《基础教育课程改革纲要（试行）》（以下简称《纲要》）指出，基础教育课程改革的具体目标是：
“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程，以适应不同地区和学生发展的需求，体现课程结构的均衡性、综合性和选择性。
改变课程内容‘难、繁、偏、旧’和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。
改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
„„”[1]
为什么要提出这样的改革目标呢？笔者认为，这是与时代进步和国际基础教育发展趋势密切相关的。本文根据上述精神，对我国当前的数学教育改革问题谈点初步认识。 一对数学教育改革历史的简单回顾
数学教育改革有着自身的规律性，数学教育应紧跟时代发展的步伐不断进行改革，但需要处理好继承、发展与创新之间的关系。一般来说，教育领域的革命是不可取的，因为“教育的继承性是很强的，教育的内容、方法及其结构具有很大的稳定性”[2]。因此，回忆一下上个世纪数学教育改革的历史，对于我们把握未来数学教育发展的趋势，更好地落实课程改革的目标是非常必要的。
众所周知，在过去的一个世纪中，国际上经历了三次大的数学课程改革运动。
第一次发生在20世纪初，史称“克莱因—贝利运动”。19世纪末，科学技术飞速发展，人们发现数学课程的内容和方法已不能适应那个时代的科学和生活需要，也不能适应数学自身发展的需要，迫切要求进行数学教育改革。为此，英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”、“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。克莱因还提出了改革的方针：顺应学生心理发展的规律，选取和排列教材；融合数学各分科，密切数学与其他学科的关系；不过分强调数学的形式训练，应当强调实用方面，以便充分发展学生对自然和社会的各种现象进行数学观察的能力；以函数概念和直观几何作为数学教学的核心。[3]显然，这些主张与我国目前数学教育改革中提出的一些改革思想是非常相似的。这就是人们所说的数学教育改革中的“钟摆现象”。这次改革以杜威的实用主义思想为指导，主张从传统教育的课堂中心、课本中心、教师中心转移到活动中心、儿童中心、儿童兴趣中心。杜威主张“教育即生活”、“学校即社会”，提出“从做中学”的教学原则，并从这个教学原则出发，认为课程必须考虑到能适应社会生活的需要，强调课程教材要与儿童生活经验相联系。杜威的教育思想影响遍及世界，而且至今也还存在。由于过分强调了学校教育应以“儿童为中心”，强调实用，忽视系统理论知识的学习，降低了学生的认识活动的起点，导致学校教育中知识质量的下降，再加上两次世界大战等外部原因，这场改革运动未能取得较好的效果。
第二次发生在20世纪中叶，史称“新数运动”。20世纪中叶是冷战时期，科学技术有了突飞猛进的发展，为各国在各个领域的竞争提供了条件。世界各国都清醒地认识到，赢得竞争主动权的关键是培养各种掌握先进科技的人才。数学课程改革就是在这样的社会背景下进行的。这次改革，指导思想属于“精英教育”，认为数学教育的主要任务是培养数学家、科学
家。理论基础是结构主义哲学思想，认为数学学科存在一系列基本结构，把这种结构以及数学所特有的研究方法作为教学内容时，可以使教学获得最好的结果。布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。„„与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”[4]在内容和结构上，“新数学”提倡发现学习，要求学生尽可能地感到像一名数学家那样，不仅使用他的工具，还要以自己的眼光来看待问题；不仅只体验自己的研究成果，还要体验从事数学活动的快乐。因此，在教学目标上，把科学方法，如“探究”、“问题解决”、“发现法”和“学科研究方法”等作为主要目标，提出数学课程“不仅要反映出知识本身的性质，而且要反映出理解知识和获得知识的过程的性质”。[5]在课程实施过程中，教师不再是所有知识的源泉，而是强调教师引导学生自己去探究和发现。布鲁纳提出，“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。”“学会学习”本身比“学会什么”更重要。[6] 由于教学观点存在严重缺陷，过于理想化，“新数学”教材过早地要求学生掌握过难的内容，没有考虑大多数学生的接受能力，脱离了学生的认识规律，学生学习效率低下；“发现学习”的设计难度大、对教师和学生要求高，一般教师难以胜任，严重脱离了普通教师，因此导致了课程实施的巨大困难。再加上一些来自教育外部的原因，导致这场教育改革运动没有取得预期结果。在20世纪70年代又喊出了“回到基础去”口号。
当然，尽管这次改革的结果不尽如人意，但对世界数学教育改革所产生的影响是深远的。这次改革中提出的一些思想，例如，教学内容的现代化，把现代数学的最新发展、最新思想反映到课程中来，重视科学方法的学习，强调发现式学习，重视学生的自主探究和亲身实践，学习是一个过程而不是结果，等等，受到许多人的推崇。不难看出，这些思想在我国当前的数学教育改革中也有重大影响。
第三次数学课程改革从20世纪80年代初开始一直延续至今。随着社会的进步，中等教育的普及化、终身教育思想的兴起，使得数学教育的目的从过去的为升学做准备转变到了为学生提供今后得以发展和接受继续教育的基础，因此应当培养学生一定的自学能力、探究能力，以便能够接受继续教育。科学技术的迅猛发展、信息技术在日常生活中的广泛使用，要求广大普通老百姓能够更加深入地理解数学，从而适应数字化时代的生活。另外，数学教学质量的严重下降，引起人们的广泛关注和普遍忧虑。数学课程改革就是在这样的背景下进行的。这次改革，指导思想是“大众教育”，“数学为人人”（mathematicsforall ）的思想被广泛接受，理论基础是建构主义。数学教育旨在发展学生的数学素养，促进学生自觉自主地学习数学，提高教学质量。在对数学素养内涵的理解上，将过去的（1）理解数学的概念和原理；
