面照射物体产生的投影，俯视图就是一束平行光从上面照射物体产生的投影．

4、通过实例了解视点、视线、盲区的概念．并能体会它们在现实生活中的应用．

[训练巩固]

1、由视点发出的线称为 _________，看不到的地方称为__________ 。

2、平行投影是由_______光线形成的；皮影戏中的皮影是由投影得到的.

3、张旭在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、无法确定

4、刘经纶同学分别于上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）

A、上午8时 B、上午9时30分 C、上午10时 D、上午12时

5、在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地上投下的影子，那么这个影子最多可能是几边形（）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

6、有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着，其中AB这根

木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在图中画出这时

木棒CD的影子.

7、陈可建和江悄悄到扬州大剧院观看张学友领衔主演的音乐剧《雪狼湖》．

(1)坐在二层的陈可建能看到江悄悄吗?为什么?

(2)江悄悄坐在什么位置时，陈可建才能看到她

8、冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射。此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）。试问两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响（用m,a,b表示）

9、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

10、顾润扬同学想利用树影测校园内的树高。他在某一时刻测得树高为1.5米时，其影长为1.2米。当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影长在

墙上。经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么树高是多少米？

10.8 复习与小结

[知识梳理]

一、相似图形：相似与轴对称、平移、旋转一样都是图形之间的变换。

二、相似图形的性质

1、线段的比、比例线段、比例的性质、黄金分割。

2、两个相似图形的对应边成比例、对应角相等。

三、相似三角形：相似三角形的定义、识别、性质、应用

四、画相似图形、利用位似变换确定物体的位置以及坐标、图形的变换

五、平行投影与中心投影的有关定义、应用。

[范例点睛]

例1：如图，已知△ABC中，AD是中线，P是AD上一点。过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F。试说明BP=PE•PF

思路点拨：（1）观察所证的结论中的三条线段恰在一条直线上。

没有现成的三角形可用。因此要寻找“中间比”进行“等比代换”，

或寻找相等的线段进行“等线代换”。注意题设中的中线、平行线

构造平行四边形、相似形等图形。

（2）注意题设中的中线、平行线构造平行四边形、相似形等图形。

方法点评：把乘积式改写成比例式，看相关线段是否在两个三角形中，如果可以放在两个三角形中，则利用相似三角形进行证明；如果不在两个三角形中，则需要寻找“中间比”进行“等比代换”。

例2：如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、

BG⊥CE于G。试说明DG⊥FG。

思路点拨：说明两条直线相互垂直的方法大致可通过角的计算或等

腰三角形的性质、或通过与直角三角形相似等方法获得。例3已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，D是垂足。求证：BC=2CD•AC

思路点拨：题中求证的结论与以前所证过的问题有所不同：除了有四条线段外，还有一个系数“2”。因此如何处理“2”是解决本题的关键，如果把“2”看成是CD的系数，可设x=2CD，则结论成为BC=x•AC。这是十分熟悉的式子。可改写为

BCAC

=只要能添出x就能xBC

解决此题。而x=2CD，自然会想到作出x的办法：在DA上截取DE=CD，则CE=2x，连结BE，由△ABC∽△BCE本题可得证。 [回顾反思]

1、相似三角形的识别及其性质，位似图形的放大与缩小的画法、在直角坐标系中，物体位置的确定及其变化是本章的重点。

2、线段成比例问题，找准相似三角形的对应元素，灵活选择不同的识别方法与性质去解决相似三角形的相关问题和实际问题是本章的难点。

3、寻找相似的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，或利用公共角、公共边的两个三角形找相似三角形；或作辅助线构造相似三角形；或利用中间过度量（中间比或积）得到比例式或等积式。

4、通过对具体实例的观察，了解中心投影和平行投影的原理，会进行简单作图和计算。了解位似形，能利用位似形将一个图形进行放大和缩小。

5、利用直角坐标系确定物体的位置，用坐标的方法去研究图形的运动变换，让学生初步体会数形结合的思想。 [训练巩固]

1、下列说法中不一定正确的是（） A、相似的图形大小可以相等 B、所有等边三角形均相似 C、所有正方形均相似 D、所有菱形均相似

2、太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（）

A、平行四边形 B、与窗户全等的矩形 C、比窗户略小的矩形 D、比窗户略大的矩形

3、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为（） A、

31+5-1

B、 C、 D、以上都不对

222

4、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标.(要求写出作法)

⑴以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1：2；

⑵以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90A2B2C2.

