马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作....图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号...所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. .........................
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.
(1)已知集合UZ,S{1,2,3,4,5},T{1,3,5,7,9},则图中阴影部分表示的集合是( ▲ )
A. {1,3,5} B. {1,2,3,4,5} C. {7,9} D. {2,4}
(2)若i为虚数单位,图中复平面内的点Z表示复数z,z为复数z的共轭复数, 则表示复数
A. 点E C. 点G
2z
的点是( ▲ ) 1i
B. 点F D. 点H
(3)在等比数列an中,若a2a34,a4a516,则a8a9( ▲ )
A. 128 B. -128 C. 256 D. -256
(4)“m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy30垂直”的( ▲ )
第2题图
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
(5)两圆C1:x2y210和C2:x2y24x50的位置关系是( ▲ )
A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离
(6)对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x23x2)f(x)0,则在区间[1,2]上必有( ▲ )
A. f(1)f(x)f(2) B. f(x)f(1) C. f(x)f(2) D. f(x)f(1)或f(x)f(2)
xy0
(7)若实数x,y满足条件xy10,则x3y的最大值为( ▲ )
0x1
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (8)函数f(x)Asin(x)(其中A0,0,||
图所示,将f(x)的图象向右平移
2
)的部分图象如
应的函数解析式为( ▲ )
A.f(x)sin2x B.f(x)sin2x
2
C.f(x)sin(2x) D.f(x)sin(2x)
33第8题图
x2y2
(9)过双曲线221(a0,b0)左焦点F1,倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P,若线段PF1的
ab
中点在y轴上,则此双曲线的离心率为( ▲ )
个长度单位,所得图象对3
A.
(10)如图,在ABC中,ADAB,BC,AD1,则ADAC等于( ▲ )
A. B. D. B. C. 3 D. 第Ⅱ卷(非选择题,共100分)B
二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请在答题卡上答题.
(11)函数f(x) ▲ .
D
第10题图
C
(12)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2asinC,bc4,则ABC的面积是 ▲ .
(13)右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底
长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的表面积是 ▲ . 正(主)视图 侧(左)视图 (14
1x()1,(x0)
(15)已知函数f(x)2,对于下列命题:
x22x,(x0)
①函数f(x)的最小值是0;
②函数f(x)在R上是单调递减函数; ③若f(x)1,则x1;
④若函数yf(x)a有三个零点,则a的取值范围是0a1; ⑤函数yf(x)关于直线x1对称.
其中正确命题的序号是___.(填上你认为所有正确命题的序号).
三、解答题:本大题共6个小题,满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本题满分12分)
已知函数f(x)cos(2x2sin2x,xR.
3
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(Ⅱ)当x[0]时,求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值.
2
(17)(本题满分12分)
2013年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与PM2.5有关. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值越小,空气质量越好. 2012年2月29日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:
第17题图
某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的PM2.5日均值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ)分别求出甲、乙两市PM2.5日均值的样本平均数,并由此判断哪个市的空气质量较好; (Ⅱ)若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量超标的概率.
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)5lnxax26x(a为常数),且f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴. (Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
(19)(本题满分13分)
如图,已知四边形ABCD为梯形,AB ∥CD,ADC60° ,四边形ABEF为矩形,且平面ABEF平面ABCD,ADDCAF
1
AB2,点G为AE的中点. 2
第19题图
(Ⅰ)求证:CG ∥平面ADF; (Ⅱ)求证:平面ACF平面BCE; (Ⅲ)求三棱锥FACG的体积.
(20)(本题满分13分)
已知等差数列{an}和公比为q(q1)的等比数列{bn}满足:a1b11,a2b2,a5b3. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{anbn}的前n项和为Sn,且对任意nN*均有an1bn12(Sn1)n2n成立,试求实数的取值范围.
(21)(本题满分13分)
1x2y2
已知椭圆C:221(ab0),F(1,0)为其右焦点,离心率为.
2ab
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
1
xm(Ⅱ)若点E(0),问是否存在直线l:yk,使l与椭圆C交于M,N两点,且
2
(EMEN)(EMEN)0.若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案详解
一、选择题:(1)【答案】D
【命题意图】本题考查集合运算,venn图.简单题.
(2)【答案】D.z12i,
2z2(12i)(1i)
13i. 1i2
【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算.简单题.
(3)【命题意图】本题考查等比数列的基本运算.简单题. (4)【答案】A.
【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识.简单题. (5)【答案】C.
【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系.简单题. (6)【答案】A
【命题意图】本题考查导数的应用,函数的单调性.中等题. (7)【答案】B.