（2）理解数学的探究过程；（3）理解数学与一般文化的关系，发展为：（1）理解数学的本质、数学的价值等；（2）了解数学发展的历史；（3）理解数学与社会的关系，强调“问题解决”的能力。从国际范围看，本次数学课程改革的重点在课程目标和指导思想上。数学教材是落实课程目标的载体，但人们越来越清楚地看到，教师教育思想的变革、教学水平的提高更加关键，教育思想的变革会带来教学过程、教学手段、教学方法等的一系列变革。再好的教材，如果教师教学水平不提高，也不能发挥真正有效的作用。
从上述简单回顾可以看出，数学教育改革总是在曲折中前进的，改革中存在着许多永恒的课题，出现改革的“钟摆现象”是因为在改革过程中没有能够把握好涉及教育深层次矛盾的平衡。例如，数学学习与人文素质的养成的关系，儿童经验的积累与系统知识学习之间的关系，数学教育的普及和提高之间的关系，教学过程中教师与学生的关系，书本知识的系统学习和实践应用之间的关系，数学知识的严谨性与学生认知发展水平之间的关系，数学教育必要的稳定性与社会发展对人的数学素养要求的变化性的关系，等等。数学教育改革的历史告诉我们，这些关系的处理，任何强调一个方面而忽视另一个方面的做法都是不可取得。矫枉过正、过犹不及，历史的经验教训值得记取。
二对当前我国数学课程改革的思考
当前我国数学课程改革并不局限在课程上，实际涉及了教育思想、教育目标、教育内容、教育方法等各个方面。可以说，人们对任何时期的数学教育都不会说“满意”，随着社会的发展、科技的进步，数学教育的改革是永恒的。实际上我国数学教育改革的步伐一刻也没有停止过。总结国内外数学教育改革经验，我们认为在当前的数学课程改革中如下问题应特别关注。
1．全面贯彻党的教育方针，大力推进素质教育。数学课程既要体现基础性、普及性，使全体学生都达到基本的数学要求；同时，又要体现发展性，注意创造性人才、尖子人才的数学发展需求，鼓励和支持学生在数学上冒尖。
随着社会的进步和发展，基础教育已经逐步发展为普通的、共同的国民教育，这是以提高人的素质为主要目的的教育。通过接受基础教育，要使学生在思想品德、民族传统、道德法律等方面受到教育，逐步形成正确的世界观、人生观和价值观，成为有社会责任感的、能努力为人民服务的人，并初步形成创新精神、实践能力、科学和人文素养以及环境意识，掌握适应终身学习的基础知识、基本技能和方法，成为有理想、有道德、有文化、有纪律的一代新人。而在义务教育阶段，基础性、普及性是更为重要的。因此，数学教育应当根据基础教育的这一特点，把使全体学生掌握必要的数学知识并能在实践中使用，以适应终身学习的需要作为主要任务。这是时代发展赋予数学教育的使命。
但是，这里要注意，“面向全体学生”并不意味着“平均主义”，不能以降低标准为代价。要处理好“面向全体”与“保持标准”之间的关系。实际上，“面向全体学生”是建立在承认人的差异性、强调个人对自己发展的自主性的基础上的，而不能要求所有的人按照一个标准（低标准就更不行了）来发展。“面向全体学生”与“因材施教”是同义词。为此，数学课程应当具有较好的可选择性，教材应当有弹性。规定一个大多数学生能够接受的标准（这个“标准”需要进行大量研究），同时设置弹性内容，使得不同学生有选择机会。特别应当注意为那些在数学上有特别兴趣、有突出表现的学生提供数学发展机会。
2．综合考虑数学教育的社会功能和育人功能。过去考虑较多的是数学的工具性，考虑适应社会发展的需要，为经济建设和社会实践服务。而在育人（促进人的发展）方面，注重的是“智育目标”，注意力集中在掌握数学知识、发展思维能力上。在当前的数学课程改革中，除了考虑这些以外，还要强调人的发展需要，为人的发展服务，使学生通过数学学习形成良好的情感态度，形成正确的价值观。“教育的本质是提高人的素质，也即个体的发展。”教育的社会功能要通过育人功能来体现，公民素质的提高才是社会发展的根本保证，经济建设和社会进步才有了真正的基础。从根本上说，“社会功能”和“育人功能”是内在统一的，具体落实在学生的个性发展上。
就促进学生个性发展而言，数学课程的功能也应从单纯注重传授知识转变为引导学生学会学习、学会生存、学会做人，特别应当关注学生的“科学素养”。“科学素养”内涵“概念性知识、科学理智、科学伦理、科学与人文、科学与社会、科学与技术”等六个范畴，因此，“科学”（包括数学）学科的任务，不仅要传授作为事实性知识的“科学知识”，而且要传授“方法论知识”、“规范性（价值性）知识”，使学生学会探究，学会跨学科的知识整合，学会做人。[7]
需要指出的是，学校教育中，数学知识的系统学习始终是最重要的，没有知识的学习和掌握，学生的一切发展都将落空。“青少年学生个体的发展，主要是通过掌握人类长期积累的认识和改造世界的已有成果而实现的，也就是通过学习科学知识（而且主要是书本知识）而实现的”。[8]认知心理学的研究也表明，学生是否能够成功地用数学解决问题，其决定因素是学生是否具备了比较完备的数学知识。另外，数学知识“不仅凝结着人类认识和改造客观世界的成果（事物的特性、规律等），而且凝结着人类主观精神，包括能力、情感、意志、思