5、如图所示，工地上两根电灯杆相距Lm，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M

第4题×

处离地面的高MH。

6、已知：如图所示，点F、E分别在AD、BC上，且矩形ABEF和矩形ABCD相似，又AB=2，AD=4。求AE∶FD

7、△ABC中，∠C=90，BC=8厘米，AC∶BC=3∶4，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘

米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发：

（1）经过多少秒时△CPQ∽△CBA？

（2）经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

8、在第一个图中取等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到第二个图形；对第二个图形中的每个阴影三角形仿照先前的做法得到第三个图形，如此继续．如果第一个等边三角形的面积为１，则第ｎ个图形中所有阴影三角形面积的和是多少？

第一个

第二个

第三个

第十章图形的相似

10．1 图上距离与实际距离

[新知导读]

答：（1）1：8000000；（2）1：8000000；（3）单位一致。

2、已知线段a=2cm,b=4cm,c=5cm,d=10cm，它们是比例线段吗？为什么？答：是。因为a：c=b：d。 [范例点睛] 例1：已知

，

xyz

==，且2x+3y-z=18，求x，y，z的值。 234

方法点拨：设常数k等于已知，用含有k的式子分别表示x、y、z，然后解方程求出k，从而求出x，y，z的值。

(1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置.

(2)求爷爷家到和平路小学的直线距离.

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方法点拨：图示中给定的单位长度可以看作比例尺，根据题意画出几个地方的位置，然后利用勾股定理进行计算。

易错辨析：和平路小学、老年大学的位置容易画错。[知识链接] “变化的鱼”

如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？

（2）线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ [随堂演习]

1、等边三角形三边之比是___；线段2cm、8cm的比例中项为cm。 2、已知

ADAE

，AD=10，AB=30，AC=24，则． BDEC

3、下列各组长度的线段是否成比例？

（1）4cm, 6cm , 8cm , 10cm （2）4cm , 6cm , 8cm , 12cm （3）11cm , 22cm , 33cm , 66cm （4）、2cm , 4cm , 4cm , 8cm

4、在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（）

A、0.2172km B、2.172km C、21.72km D、217.2km

5、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是（） A、20m B、16m C、18m D、15m

6、已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn=pq，将它改写成比例式的形式，错误的是 ( ) ．．Ａ、

mqpnqnmp

= Ｂ、= Ｃ、= Ｄ、= pnmqmpnq

abc

===k，则下列四个点中在正比例函数b+cc+aa+b

7、已知a、b、c均为正数，且

y=kx图象上的坐标是（） A、（1，

） B、（1，2） C、（1，-） D、（1，-1） 22

ADAE3ABEC

==，试求：8、如图，已知（1）；（2）的值 BDEC2BDAC

9、已知有三条长分别为1cm，4cm，8cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长

ADAE

=,AB=12,AE=6,EC=4. DBEC

DBEC

=(1)求AD的长；(2)试说明成立 ABAC

10、如图,△ABC中,

10．2 黄金分割

[新知导读]

1、如图的五角星中,

ACBC

与的关系是( ) ABAC

A、相等 B、答：A

ACBCACBC

> C、

2、（1）如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______. （2）一条线段的黄金分割点有个。

答：

（1（2）2。

[范例点睛]

例1：若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？方法点拨：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

ACBC

=，那么称线段被点ABAC

C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，AC∶AB=

-1

∶1≈0．681∶1。 2

易错辨析:有两种情况：

（1）如图(1)AC是较长线段，则AC∶AB=

(1)

5-1

∶1， 2

(2)

（2）如图(2)AC是较短线段，则BC∶AB=误区点击：容易遗漏第二种情况．

-1

：1 2

例2：如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1, 求CD的长.

