初中物理
题目：
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名： 宁 国 强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般
表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征函数的求解
取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为
V (x ) =
12
μωx （1）
2
2
其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为
H =
p
2
2μ
+
12
μωx （2）
22
体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为
⎛ 2d 2122
ˆ-+μωx 2
2⎝2μdx
⎫
⎪ψ⎭
(x )=E ψ(x ) （3）
严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
ψ(x )−−→0 （4）
x →∞
将方程（3）无量纲化，为此，令
2
ξ=
=αx ，
α=
λ=
2E ω
（5）
（3）式可改写为
d ψd ξ
22
+λ-ξ
(
2
)
ψ=0 （6）
这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当⎢⎣ξ⎥⎦很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为
d ψd ξ
22
-ξψ=0
2 （7）
±ξ/2
2
它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ
2
。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，
2
/2
不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ
/2
。方
程(6)在ξ为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ψ(ξ)=A e
-
ξ
2
2
H (ξ) （8）
式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得
d
2
H
2
d ξ
-2ξ
d H
（9） +(λ-1)H =0
d ξ
用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使ψ(ξ)为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：λ=2n +1，
(n =0,1, 2 )。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
1⎫⎛
E n = ω n +⎪，
2⎭⎝
2) （10） (n =0, 1,
因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示) ，两相邻能级间的间隔为 ω，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
3
当λ=2n +1时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式： H n (ξ)=(-1)e
n
ξ
2
d
n n
d ξ
e
-ξ
2
（11）
可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
⎰-∞
+∞
H m (ξ)H
(
ξ)e n
-ξ
2
d ξ=
n
n ! δm n （12）
归一化的谐振子能量本征函数为 ψn (x )=A n 归一化常数
A n =⎤
n
n ! ⎥⎦
2
122
-αx e 2
H n (αx )， (n =0, 1, 2) （13）
（14）
线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
*
(x ) ψn (x ) dx =δmn （15） (ψm (x ), ψn (x ) )=⎰-∞ψm
+∞
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式：
1⎛
ˆψn (
x )=x
α ⎝
n -1(
x )+
⎫
n +1(x )⎪ ⎪⎭
（16）
ˆ2ψn (x )
=x
12α
2
n -2(x )++(2n +1)ψn (x )
+
n +2(x )) （17）
d ψn (
x )dx
d ψn (
x )dx
22
⎛
=α
⎝
=
n -1-
⎫
n +1⎪ （18）
⎪⎭
α
2
2
n -2(x )-(2n +1)ψn (x )
+
4
n +2(x )) （19）
利用（16）之（19）及ψn (x ) 的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在ψn (x ) 态下以下各力学量的平均值：
ˆ=(ψx
n
ˆψn (x ))=0 （20）
(x ), x
d ψn (x )⎫⎛ˆ=(ψn (x ), p ˆψn (x ))=-i ψn (x ), p ⎪=0 （21）
dx ⎝⎭
ˆ2=ψn (x ), x ˆ2ψn (x )=x
()
12α
(2n +1)= n +2
⎝
2
⎛
1⎫
（22）
⎪
2⎭m ω
⎫(x )⎪
⎪⎭
ˆp
2
ˆψ=ψn (x ), p
(
2
n
(x ))
⎛
= ψ ⎝
n
d ⎫⎛
(x ), -i ⎪ψ
dx ⎭⎝
n
2
⎛⎫α2 2d 1⎫⎛=- ψn (x ), 2n (x )⎪=(2n +1)= n +⎪m ω （23）
dx 22⎭⎝⎝⎭
2
在上述结果基础上，容易求出ψn (x ) 态下谐振子的平均势能和平均动能为
=12m ω
2
x
2
=
1⎛1⎫1
n + ω=E n ⎪2⎝2⎭2
（24）
T =
p
2
2m
=
1⎛1⎫1n + ω=E n （25） ⎪2⎝2⎭2
5
初中物理
题目：