想、品德等，发展到当今时代，更富有自然、社会、历史、人文等丰富的文化内涵”。学生在数学学习中，“通过精心设计，教师领导学生简化地展开、再现、重演科学知识中隐含着的原始的实践和认识活动，包括认知活动和情感体验活动等，这也就是学生认识世界，接受文化熏陶，德、智、体等素质发展的过程”。[9]一般的，知识学得越多、越好，素质越高。因此可以说，不仅有“无知者无能”，而且有“无知者无情”。当然，数学知识学习的目标应当发展。除了通过学习而了解数学概念“是什么”、理解数学知识的内涵、本质及其逻辑体系等以外，还要通过理解知识的内涵、本质等而发展对数学的主体的、充满情感色彩的认识，通过对数学的亲身体验和实践而产生对数学的一种看法，即价值观。例如，通过数学学习，要产生对事物发展变化规律进行理性思考的习惯和爱好，养成凡事讲前因后果、正直诚实、实事求是、尊重理性、追求真理、坚定自信、刻苦勤奋、责任心强、勇于创新、百折不挠、持之以恒、严谨细致、独立思考等态度。只有这样才能为每个学生的具有个性的健康发展创造条件。
另外，发展学生的数学能力，特别是思维能力仍然是数学教育的首要任务。“数学是思维的科学”，因此，数学的育人功能在很大程度上需要通过发展学生的思维能力来体现。数学能力强的学生不仅会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，具有良好的思维品质，而且能够在他的学习和生活中自觉地运用数学；他们能从数学的角度看问题，知道什么时候以及如何应用数学去的分析、解决问题是有效的；他们具备选择职业和进一步学习数学所需要的数学基础。显然，这些都是当代劳动者所应具备的基本素质。数学能力的内涵非常丰富，包括能够理解数学概念和方法，在各种情况下辨明数学关系；会逻辑地推理，解决各种常规的和非常规的问题；能够用数学方法阅读文献，能够用口头和书面形式表达数学关系，进行逻辑分析；能够有效地进行数学交流，即会阅读并理解数学课本，会口头和书面把数学研究和问题解决的结果向别人表达，等等。
3．深刻理解数学“双基”的内涵。为了实现数学课程功能的转变，首先需要确定哪些基础知识和基本技能是学生终身发展所必需的。这里涉及如何理解“双基”内涵的问题。过去人们认为“双基”主要指代数、几何等学科中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及按照一定的程序与步骤进行的运算、作图或画图、推理等操作活动。从当代认知心理学对知识的分类看，这些都属于“陈述性知识”，或“明确的知识”。除陈述性知识外，还有另一类知识，这就是“程序性知识”，或“默会知识”。这类知识是从活动过程、活动方式中表现出来的，只能在实践中通过观察、模仿和自主活动而获得。因此，在选择和确定“双基”时，应当做到“过程”与“结果”并重，既重视“陈述性知识”（“明确知识”），又重视“程序性知识”（“默会知识”）。当前，适当地加强探究性活动是需要的。例如，对于概念、法则、性质、公式、公理、定理等，先不直接给出明确定义，而是通过一定量的实例引导学生进行观察、实验、推理，尽量使学生去“经历”、“探索”、“体验”它们的形成过程；适当突出或增加一些活动性内容，例如，几何中的“变换”、“投影”，代数中的建模、估计、实践活动，统计中的数据收集、整理、分析等活动，等等。在数学课程中设置一些适合学生认知发展水平的综合实践活动，强调学生在学习过程中的自主探究性活动，通过实践活动来培养学生综合运用所学知识的能力，发展创新精神和实践能力，是时代发展的要求。
4．强调学习的过程和学习的方法。过去的数学教学中，人们更多关注了学习的结果，对学生的学习方式和学习策略关注不够。当前，为了引导学生学会学习，必须特别关注学习过程和学习方式。
学生掌握科学的学习方式和学习策略，是实现主动参与式学习、探究式学习、自主活动式学习、合作学习的条件。这个问题涉及到教学材料的选取和内容的呈现方式，更依赖于教师的教学。科学的学习方式和良好的学习策略只能在学生积极的、自主的数学活动中形成。教学中应当充分重视学生亲身感受、实践操作、合作交流，给学生提供探索与交流的空间，
使数学学习过程真正成为学生在自己已有经验（包括数学的和非数学的）基础上的主动建构过程，在数学知识的形成与应用过程中认识和掌握“双基”，强调数学思想方法在学习和解决问题过程中的作用，从知识的联系与综合中理解知识，等等。
重视学习的过程，强调探究性学习，一些方法或策略性的知识、价值性的知识必然会凸显出来。例如，如何发现问题、提出问题，如何解释和转化问题使之变成更易于解决的形式，如何收集、判断、选择和利用信息，如何选择和有效地使用工具（例如信息技术工具），如何与人合作交流，如何面对未知世界的挑战以及学习中的困难，等等。在这样的过程中，长期潜移默化的熏陶，可以使学生逐渐养成“数学地思维”的习惯，养成勤奋刻苦、求实创新的精神。
这里，对学习方式、学习过程应当作全面理解。应当说，接受式学习仍然是学校数学学习的主要方式，接受学习并不一定就是被动的，因为经验的接受并不能象物体的接受那样，可以在不改变它的性质和存在方式的状态下进行。“经验的接受过程是主体重建经验结构的过程，即其心理结构的构建过程。„，它必须处于十分主动的状态，积极进行一系列复杂的生理与心理水平的变换，即能动的反映活动才能实现。”[10]“举一反三”、“融会贯通”、“触类旁通”等等，都是能动的接受学习的写照。但是，如果把接受学习演化为死记硬背、机械训练，没有学生积极主动的数学思维参与，没有学生的主体建构，这就失去了“数学知识经验的接受”的本来含义了。所以，学习方式的被动或主动，关键并不在于它是“接受的”还是“发现的”，而是在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度。学习过程是指学生在已有经验的基础上，通过新旧知识的相互作用而将新知识内化到主体认知结构中去的过程，是对知识的主动建构过程，是数学认知结构的组织和再组织的过程。这个过程有层次性、阶段性。完整的学习过程应当包含感知和观察问题情境、抽象和表述数学问题、进行数学推理变换或证明、对结果进行反思修正或推广以及应用等，这是一个从具体到抽象再到具体的循环过程。具体可以有两种不同的形态。一种表现为对问题情境的观察、分析、假设、抽象而获得数学模型，并选择恰当的数学工具，应用有效的数学思想方法去求解、验证、解释模型，必要时对问题情境进行再分析、修改假设、再求解模型。这一学习过程比较完整地体现了数学的学和用之间的关系，在强调创新精神和实践能力培养的今天，需要特别强调。另一种表现为在抽象的数学原理指导下的实践活动，在数学概念、定理、性质等的引导下，通过恰当的变式训练、知识的实际应用等而达到对知识的理解，并进而逐渐达到创造性地应用知识去解决问题。这是一种高效的学习过程，是学生在短时间内掌握大量书本知识的主要方式。