方法点拨：根据C、D两点都是AB的黄金分割点分别求出AC、BD的值，再根据线段的和、差关系进行运算。

易错辨析:注意黄金比的前、后项的次序，次序写错，则所有计算都错。 [随堂演习] 一、选择题:

1、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果( )

ACBC

=,那么下列说法错误的是 ABAC

ACB

A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点 C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比 2

、黄金分割比是 ( ) A、

B、 C、 D、0.618 222

ACAC

与的值分别是( ) ABBC

3、如图,点C是AB的黄金分割点,那么

A、

, B、, 2222

C二、填空题:

4、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。

5、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC=________. （结果保留根号）

7、如图，为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么

身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋

?为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释。

8、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞

台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）

10．3 相似图形

[新知导读]

如：；

②在你所举的例子中，发现相似形是相同，不一定相同的图形．

答：①略；②形状、大小。

2、下列图形不是形状相同的图形是（） A、某人的侧身照片和正面

例1：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？一对双胞胎兄弟同时拍的照片是相似形吗？

例2：下面各组图形中，哪些是相似形？哪些不是？ (1)

(2)

(3)

(4)

大多少倍或缩小多少倍都能使它与另一个互相重合，若两个图形是相似图形，则对应边成比例，对应角相等．②判断两个图形是不是相似图形的

[随堂演练]

1、下列图形中不一定是相似图形的是（） A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形 C、两个长方形 D、两个正方形

2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( ) A、50° B、95° C、35° D、25° 3、若△ABC∽△ABC，且

‘

’

AB‘‘’‘‘’

2，则△ABC与△ABC相似比是，△ABC''

与△ABC的相似比是。

4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。

与你的同伴比一比，看谁画得又快又好．

5、如图，左图格点中有一个四边形，在右边格点图中画出一个与该四边形相似的图形。

6、观察下面的各组图形，其中相似的图形有（填序号）． (1)

(2) （3）

(5) (6)

求:(1)∠ADE和∠AED的度数；

(2)DE的长.

7、如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=•40E

C8、如图，七巧板中有多少组相似三角形？拼一拼，看你能否设计出更

新颖的相似图形，试一试，和你的同学交流拼法．

9、观察一组图形，图形中的三角形都是相似三角形，根据其变化规律，可得第10个图中三角形的个数为

第三个

10．4 探索三角形相似的条件(一)

教学目标：

知识目标：使学生了解判定1的证明方法并会应用，掌握例2的结论．能力目标：

1．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

2．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．情感目标：

1．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点 2．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析：

1．重点是判定定理1的应用，以及例2的结论． 2．难点是了解判定定理1的证题方法与思路．

(一)复习提问：什么叫相似三角形？什么叫相似比？

(二)讲解新课

问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？答：SAS、ASA(AAS)、SSS、HL．

问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

强调：(1)学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引异、纠正． (2)用类比方法找出的新命题一定要加以证明．

如图5-35，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=B′．问：△ABC与△A′B′C′是否相似？

分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？答：三角形相似的定义，

问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．

(1)在△ABC边AB(或延长线)上，截取AD=A′B′，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”．

(2)在△ABC边AB(或延长线上)上，截取AD=A′B′，在边AC(或延长线上)截取AE=A′C′，连结DE，“作全等，证相似”．

(教师向学生解释清楚“或延长线”的情况)

虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

条件1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

∵ ∠„=∠„，∠„=∠„， ∴ △„∽△„．

例1 已知：△ABC和△ABC中，∠A=50°， ∠B=∠B=60°，∠C=70°． △ ABC与△ABC相似吗？为什么？此例题是判定的直接应用，应使学生熟练掌握．

例2已知：如图10-12，DE∥BC，

分别交AB、AC于点D、E。△ADE与△ABC相似吗？为什么？

解：（见教材）

该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定条件1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定三角形相似．

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。

练习：练习1、2、3、4．小结：

(1)判定1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路． (2)判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．

作业：教材习题10.4 1．

10．4 探索三角形相似的条件(二)