【命题意图】本题考查线性规划,考查数形结合能力.中等题. (8)【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换.中等题. (9)【答案】D.
【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质,考查运算求解能力.较难题.
(10)【答案】B. ADACAD(ABBC)ADABADBCADBC
AD||BD|cosADBAD|2
【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义.较难题.
二、填空题(11【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法.简单题.
(12)【答案】1.
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式.简单题.
(13)【答案】17.
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、表面积的计算,考查空间想象能力.简单题. (14)【答案】12
【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力.中等题. (15)【答案】③④
【命题意图】本题考查分段函数的性质,考查理解能力和数形结合能力.较难题. 三、解答题:
(16)【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识.简单题.
11
2x1cos2x2xcos2x1 解:(Ⅰ) f(x)cos(2x)2sin2xcos2x3
2
2
sin(2x)1.
6
所以f(x)的最小正周期为T
2k. 由2xk,得对称轴方程为x,kZ.„„„6分 26223
(Ⅱ)当x[0]时, 2x,所以当2x,即x时,f(x)max2;当2x,
266662366
即x0时,f(x)min
1
.„„„„„„„„„„12分 2
(17)【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题.
解:(Ⅰ)甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85;乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.
x甲
344267717985314845657386
63,x乙58.
66
因为x甲x乙,所以乙市的空气质量较好. „„„„„„„„6分
(Ⅱ)由茎叶图知,甲市6天中有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标,记未超标的4天数据为a,b,c,d,超标的两天数据为m,n,则6天中抽取两天的所有情况为:
ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,基本事件总数为15.
记“恰有一天空气质量超标”为事件A,则事件A包含的基本事件为:am,bm,cm,dm,an,bn,cn,dn, 事件数为8. 所以P(A)
88
. 即恰有一天空气质量超标的概率为.„„„„„„„„12分 1515
(18)【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识.中等题.
5
解:(Ⅰ)∵f(x)5lnxax26x,∴f(x)2ax6(x0);又∵f(x)在点(1,f(1))处的切线平行
x
于x轴,∴f(1)52a60,得a
1
. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 2
12x26x5(x1)(x5)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)5lnxx6x,∴f(x)(x0);„„„8分
2xx
由f(x)0得x1,或x5;由f(x)0,1x5.„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (5,+ ∞ ),单调递减区间为 (1 , 5 ).„„„„12分 (19)【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算,考查空间想象能力.中等题.
解:(Ⅰ)取AF中点H,连DH,GH.∵G为对角线AE的1
中点,∴GH ∥EF,且GHEF,∴四边形CDHG为平行四边
2
形,即CG∥DH.又∵CG平面ADF,DH平面ADF,∴CG∥平面ADF.„„„„„„„„„„„„„4分
(Ⅱ)∵四边形ABEF为矩形,且平面ABEF平面ABCD,∴FA平面ABCD,∴FABC;∵四边形ABCD为梯形,AB ∥CD,且ADC60°,∴DAB=120°.又在ADC中,ADC60°,且ADDC2,∴AC=2,DAC=60°,∴CAB=60°.于是在ABC中,由AC=2,AB4,CAB=60°
及余弦定理,得BCAC2BC2AB2,∴ACBC.∴BC平面ACF,又∵BC平面BCE,∴平面ACF平面BCE.„„„„„„„„9分
(Ⅲ)作CMAB,垂足为M,由平面ABEF平面ABCD得CM平面ABEF.
易求得CM
所以三棱锥F
ACG的体积VFACGVCAFGSAFGCMSABEFCM
13113418.„„13分 12(20)【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法,考查运算求解能力、推理论证能力.中等题.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,根据题意,得
1dq
2
14dq
,解得d0,q1(舍去),或d2,q3,
所以数列{an},{bn}的通项公式分别为:an2n1,bn3n1.„„„„„„„„„„„„5分
(Ⅱ)Sna1b1a2b2a3b3anbn1133532733(2n1)3n1 ① 所以3Sn13332533(2n3)3n1(2n1)3n ②
3(13n1)
①-②,得2Sn12(3333)(2n1)312(2n1)3n(22n)3n2,
13
2
3
n1
n
1∴ Sn(n1)n3;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
n2n
所以(2n1)3(2n2)3nn,化简并整理,得3n1.„„„„„„„„„„„10分
n
n
2
n2n(n1)2(n1)n2n(n23n2)(3n23n)22n2
令cnn1,则cn1cnn1n2.