当前，如何使数学基础知识和基本技能的学习过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，将创新精神和实践能力的培养落实在数学知识的学习中，是一个需要下大力进行研究的问题。
5．课程内容强调书本知识、生活知识、社会实践性知识的联系。既要保持数学知识的一定系统性、结构性（系统性知识、结构功能良好的知识才能在人们处理问题的过程中正真发挥作用），又要注意与其他学科及社会实践性知识的联系、综合和整合。
《纲要》认为，我国整个基础教育阶段的课程设置存在“课程内容‘难、繁、偏、旧’和过于注重书本知识的现状”，因此应当加强课程内容与学生生活及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能，这是数学课程内容改革的指导原则。我们应当认真反思数学课程中“难、繁、偏、旧”的问题及其造成这种状况的原因。数学中存在一些非常古老（例如平面几何的内容、实数的有关内容等等）但却是学生终身发展所必需的内容，其中有些虽然比较难学，但仍应让学生学习。总体上看，数学学习是一项艰苦的智力劳动，不下苦功是不行的。当然，这些内容的呈现与表述，应当与学生的心理发展水平相适应，应当用现代数学思想为指导，从而使古老的内容焕发出时代青春。我们认为，就当前的数学课程内容改革而言，重点应当放在呈现方式的变革上，通过与学生
周围生活、现代社会以及科技发展的联系，在现代数学思想方法的指导下，把需要学习的“双基”呈现出来。另外，通过加强实践性、探究性内容，使学到的知识有应用的机会，在应用的过程中把那些“默会知识”或“程序性知识”表现出来。
在数学课程结构体系的组织上，应当适当强调综合。这就要求我们在组织课程内容时，既要关注学生的已有经验（包括从生活中获得的经验和从学校学习中获得的经验）、学习兴趣，又要关注数学学科本身的内在逻辑。在我国的数学课程理论中，一直要求既注意数学的逻辑体系又关注学生的认知规律，但在教材编写的实践中却往往把学生的认知规律放在次要地位，更多考虑了数学本学科的逻辑要求。在与学生的认知规律发生矛盾时，往往不敢“暂留模糊”。强调数学课程的综合性，其实质是要使学生的已有经验与数学的内在逻辑有机地统一起来，并且通过综合实践活动使创新精神和实践能力的培养得到加强与落实。
值得指出的是，“改变过于注重书本知识的现状”不能与削弱书本知识等价，学校教育的性质决定了学生必须以学习书本知识为主。强调数学课程与学生生活及社会实践的联系，主要是为了让学生更好地学好数学基础知识、练好数学基本技能，更加深刻地理解数学知识的内涵，并能在生活和生产实践中加以应用。生活经验、社会实践不能代替书本知识学习。基本的、重要的数学知识的系统学习始终是最主要的。那种“重要的不在于让学生学到多少数学知识，而在于使学生掌握数学学习的方法，提高数学素养”的提法是片面而有害的。否则，象上世纪第一次数学教育改革，为了纠正过分强调学科的地位和作用而忽视一定的生活、活动和实践的状况，提出以生活为中心、以活动为中心来构建数学课程的主张，实践已经证明这是片面的，它降低了学生认识的起点，从而导致数学教育质量的严重下降，是行不通的。学校数学教育的“最大特点和优势，就在于为学生的认识和发展，提供高起点”。[11]
6．处理好学生的自主探究式学习与教师的适度引导、帮助的关系。学之道在于“悟”，教之道在于“度”。学生通过自己的实践探索产生对知识本质的理解、对知识意义的领悟，教师则要在学生学习过程中把握好恰当的“干预度”。过去的课堂教学实践存在一定的“教师中心”倾向（当然，“以学生为中心”也不能正确反映教学过程中各因素之间的关系），这对学生主体性的发挥，特别是创造性的培养和发挥是不利的，因此应当改变，要加强学生学习的自主性。这就要我们在课程改革的各个环节（课程设置、教材编写、课堂教学、课程评价等等）都考虑到给学生的自主学习提供时间和空间，倡导学生主动参与、勤于动手、积极探索。教材编写应当考虑课程实施的需要，为改变死记硬背、机械训练的状况奠定基础。从学生的已有经验出发，构建“情景性问题”，使学生能够经历数学知识的再发现、“数学化”的过程，为学生掌握“默会知识”营造认知环境，为培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力提供载体，这是教材编写的努力方向，我们应当进行积极的实践。课程实施过程中，教师的角色要做相应的调整，要把主要精力放在设计教学情境，或与学生一起、帮助学生设计正确的学习路线、选择正确的学习方法，指导和帮助学生分析、处理各种信息等方面。数学教学中，人与人之间的情感交流是最重要的教育资源、方法和手段，所以教师的作用是非常重要的，某种意义上可以说比过去更重要了。因为过去学生接触的事物较少，信息渠道也不多，接受的大部分是书本知识，但信息时代、网络时代的信息渠道四通八达，学生获取信息的渠道、方式和方法等都是教师、家长所无法控制的。这样，对各种信息的辨别、分析、处理和使用的指导和帮助就显得更加重要了。所以，教师的角色会变化，但作用更大了，未来教师也更难当了。
7．加强信息技术与数学课程的整合。《纲要》中提出，要“大力推进信息技术在教学过程中的普及应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”