111

教学目标

知识目标：

4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

1．重点是使学生掌握这个判定条件，会运用它们判定三角形相似．

2．难点是对判定条件2作一种辅助线思路的进一步巩固，以及讨论这种类型题的审题及书写格式．

(一)复习提问

1．什么叫相似三角形？我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

2．叙述判定定理1，定理1的证题思路是什么？①作相似，证全等，②作全等，证相似)．

(二)讲解新课

类比三角形全等判定的“SAS”让学生得出：

判定条件2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知：如图，在△AB C和△A′B′C′中，

A′

CB′

A′B′: AB= A′C′: A C, ∠A=∠A′ 试说明：△ABC∽△A′B′C′．为什么？建议“已知、求证”要学生自己写出．

讨论：1.如图10－16，在△AB C和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？

2. 如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。

（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD∽△ABC （2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝__时，△AEB∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？

练习

教材P．121练习 1、2． 3．如图, 若AD·AB=AE·AC,

则△_______∽△______，且∠

4.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，

AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长。小结：

1．让学生了解判定条件2的说明思路与方法． 2．会利用这个判定条件判定两个三角形是否相似．作业

习题10.4中2、3．

10．4 探索三角形相似的条件(三)

教学目标

知识目标：

4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

1．重点是使学生掌握这个判定条件，会运用它们判定三角形相似．

2．难点是对判定条件2作辅助线思路的进一步巩固，以及例3这种类型题的审题及书写格式．

(一)复习提问

1．我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？

2．叙述判定条件1、2，判断条件2的证题思路是什么？①作相似，证全等，②作全等，证相似)．

3、两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？

(二)讲解新课

类比三角形全等判定的“SSS”让学生得出：

判定条件3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．

A′

CB′

练习练习 1、2．

ABBCCA

==BDBEED

3、如图，已知，

试说明：∠ABD＝∠CBE，为什么？小结：

1．让学生了解判定条件3的说明思路与方法． 2．会利用这个判定定理判定两个三角形是否相似． (四)作业

习题10.4中4、5、6．

10．4探索三角形相似的条件(四)

教学目标

知识目标：

1．使学生掌握应用判定条件1、2、3解决有关问题．

2．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：

继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：

1．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点 2．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点、疑点及解析

(一)复习提问

1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？(4种) 2．叙述平行线判别相似三角形的条件、判定条件1、2、3。 (也可用小纸条让学生默写)．

其中判定条件1、2、3的说明思路是什么？(①作相似，证全等；②作全等，证相似)．

(二)讲解新课

解：(略)

教师在讲解例题时，应指出要使△ABC∽△CBD应有点A与C， C与D，B与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．

例5、如图，在正方形ABCD中，点M、N分号在AB、BC上， AB＝4，AM＝1，BN＝0.75。

（1） △ADM与△BMN相似吗？为什么？（2）求∠DMN的度数。解：(略) 详见课本P124例5。

例6、如图，当BD与a、b满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？(不指明对应

关系)

解：(略)．

练习

教材P125 练习中 1、2．

3、如图在∆PCD是正三角形，∠APB＝60，试说明：⊿APC∽⊿PBD 小结：

(1)前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用． (2)关于探索性题目的处理．作业

习题10.4中7、8．

10．4探索三角形相似的条件(五)

教学目标：

灵活运用相似三角形判别的不同条件解决问题，进不步体会判断三角形相似的各种

条件各自的运用特点。

通过对具体问题图形的观察、条件分析、思考、提高观察图形、分析问题、数形结

合的解决问题的能力。

1. 如图1已知∠ADE=∠B,则∆AED _________理由是___________________ 2. 如图2若

=________，则∆AEF ∆ABC，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿AB

＿＿＿＿；若∆AEF ∆ABC，则EF与BC的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3. 在∆ABC和∆A'BC中，若∠A＝∠A',∠B＝∠B', AB＝AC＝1，BC:BC＝

3:2，则A'B'＝＿＿＿＿，AC＝＿＿＿＿＿

4. 在∆ABC和∆ABC中，若,∠B＝∠B,AB＝6，BC＝8，BC=4,则AB＝＿＿＿，

''''''''

时，∆ABC ∆ABC；当AB＝＿＿＿＿时∆CBA ∆ABC。

''''''''

5. 如图3，如果∠B＝∠C则图中相似三角形有＿＿＿＿＿＿对，分别是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

NO1

NO2

NO3

6. 已知：Rt∆ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB交于D，若BC＝5，AC＝12，则CD