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名： 宁 国 强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般
表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征函数的求解
取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为
V (x ) =
12
μωx （1）
2
2
其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为
H =
p
2
2μ
+
12
μωx （2）
22
体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为
⎛ 2d 2122
ˆ-+μωx 2
2⎝2μdx
⎫
⎪ψ⎭
(x )=E ψ(x ) （3）
严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
ψ(x )−−→0 （4）
x →∞
将方程（3）无量纲化，为此，令
2
ξ=
=αx ，
α=
λ=
2E ω
（5）
（3）式可改写为
d ψd ξ
22
+λ-ξ
(
2
)
ψ=0 （6）
这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当⎢⎣ξ⎥⎦很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为
d ψd ξ
22
-ξψ=0
2 （7）
±ξ/2
2
它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ
2
。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，
2
/2
不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ
/2
。方
程(6)在ξ为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ψ(ξ)=A e
-
ξ
2
2
H (ξ) （8）
式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得
d
2
H
2
d ξ
-2ξ
d H
（9） +(λ-1)H =0
d ξ
用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使ψ(ξ)为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：λ=2n +1，
(n =0,1, 2 )。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
1⎫⎛
E n = ω n +⎪，
2⎭⎝
2) （10） (n =0, 1,
因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示) ，两相邻能级间的间隔为 ω，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
3
当λ=2n +1时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式： H n (ξ)=(-1)e
n
ξ
2
d
n n
d ξ
e
-ξ
2
（11）
可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
⎰-∞
+∞
H m (ξ)H
(
ξ)e n
-ξ
2
d ξ=
n
n ! δm n （12）
归一化的谐振子能量本征函数为 ψn (x )=A n 归一化常数
A n =⎤
n
n ! ⎥⎦
2
122
-αx e 2
H n (αx )， (n =0, 1, 2) （13）
（14）
线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
*
(x ) ψn (x ) dx =δmn （15） (ψm (x ), ψn (x ) )=⎰-∞ψm
+∞
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式：
1⎛
ˆψn (
x )=x
α ⎝
n -1(
x )+
⎫
n +1(x )⎪ ⎪⎭
（16）
ˆ2ψn (x )
=x
12α
2
n -2(x )++(2n +1)ψn (x )
+
n +2(x )) （17）
d ψn (
x )dx
d ψn (
x )dx
22
⎛
=α
⎝
=
n -1-
⎫
n +1⎪ （18）
⎪⎭
α
2
2
n -2(x )-(2n +1)ψn (x )
+
4
n +2(x )) （19）
利用（16）之（19）及ψn (x ) 的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在ψn (x ) 态下以下各力学量的平均值：
ˆ=(ψx
n
ˆψn (x ))=0 （20）
(x ), x
d ψn (x )⎫⎛ˆ=(ψn (x ), p ˆψn (x ))=-i ψn (x ), p ⎪=0 （21）
dx ⎝⎭
ˆ2=ψn (x ), x ˆ2ψn (x )=x
()
12α
(2n +1)= n +2
⎝
2
⎛
1⎫
（22）
⎪
2⎭m ω
⎫(x )⎪
⎪⎭
ˆp
2
ˆψ=ψn (x ), p
(
2
n
(x ))
⎛
= ψ ⎝
n
d ⎫⎛
(x ), -i ⎪ψ
dx ⎭⎝
n
2
⎛⎫α2 2d 1⎫⎛=- ψn (x ), 2n (x )⎪=(2n +1)= n +⎪m ω （23）
dx 22⎭⎝⎝⎭
2
在上述结果基础上，容易求出ψn (x ) 态下谐振子的平均势能和平均动能为
=12m ω
2
x
2
=
1⎛1⎫1
n + ω=E n ⎪2⎝2⎭2
（24）
T =
p
2
2m
=
1⎛1⎫1n + ω=E n （25） ⎪2⎝2⎭2
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