《基础教育课程改革纲要（试行）》（以下简称《纲要》）指出，基础教育课程改革的具体目标是：
“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程，以适应不同地区和学生发展的需求，体现课程结构的均衡性、综合性和选择性。
改变课程内容‘难、繁、偏、旧’和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。
改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
„„”[1]
为什么要提出这样的改革目标呢？笔者认为，这是与时代进步和国际基础教育发展趋势密切相关的。本文根据上述精神，对我国当前的数学教育改革问题谈点初步认识。 一对数学教育改革历史的简单回顾
数学教育改革有着自身的规律性，数学教育应紧跟时代发展的步伐不断进行改革，但需要处理好继承、发展与创新之间的关系。一般来说，教育领域的革命是不可取的，因为“教育的继承性是很强的，教育的内容、方法及其结构具有很大的稳定性”[2]。因此，回忆一下上个世纪数学教育改革的历史，对于我们把握未来数学教育发展的趋势，更好地落实课程改革的目标是非常必要的。
众所周知，在过去的一个世纪中，国际上经历了三次大的数学课程改革运动。
第一次发生在20世纪初，史称“克莱因—贝利运动”。19世纪末，科学技术飞速发展，人们发现数学课程的内容和方法已不能适应那个时代的科学和生活需要，也不能适应数学自身发展的需要，迫切要求进行数学教育改革。为此，英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”、“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。克莱因还提出了改革的方针：顺应学生心理发展的规律，选取和排列教材；融合数学各分科，密切数学与其他学科的关系；不过分强调数学的形式训练，应当强调实用方面，以便充分发展学生对自然和社会的各种现象进行数学观察的能力；以函数概念和直观几何作为数学教学的核心。[3]显然，这些主张与我国目前数学教育改革中提出的一些改革思想是非常相似的。这就是人们所说的数学教育改革中的“钟摆现象”。这次改革以杜威的实用主义思想为指导，主张从传统教育的课堂中心、课本中心、教师中心转移到活动中心、儿童中心、儿童兴趣中心。杜威主张“教育即生活”、“学校即社会”，提出“从做中学”的教学原则，并从这个教学原则出发，认为课程必须考虑到能适应社会生活的需要，强调课程教材要与儿童生活经验相联系。杜威的教育思想影响遍及世界，而且至今也还存在。由于过分强调了学校教育应以“儿童为中心”，强调实用，忽视系统理论知识的学习，降低了学生的认识活动的起点，导致学校教育中知识质量的下降，再加上两次世界大战等外部原因，这场改革运动未能取得较好的效果。
第二次发生在20世纪中叶，史称“新数运动”。20世纪中叶是冷战时期，科学技术有了突飞猛进的发展，为各国在各个领域的竞争提供了条件。世界各国都清醒地认识到，赢得竞争主动权的关键是培养各种掌握先进科技的人才。数学课程改革就是在这样的社会背景下进行的。这次改革，指导思想属于“精英教育”，认为数学教育的主要任务是培养数学家、科学
家。理论基础是结构主义哲学思想，认为数学学科存在一系列基本结构，把这种结构以及数学所特有的研究方法作为教学内容时，可以使教学获得最好的结果。布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。„„与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”[4]在内容和结构上，“新数学”提倡发现学习，要求学生尽可能地感到像一名数学家那样，不仅使用他的工具，还要以自己的眼光来看待问题；不仅只体验自己的研究成果，还要体验从事数学活动的快乐。因此，在教学目标上，把科学方法，如“探究”、“问题解决”、“发现法”和“学科研究方法”等作为主要目标，提出数学课程“不仅要反映出知识本身的性质，而且要反映出理解知识和获得知识的过程的性质”。[5]在课程实施过程中，教师不再是所有知识的源泉，而是强调教师引导学生自己去探究和发现。布鲁纳提出，“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。”“学会学习”本身比“学会什么”更重要。[6] 由于教学观点存在严重缺陷，过于理想化，“新数学”教材过早地要求学生掌握过难的内容，没有考虑大多数学生的接受能力，脱离了学生的认识规律，学生学习效率低下；“发现学习”的设计难度大、对教师和学生要求高，一般教师难以胜任，严重脱离了普通教师，因此导致了课程实施的巨大困难。再加上一些来自教育外部的原因，导致这场教育改革运动没有取得预期结果。在20世纪70年代又喊出了“回到基础去”口号。
当然，尽管这次改革的结果不尽如人意，但对世界数学教育改革所产生的影响是深远的。这次改革中提出的一些思想，例如，教学内容的现代化，把现代数学的最新发展、最新思想反映到课程中来，重视科学方法的学习，强调发现式学习，重视学生的自主探究和亲身实践，学习是一个过程而不是结果，等等，受到许多人的推崇。不难看出，这些思想在我国当前的数学教育改革中也有重大影响。
第三次数学课程改革从20世纪80年代初开始一直延续至今。随着社会的进步，中等教育的普及化、终身教育思想的兴起，使得数学教育的目的从过去的为升学做准备转变到了为学生提供今后得以发展和接受继续教育的基础，因此应当培养学生一定的自学能力、探究能力，以便能够接受继续教育。科学技术的迅猛发展、信息技术在日常生活中的广泛使用，要求广大普通老百姓能够更加深入地理解数学，从而适应数字化时代的生活。另外，数学教学质量的严重下降，引起人们的广泛关注和普遍忧虑。数学课程改革就是在这样的背景下进行的。这次改革，指导思想是“大众教育”，“数学为人人”（mathematicsforall ）的思想被广泛接受，理论基础是建构主义。数学教育旨在发展学生的数学素养，促进学生自觉自主地学习数学，提高教学质量。在对数学素养内涵的理解上，将过去的（1）理解数学的概念和原理；