＝＿＿＿＿＿＿＿＿ AD＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿， DB＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿［范例点睛］

如图，矩形ABCD由3个边长相等的正方形组成，（1）请找出图中相似三角形，并加以证明。（2）请求出∠1+∠2的度数是多少？

［课堂演练］

2. 三角形三边之比为3：5：7与它相似的三角形的最长边是21，另两边之和是（）（1） 24 （2） 21 （3） 19 （4） 9

3. 两个相似三角形的周长比是2：3，则它们对应边比是＿＿＿＿＿＿＿对应边比是＿＿

＿＿＿＿＿＿对应中位线比是＿＿＿＿＿＿＿＿中线比是＿＿＿＿＿＿＿ 4.如图在∆PCD是正三角形，∠APB＝60，试说明， ⊿APC∽⊿PBD

［作业］完成补充练习

10、5相似三角形的性质（1）

教学目标：

1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、发展学

生合情推理，和有条理的表达能力教学重点：相似三角形的性质教学难点：有条理的表达与推理教学过程：

一、创设情境

情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm，求这个地块的实际周长及面积。

问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1：500表示什么含义？

问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？

问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？

情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。

问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？

问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？

问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？得出：相似三角形的周长比等于相似比

问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？” 得出：相似多边形的周长等于相似比

情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？

问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方

问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。

二、例题教学：

例1. 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm，求这个地块的实际周长为面积。

例2. 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。

（例2）（拓展练习2）

三、拓展练习：

1、P131 练习1、2、3

2、如图，在△ABC中，DE//BC，若AE/EC=1/2，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。

四、小结

五、作业 P133 习题1、2

10、5相似三角形的性质（2）

教学目标：

1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；

2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；

3、经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。

教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题教学过程：一、创设情境

A’

DCB’D’C’

图（1）图（2）

情境2：全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段又有怎样的关系呢？

二、探索活动：

问题1. 全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）有怎样的关系？怎样说理，选举其中一例加以说明。

问题2. 相似三角形的对应边成比例，对应线段有怎样的关系？

问题3、如图（2），△ABC∽△A′B′C′，相比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，试证明AD/A′D′=k的理由

由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比

问题4、相似三角形对应中线、角平分线有怎样的关系？问题5、小结相似三角形对应线段的关系。问题6、填表

三、例题教学例1. 课本P132例2 例2. （情境一中的问题）变式训练：课本P134页第6题. 四、拓展练习

1.课本P132页第1题和P133页第2题.

2.如图：已知梯形两条边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？

说明：拓展练习可以在做完课本练习后根据情况选择使用.

五、小结：

六、作业

P133 第4题和P134 第6题

10、5相似三角形的性质（三）

教学目的：

1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念及三角形相似的判定及即相似三角形的性质等知识。

2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高解决实际问题的能力及将实际问题抽象成数学问题的思想方法。

3、通过学习，养成严谨科学的学习品质

教学重点：利用相似三角形的有关知识解决问题的能力。教学难点：各种数学知识的综合应用。教学过程：一、复习提问：

1、复习相似三角形的概念，三角形相似的判定及相似三角形性质等知识。 2、练习：如图PN∥BC，AD⊥BC与D，交PN于E，则

二、新课讲解：

PNAE

，为什么？ BCAD

分析：比较提问2练习与本体的联系，学生不难寻找解题思路，但教师要向学生讲清将此题抽象为证明三角形相似的数学问题。

另外，此题也可用下面的方法来解。 ∵PN∥BC， ∴

PNANAE

== BCACAD

设 PN ＝ x (mm)

xAD-x= BCAD

解得：x ＝ 48

答：这个正方形零件的边长为 48 mm 。

例2、如图所示,正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,DF⊥AE于F. (1)试说明△ABE∽△DFA；

(2)求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.

三、课堂小结：

本节课主要学习了中和利用相似三角形的有关知识解决实际问题，让学生在此方面的能力要所提高。

四、课堂练习：教科书第245中的练习。五、补充练习：

已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，形FGNI的周长。

FG5

=，BC＝36cm,AD＝12cm 。求：矩GH9

六、作业：教科书的245中A组8、B组4。

10．6 图形的相似

[新知导读]

1.公安人员在侦破案件中，有时会从一枚指纹来确定罪犯的身份，最终破案。借助放大镜可以将它放大，保持形状不变。

3.如图，已知ΔABC，过点O引OA并延长到A1，使OA1=2AO，请画出ΔA1B1C1，使ΔA1B1C1 ∽ ΔABC。答：画图略。 [范例点睛]

例1：请画出如图所示的两个五角星的位似中心并度量大小两个五角星的位似比。

思路点拨：确定位似中心是关键，具体方法是过每一对应点作直线，其交点为位似中心。例2：阅读并回答问题：

在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：

第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D`E`F`G`。

第二步：连结BF`，并延长交AC于点F；第三步：过F点作FE⊥BC交AB于点E；第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；第五步：过G点作GD⊥BC于点D。

四边形DEFG即为所求作的正方形DEFG。根据以上作图步骤，回答以下问题：

（1）上述所求作的四边形DEFG是正方形吗？为什么？

（2）在△ABC中，如果BC=10，高AQ=6，求上述正方形DEFG的边长。思路点拨：

如图任取一个点O，你能把五边形ABCDE放大到原来的倍吗？

把位似中心取在多边形外或多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，都可以

把一个多边形放大或缩小。如图所示：

[随堂演练]

1、如图画出一个与△ABC相似比为1∶2的位似图形。

2、如图在6×6的方格中画出等腰梯形ABCD的位似图形，位似中心为点A，所画图形与原等腰梯形ABCD的相似比为2：1。

3、如图画以五角星ABCDE的中心O为位似中心，所画图形与原五角星ABCDE的相似比为1∶2。

4、如图，在直角坐标系中，作出四边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O 。

5、如图，三个矩形中相似的是（）

4.5

A 甲和乙 B 乙和丙 C 甲和丙 D 没有相似矩形

6、下列说法正确的是（）

7、已知，在四边形ABCD中，点E为AB上的任一点，过E作EF∥AD交BD于点F，过

F作FG∥CD交BC于点G。EG与AC平行吗？为什么？

8、如图，已知矩形ABCD中，以对角线AC、BD的交点O为位似中心，解答以下问题：（1）按新图与已知图形的相似比为形A1B1C1D1和A2B2C2D2；

（2）求S△OA1B1:S四边形A1D1D2A2的值。

和相似比为2作两个矩2

9、如图，已知五边形A＇B＇C＇D＇E＇是五边形ABCDE的位似图形，但被小玮擦去了一部分，你能将它补完整吗？

10.7 相似三角形的应用（1）

[新知导读]

1、如图所示的测量旗杆的方法,已知AB是标杆,BC表示AB

在太阳光下的影子,•叙述错误的是 ( )

A.可以利用在同一时刻,不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高

B.可以利用△ABC∽△EDB,来计算旗杆的高

CBD

C.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高 D.需要测量出AB、BC和DB的长,才能计算出旗杆的高答：C

2、下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的

(1)在三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．

取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片．

(1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化?

(2)固定小棒和纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化?

思路点拨：(1)固定手电筒(或台灯)时，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子

思考：手电筒或台灯发出的光线与太阳光线是否相同?

你的结论：

例2、如图,一人拿着一支刻有厘米分度的小尺,站在距电线杆约有20m的B处,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆,

臂E′D•长约50cm,求电线杆EF的高.

思路点拨：可以根据△ACD∽△AEF,△AE′D∽△ABF得到 CDADE`DADE`DCD0.50.1====,, 即即, EFAFBFAFBFEF20EF

可以求出EF的长.

[随堂演练]

1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )

A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

2、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）

A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长

3、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是 ( )

A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求 B.利用直升飞机进行实物测量

C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求 D.利用标杆,借助三角形相似来求

4、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（）

A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以

5、下面两图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?为什么？

（1）（2）

6、下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？

9、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,

已知当地冬至

中午12时,物高与影长的比是已知两楼相距20米,那么甲

楼的影子落在乙楼上有多高?