（2）理解数学的探究过程；（3）理解数学与一般文化的关系，发展为：（1）理解数学的本质、数学的价值等；（2）了解数学发展的历史；（3）理解数学与社会的关系，强调“问题解决”的能力。从国际范围看，本次数学课程改革的重点在课程目标和指导思想上。数学教材是落实课程目标的载体，但人们越来越清楚地看到，教师教育思想的变革、教学水平的提高更加关键，教育思想的变革会带来教学过程、教学手段、教学方法等的一系列变革。再好的教材，如果教师教学水平不提高，也不能发挥真正有效的作用。
从上述简单回顾可以看出，数学教育改革总是在曲折中前进的，改革中存在着许多永恒的课题，出现改革的“钟摆现象”是因为在改革过程中没有能够把握好涉及教育深层次矛盾的平衡。例如，数学学习与人文素质的养成的关系，儿童经验的积累与系统知识学习之间的关系，数学教育的普及和提高之间的关系，教学过程中教师与学生的关系，书本知识的系统学习和实践应用之间的关系，数学知识的严谨性与学生认知发展水平之间的关系，数学教育必要的稳定性与社会发展对人的数学素养要求的变化性的关系，等等。数学教育改革的历史告诉我们，这些关系的处理，任何强调一个方面而忽视另一个方面的做法都是不可取得。矫枉过正、过犹不及，历史的经验教训值得记取。
二对当前我国数学课程改革的思考
当前我国数学课程改革并不局限在课程上，实际涉及了教育思想、教育目标、教育内容、教育方法等各个方面。可以说，人们对任何时期的数学教育都不会说“满意”，随着社会的发展、科技的进步，数学教育的改革是永恒的。实际上我国数学教育改革的步伐一刻也没有停止过。总结国内外数学教育改革经验，我们认为在当前的数学课程改革中如下问题应特别关注。
1．全面贯彻党的教育方针，大力推进素质教育。数学课程既要体现基础性、普及性，使全体学生都达到基本的数学要求；同时，又要体现发展性，注意创造性人才、尖子人才的数学发展需求，鼓励和支持学生在数学上冒尖。
随着社会的进步和发展，基础教育已经逐步发展为普通的、共同的国民教育，这是以提高人的素质为主要目的的教育。通过接受基础教育，要使学生在思想品德、民族传统、道德法律等方面受到教育，逐步形成正确的世界观、人生观和价值观，成为有社会责任感的、能努力为人民服务的人，并初步形成创新精神、实践能力、科学和人文素养以及环境意识，掌握适应终身学习的基础知识、基本技能和方法，成为有理想、有道德、有文化、有纪律的一代新人。而在义务教育阶段，基础性、普及性是更为重要的。因此，数学教育应当根据基础教育的这一特点，把使全体学生掌握必要的数学知识并能在实践中使用，以适应终身学习的需要作为主要任务。这是时代发展赋予数学教育的使命。
但是，这里要注意，“面向全体学生”并不意味着“平均主义”，不能以降低标准为代价。要处理好“面向全体”与“保持标准”之间的关系。实际上，“面向全体学生”是建立在承认人的差异性、强调个人对自己发展的自主性的基础上的，而不能要求所有的人按照一个标准（低标准就更不行了）来发展。“面向全体学生”与“因材施教”是同义词。为此，数学课程应当具有较好的可选择性，教材应当有弹性。规定一个大多数学生能够接受的标准（这个“标准”需要进行大量研究），同时设置弹性内容，使得不同学生有选择机会。特别应当注意为那些在数学上有特别兴趣、有突出表现的学生提供数学发展机会。
2．综合考虑数学教育的社会功能和育人功能。过去考虑较多的是数学的工具性，考虑适应社会发展的需要，为经济建设和社会实践服务。而在育人（促进人的发展）方面，注重的是“智育目标”，注意力集中在掌握数学知识、发展思维能力上。在当前的数学课程改革中，除了考虑这些以外，还要强调人的发展需要，为人的发展服务，使学生通过数学学习形成良好的情感态度，形成正确的价值观。“教育的本质是提高人的素质，也即个体的发展。”教育的社会功能要通过育人功能来体现，公民素质的提高才是社会发展的根本保证，经济建设和社会进步才有了真正的基础。从根本上说，“社会功能”和“育人功能”是内在统一的，具体落实在学生的个性发展上。
就促进学生个性发展而言，数学课程的功能也应从单纯注重传授知识转变为引导学生学会学习、学会生存、学会做人，特别应当关注学生的“科学素养”。“科学素养”内涵“概念性知识、科学理智、科学伦理、科学与人文、科学与社会、科学与技术”等六个范畴，因此，“科学”（包括数学）学科的任务，不仅要传授作为事实性知识的“科学知识”，而且要传授“方法论知识”、“规范性（价值性）知识”，使学生学会探究，学会跨学科的知识整合，学会做人。[7]
需要指出的是，学校教育中，数学知识的系统学习始终是最重要的，没有知识的学习和掌握，学生的一切发展都将落空。“青少年学生个体的发展，主要是通过掌握人类长期积累的认识和改造世界的已有成果而实现的，也就是通过学习科学知识（而且主要是书本知识）而实现的”。[8]认知心理学的研究也表明，学生是否能够成功地用数学解决问题，其决定因素是学生是否具备了比较完备的数学知识。另外，数学知识“不仅凝结着人类认识和改造客观世界的成果（事物的特性、规律等），而且凝结着人类主观精神，包括能力、情感、意志、思