ACE

10.7 相似三角形的应用（2）

[新知导读]

A.汽车开的很快 B.盲区减小 C.盲区增大 D.无法确定

答：C

例如，测量一棵松树AB的高度：可在同一时刻测量树的影

长BC和测杆DE的影长EC（使A和D的影子重合，这样更简

便），再测出DE的长就可以求出AB了。其道理是什么？

答：因为DE∥AB，所以△DEC∽△ABC,从而

[范例点睛]

例１：阳光通过窗口照到教室内，竖直的窗框AB在地面上留下2ｍ长

的影子ED．已知窗框的影子到窗框下墙脚的距离（即EC）是4ｍ，窗

口底边离地面的距离BC是1.2ｍ，试求窗框ＡＢ的高度． ‘‘‘ShOBC'

B'C'

DEEC ，则可求出AB的长。 ABBC

思路点拨：阳光是平行光线,找出相似三角形及其对应边．

例2：已知几何课本中的字大小为0.4cm×0.35cm,假设学生座

位到黑板的距离是5ｍ，老师在黑板上写字，究竟字要写多大

才能使学生望去时，同他书桌相距30ｃｍ的课本上的字感觉

相同？(即视角相同)（结果保留整数）

思路点拨：设眼睛在O处,黑板在AB 处，A´B是课本的位置，利用相似三角形的性质求出黑板上的字的宽度和高度。

方法点评：将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形.

[课外链接]相似体

方．假定某种鱼可以看作相似体，现有两种不同的价格：鱼长为

30cm 的每条12元，鱼长为45cm 的每条18元，买哪种鱼合算？

思路点拨：体积与重量成正比，单位体积花钱越少越合算．

[随堂演练]

1、右图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）

A、111 cm B、㎝ C、㎝ D、1㎝ 632

2、如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，

房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在

（）

A、△ACE B、△ABD

C、四边形BCED D、△BDF

3、如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25m,长臂长16.25m,当短臂下降0.85m时，长臂端点升

高多少？（杆的宽度忽略不计）

5、如图，在河的两边有A、B两棵大树，现测得A、B、D在同一条直

线上，A、C、E在同一条直线上，BC∥DE，DE＝90m,BC=70m,BD=20m.

试求A、B两树之间的距离。

6、学校操场上有一根高高的旗杆,请你设计一个方案来测量旗杆的高度(画出示意图,并简要说明理由).

7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

8、已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的

投影BC=3m.

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光

下的投影长为6m，请你计算DE的长.

cm，要把它加工成正方形9、如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm ，高AD=8

零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

10、已知某斜拉桥的一组互相平行的钢索a、b、c、d、e钢

索与桥面的固定点分别为A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ，每相邻两点

等距离.

(1)问至少需要知道几根钢索的长,才能求出其余钢索的长?

(2) 若e=20m,d=30m,则其余钢索分别是多长?

10.7 相似三角形的应用（3）

[知识梳理]

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影（projiction）现象。我们主要学习了两种投影：平行投影、中心投影。

1、平行光线所形成的投影称为平行投影（parallel projection）。

物体的视图实际上是该物体在平行光线下且光线与投影面垂直时形成的投影。

2、探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影（central projection）.

眼睛所在的位置称为视点(vision spot).

由视点出发的线称为视线(visionline).

看不到的地方称为盲区(blind area)。

[范例点睛]

例１：钱晨和他爸爸在阳光下的沙滩上漫步，他不想

让爸爸看到他的影子，那么你能画出钱晨的大致活动

范围吗?(用线段表示其影子)

思路点拨：只要钱晨的影子与他爸爸的影子完全重叠，

他爸爸就看不见他的影子了．如图，AB是爸爸的身高，CD是钱晨的身高，BE是爸爸的影子，DE是钱晨的影子．当D点在BD之间移动时，即

钱晨在线段BD之间活动时，爸爸就看不见他的影子

了．

例2：一条河的两岸有一段是平行的，在该河岸的这

思路点拨：依题意可画示意图，由题意知AM=25米，BC=20米，

DE=50米，由BC∥DE知，△ABC∽ △ADE, 从而BCAC202===。

DEAE505

又设河宽 MN=x米，故AM，AN分别为△ABC， △ADE的对应高线，从而

可以求出AN的长，再利用MN=AN-AM求出河宽。

[回顾反思] AM225==，AN5AN

1、当进行平行投影时，在同一时刻，甲、乙两物体的高度之比等于它们的影长之比。

太阳光线可以看成平行光线，不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的．

2、当进行中心投影时，灯光的光线可以看成是从一点发出的，在同—灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过光源所在位置。

3、视图与平行投影的联系：视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影．

4、通过实例了解视点、视线、盲区的概念．并能体会它们在现实生活中的应用．

[训练巩固]

1、由视点发出的线称为 _________，看不到的地方称为__________ 。

2、平行投影是由_______光线形成的；皮影戏中的皮影是由投影得到的.

3、张旭在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、无法确定

A、上午8时 B、上午9时30分 C、上午10时 D、上午12时

5、在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地上投下的影子，那么这个影子最多可能是几边形（）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

6、有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着，其中AB这根

木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在图中画出这时

木棒CD的影子.

7、陈可建和江悄悄到扬州大剧院观看张学友领衔主演的音乐剧《雪狼湖》．

(1)坐在二层的陈可建能看到江悄悄吗?为什么?

(2)江悄悄坐在什么位置时，陈可建才能看到她

墙上。经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么树高是多少米？

10.8 复习与小结

[知识梳理]

一、相似图形：相似与轴对称、平移、旋转一样都是图形之间的变换。

二、相似图形的性质

1、线段的比、比例线段、比例的性质、黄金分割。

2、两个相似图形的对应边成比例、对应角相等。

三、相似三角形：相似三角形的定义、识别、性质、应用

四、画相似图形、利用位似变换确定物体的位置以及坐标、图形的变换

五、平行投影与中心投影的有关定义、应用。

[范例点睛]

例1：如图，已知△ABC中，AD是中线，P是AD上一点。过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F。试说明BP=PE•PF

思路点拨：（1）观察所证的结论中的三条线段恰在一条直线上。

没有现成的三角形可用。因此要寻找“中间比”进行“等比代换”，

或寻找相等的线段进行“等线代换”。注意题设中的中线、平行线

构造平行四边形、相似形等图形。

（2）注意题设中的中线、平行线构造平行四边形、相似形等图形。

例2：如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、

BG⊥CE于G。试说明DG⊥FG。

思路点拨：说明两条直线相互垂直的方法大致可通过角的计算或等

腰三角形的性质、或通过与直角三角形相似等方法获得。例3已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，D是垂足。求证：BC=2CD•AC

BCAC

=只要能添出x就能xBC

解决此题。而x=2CD，自然会想到作出x的办法：在DA上截取DE=CD，则CE=2x，连结BE，由△ABC∽△BCE本题可得证。 [回顾反思]

1、相似三角形的识别及其性质，位似图形的放大与缩小的画法、在直角坐标系中，物体位置的确定及其变化是本章的重点。

2、线段成比例问题，找准相似三角形的对应元素，灵活选择不同的识别方法与性质去解决相似三角形的相关问题和实际问题是本章的难点。

4、通过对具体实例的观察，了解中心投影和平行投影的原理，会进行简单作图和计算。了解位似形，能利用位似形将一个图形进行放大和缩小。

5、利用直角坐标系确定物体的位置，用坐标的方法去研究图形的运动变换，让学生初步体会数形结合的思想。 [训练巩固]

1、下列说法中不一定正确的是（） A、相似的图形大小可以相等 B、所有等边三角形均相似 C、所有正方形均相似 D、所有菱形均相似

2、太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（）

A、平行四边形 B、与窗户全等的矩形 C、比窗户略小的矩形 D、比窗户略大的矩形

3、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为（） A、

31+5-1

B、 C、 D、以上都不对

222

4、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标.(要求写出作法)

⑴以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1：2；

⑵以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90A2B2C2.

5、如图所示，工地上两根电灯杆相距Lm，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M

第4题×

处离地面的高MH。

6、已知：如图所示，点F、E分别在AD、BC上，且矩形ABEF和矩形ABCD相似，又AB=2，AD=4。求AE∶FD

7、△ABC中，∠C=90，BC=8厘米，AC∶BC=3∶4，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘

米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发：

（1）经过多少秒时△CPQ∽△CBA？

（2）经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

第一个

第二个

第三个

图上距离与实际距离

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