想、品德等，发展到当今时代，更富有自然、社会、历史、人文等丰富的文化内涵”。学生在数学学习中，“通过精心设计，教师领导学生简化地展开、再现、重演科学知识中隐含着的原始的实践和认识活动，包括认知活动和情感体验活动等，这也就是学生认识世界，接受文化熏陶，德、智、体等素质发展的过程”。[9]一般的，知识学得越多、越好，素质越高。因此可以说，不仅有“无知者无能”，而且有“无知者无情”。当然，数学知识学习的目标应当发展。除了通过学习而了解数学概念“是什么”、理解数学知识的内涵、本质及其逻辑体系等以外，还要通过理解知识的内涵、本质等而发展对数学的主体的、充满情感色彩的认识，通过对数学的亲身体验和实践而产生对数学的一种看法，即价值观。例如，通过数学学习，要产生对事物发展变化规律进行理性思考的习惯和爱好，养成凡事讲前因后果、正直诚实、实事求是、尊重理性、追求真理、坚定自信、刻苦勤奋、责任心强、勇于创新、百折不挠、持之以恒、严谨细致、独立思考等态度。只有这样才能为每个学生的具有个性的健康发展创造条件。
另外，发展学生的数学能力，特别是思维能力仍然是数学教育的首要任务。“数学是思维的科学”，因此，数学的育人功能在很大程度上需要通过发展学生的思维能力来体现。数学能力强的学生不仅会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，具有良好的思维品质，而且能够在他的学习和生活中自觉地运用数学；他们能从数学的角度看问题，知道什么时候以及如何应用数学去的分析、解决问题是有效的；他们具备选择职业和进一步学习数学所需要的数学基础。显然，这些都是当代劳动者所应具备的基本素质。数学能力的内涵非常丰富，包括能够理解数学概念和方法，在各种情况下辨明数学关系；会逻辑地推理，解决各种常规的和非常规的问题；能够用数学方法阅读文献，能够用口头和书面形式表达数学关系，进行逻辑分析；能够有效地进行数学交流，即会阅读并理解数学课本，会口头和书面把数学研究和问题解决的结果向别人表达，等等。
3．深刻理解数学“双基”的内涵。为了实现数学课程功能的转变，首先需要确定哪些基础知识和基本技能是学生终身发展所必需的。这里涉及如何理解“双基”内涵的问题。过去人们认为“双基”主要指代数、几何等学科中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及按照一定的程序与步骤进行的运算、作图或画图、推理等操作活动。从当代认知心理学对知识的分类看，这些都属于“陈述性知识”，或“明确的知识”。除陈述性知识外，还有另一类知识，这就是“程序性知识”，或“默会知识”。这类知识是从活动过程、活动方式中表现出来的，只能在实践中通过观察、模仿和自主活动而获得。因此，在选择和确定“双基”时，应当做到“过程”与“结果”并重，既重视“陈述性知识”（“明确知识”），又重视“程序性知识”（“默会知识”）。当前，适当地加强探究性活动是需要的。例如，对于概念、法则、性质、公式、公理、定理等，先不直接给出明确定义，而是通过一定量的实例引导学生进行观察、实验、推理，尽量使学生去“经历”、“探索”、“体验”它们的形成过程；适当突出或增加一些活动性内容，例如，几何中的“变换”、“投影”，代数中的建模、估计、实践活动，统计中的数据收集、整理、分析等活动，等等。在数学课程中设置一些适合学生认知发展水平的综合实践活动，强调学生在学习过程中的自主探究性活动，通过实践活动来培养学生综合运用所学知识的能力，发展创新精神和实践能力，是时代发展的要求。
4．强调学习的过程和学习的方法。过去的数学教学中，人们更多关注了学习的结果，对学生的学习方式和学习策略关注不够。当前，为了引导学生学会学习，必须特别关注学习过程和学习方式。
学生掌握科学的学习方式和学习策略，是实现主动参与式学习、探究式学习、自主活动式学习、合作学习的条件。这个问题涉及到教学材料的选取和内容的呈现方式，更依赖于教师的教学。科学的学习方式和良好的学习策略只能在学生积极的、自主的数学活动中形成。教学中应当充分重视学生亲身感受、实践操作、合作交流，给学生提供探索与交流的空间，
使数学学习过程真正成为学生在自己已有经验（包括数学的和非数学的）基础上的主动建构过程，在数学知识的形成与应用过程中认识和掌握“双基”，强调数学思想方法在学习和解决问题过程中的作用，从知识的联系与综合中理解知识，等等。
重视学习的过程，强调探究性学习，一些方法或策略性的知识、价值性的知识必然会凸显出来。例如，如何发现问题、提出问题，如何解释和转化问题使之变成更易于解决的形式，如何收集、判断、选择和利用信息，如何选择和有效地使用工具（例如信息技术工具），如何与人合作交流，如何面对未知世界的挑战以及学习中的困难，等等。在这样的过程中，长期潜移默化的熏陶，可以使学生逐渐养成“数学地思维”的习惯，养成勤奋刻苦、求实创新的精神。
这里，对学习方式、学习过程应当作全面理解。应当说，接受式学习仍然是学校数学学习的主要方式，接受学习并不一定就是被动的，因为经验的接受并不能象物体的接受那样，可以在不改变它的性质和存在方式的状态下进行。“经验的接受过程是主体重建经验结构的过程，即其心理结构的构建过程。„，它必须处于十分主动的状态，积极进行一系列复杂的生理与心理水平的变换，即能动的反映活动才能实现。”[10]“举一反三”、“融会贯通”、“触类旁通”等等，都是能动的接受学习的写照。但是，如果把接受学习演化为死记硬背、机械训练，没有学生积极主动的数学思维参与，没有学生的主体建构，这就失去了“数学知识经验的接受”的本来含义了。所以，学习方式的被动或主动，关键并不在于它是“接受的”还是“发现的”，而是在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度。学习过程是指学生在已有经验的基础上，通过新旧知识的相互作用而将新知识内化到主体认知结构中去的过程，是对知识的主动建构过程，是数学认知结构的组织和再组织的过程。这个过程有层次性、阶段性。完整的学习过程应当包含感知和观察问题情境、抽象和表述数学问题、进行数学推理变换或证明、对结果进行反思修正或推广以及应用等，这是一个从具体到抽象再到具体的循环过程。具体可以有两种不同的形态。一种表现为对问题情境的观察、分析、假设、抽象而获得数学模型，并选择恰当的数学工具，应用有效的数学思想方法去求解、验证、解释模型，必要时对问题情境进行再分析、修改假设、再求解模型。这一学习过程比较完整地体现了数学的学和用之间的关系，在强调创新精神和实践能力培养的今天，需要特别强调。另一种表现为在抽象的数学原理指导下的实践活动，在数学概念、定理、性质等的引导下，通过恰当的变式训练、知识的实际应用等而达到对知识的理解，并进而逐渐达到创造性地应用知识去解决问题。这是一种高效的学习过程，是学生在短时间内掌握大量书本知识的主要方式。
当前，如何使数学基础知识和基本技能的学习过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，将创新精神和实践能力的培养落实在数学知识的学习中，是一个需要下大力进行研究的问题。
5．课程内容强调书本知识、生活知识、社会实践性知识的联系。既要保持数学知识的一定系统性、结构性（系统性知识、结构功能良好的知识才能在人们处理问题的过程中正真发挥作用），又要注意与其他学科及社会实践性知识的联系、综合和整合。
《纲要》认为，我国整个基础教育阶段的课程设置存在“课程内容‘难、繁、偏、旧’和过于注重书本知识的现状”，因此应当加强课程内容与学生生活及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能，这是数学课程内容改革的指导原则。我们应当认真反思数学课程中“难、繁、偏、旧”的问题及其造成这种状况的原因。数学中存在一些非常古老（例如平面几何的内容、实数的有关内容等等）但却是学生终身发展所必需的内容，其中有些虽然比较难学，但仍应让学生学习。总体上看，数学学习是一项艰苦的智力劳动，不下苦功是不行的。当然，这些内容的呈现与表述，应当与学生的心理发展水平相适应，应当用现代数学思想为指导，从而使古老的内容焕发出时代青春。我们认为，就当前的数学课程内容改革而言，重点应当放在呈现方式的变革上，通过与学生
周围生活、现代社会以及科技发展的联系，在现代数学思想方法的指导下，把需要学习的“双基”呈现出来。另外，通过加强实践性、探究性内容，使学到的知识有应用的机会，在应用的过程中把那些“默会知识”或“程序性知识”表现出来。
在数学课程结构体系的组织上，应当适当强调综合。这就要求我们在组织课程内容时，既要关注学生的已有经验（包括从生活中获得的经验和从学校学习中获得的经验）、学习兴趣，又要关注数学学科本身的内在逻辑。在我国的数学课程理论中，一直要求既注意数学的逻辑体系又关注学生的认知规律，但在教材编写的实践中却往往把学生的认知规律放在次要地位，更多考虑了数学本学科的逻辑要求。在与学生的认知规律发生矛盾时，往往不敢“暂留模糊”。强调数学课程的综合性，其实质是要使学生的已有经验与数学的内在逻辑有机地统一起来，并且通过综合实践活动使创新精神和实践能力的培养得到加强与落实。
值得指出的是，“改变过于注重书本知识的现状”不能与削弱书本知识等价，学校教育的性质决定了学生必须以学习书本知识为主。强调数学课程与学生生活及社会实践的联系，主要是为了让学生更好地学好数学基础知识、练好数学基本技能，更加深刻地理解数学知识的内涵，并能在生活和生产实践中加以应用。生活经验、社会实践不能代替书本知识学习。基本的、重要的数学知识的系统学习始终是最主要的。那种“重要的不在于让学生学到多少数学知识，而在于使学生掌握数学学习的方法，提高数学素养”的提法是片面而有害的。否则，象上世纪第一次数学教育改革，为了纠正过分强调学科的地位和作用而忽视一定的生活、活动和实践的状况，提出以生活为中心、以活动为中心来构建数学课程的主张，实践已经证明这是片面的，它降低了学生认识的起点，从而导致数学教育质量的严重下降，是行不通的。学校数学教育的“最大特点和优势，就在于为学生的认识和发展，提供高起点”。[11]
6．处理好学生的自主探究式学习与教师的适度引导、帮助的关系。学之道在于“悟”，教之道在于“度”。学生通过自己的实践探索产生对知识本质的理解、对知识意义的领悟，教师则要在学生学习过程中把握好恰当的“干预度”。过去的课堂教学实践存在一定的“教师中心”倾向（当然，“以学生为中心”也不能正确反映教学过程中各因素之间的关系），这对学生主体性的发挥，特别是创造性的培养和发挥是不利的，因此应当改变，要加强学生学习的自主性。这就要我们在课程改革的各个环节（课程设置、教材编写、课堂教学、课程评价等等）都考虑到给学生的自主学习提供时间和空间，倡导学生主动参与、勤于动手、积极探索。教材编写应当考虑课程实施的需要，为改变死记硬背、机械训练的状况奠定基础。从学生的已有经验出发，构建“情景性问题”，使学生能够经历数学知识的再发现、“数学化”的过程，为学生掌握“默会知识”营造认知环境，为培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力提供载体，这是教材编写的努力方向，我们应当进行积极的实践。课程实施过程中，教师的角色要做相应的调整，要把主要精力放在设计教学情境，或与学生一起、帮助学生设计正确的学习路线、选择正确的学习方法，指导和帮助学生分析、处理各种信息等方面。数学教学中，人与人之间的情感交流是最重要的教育资源、方法和手段，所以教师的作用是非常重要的，某种意义上可以说比过去更重要了。因为过去学生接触的事物较少，信息渠道也不多，接受的大部分是书本知识，但信息时代、网络时代的信息渠道四通八达，学生获取信息的渠道、方式和方法等都是教师、家长所无法控制的。这样，对各种信息的辨别、分析、处理和使用的指导和帮助就显得更加重要了。所以，教师的角色会变化，但作用更大了，未来教师也更难当了。
7．加强信息技术与数学课程的整合。《纲要》中提出，要“大力推进信息技术在教学过程中的普及应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”