33n233n23
22
,故.„„„„13分 99
(21)【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.较难题.
∵nN*,∴22n20,∴对nN*,cn1cn,∴(cn)maxc1
解:(Ⅰ)由题意知:c1,∵离心率e
c1
,∴a2,b2a2c23,故所求椭圆C的标准a2
x2y2
方程为1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
43
(Ⅱ)假设存在这样的直线l:ykxm满足题意,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为G(x0,y0).
因为(EMEN)(EMEN)0,所以EMEN,所以MNEG.„„„„„„„„„„5分
ykxm
由x2y2,得(34k2)x28kmx4m2120.根据题意,64k2m24(34k2)(4m212)0,
1
43
x1x28km4km3m
,所以,.„„„8分 xykxm000222
234k34k34k
1
∵MNEG,∴MNEG0,即(x2x1)x0(y2y1)(y0)0,
2
yy114km3m1
∴x021(y0)x0k(y0)0,∴k()0.
x2x12234k234k22
得4k23m2.且x1x2
1
解得k0,或m(34k2).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
2
1
当k0时,l:y
m(mm(34k2)时,代入4k23m2,
2111
得34k2(34k2)2,解得k.
422
11
综上所述,存在这样的直线l,其斜率k的取值范围是(,).„„„„„„„„„„13分
22
马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作....图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号...所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. .........................
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.
(1)已知集合UZ,S{1,2,3,4,5},T{1,3,5,7,9},则图中阴影部分表示的集合是( ▲ )
A. {1,3,5} B. {1,2,3,4,5} C. {7,9} D. {2,4}
(2)若i为虚数单位,图中复平面内的点Z表示复数z,z为复数z的共轭复数, 则表示复数
A. 点E C. 点G
2z
的点是( ▲ ) 1i
B. 点F D. 点H
(3)在等比数列an中,若a2a34,a4a516,则a8a9( ▲ )
A. 128 B. -128 C. 256 D. -256
(4)“m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy30垂直”的( ▲ )
第2题图
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
(5)两圆C1:x2y210和C2:x2y24x50的位置关系是( ▲ )
A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离
(6)对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x23x2)f(x)0,则在区间[1,2]上必有( ▲ )
A. f(1)f(x)f(2) B. f(x)f(1) C. f(x)f(2) D. f(x)f(1)或f(x)f(2)
xy0
(7)若实数x,y满足条件xy10,则x3y的最大值为( ▲ )
0x1
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (8)函数f(x)Asin(x)(其中A0,0,||
图所示,将f(x)的图象向右平移
2
)的部分图象如
应的函数解析式为( ▲ )
A.f(x)sin2x B.f(x)sin2x
2
C.f(x)sin(2x) D.f(x)sin(2x)
33第8题图
x2y2
(9)过双曲线221(a0,b0)左焦点F1,倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P,若线段PF1的
ab
中点在y轴上,则此双曲线的离心率为( ▲ )
个长度单位,所得图象对3
A.
(10)如图,在ABC中,ADAB,BC,AD1,则ADAC等于( ▲ )
A. B. D. B. C. 3 D. 第Ⅱ卷(非选择题,共100分)B
二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请在答题卡上答题.
(11)函数f(x) ▲ .
D
第10题图
C
(12)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2asinC,bc4,则ABC的面积是 ▲ .
(13)右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底
长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的表面积是 ▲ . 正(主)视图 侧(左)视图 (14
1x()1,(x0)
(15)已知函数f(x)2,对于下列命题:
x22x,(x0)
①函数f(x)的最小值是0;
②函数f(x)在R上是单调递减函数; ③若f(x)1,则x1;
④若函数yf(x)a有三个零点,则a的取值范围是0a1; ⑤函数yf(x)关于直线x1对称.
其中正确命题的序号是___.(填上你认为所有正确命题的序号).
三、解答题:本大题共6个小题,满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本题满分12分)
已知函数f(x)cos(2x2sin2x,xR.
3
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(Ⅱ)当x[0]时,求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值.
2
(17)(本题满分12分)
2013年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与PM2.5有关. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值越小,空气质量越好. 2012年2月29日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:
第17题图
某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的PM2.5日均值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ)分别求出甲、乙两市PM2.5日均值的样本平均数,并由此判断哪个市的空气质量较好; (Ⅱ)若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量超标的概率.
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)5lnxax26x(a为常数),且f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴. (Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
(19)(本题满分13分)
如图,已知四边形ABCD为梯形,AB ∥CD,ADC60° ,四边形ABEF为矩形,且平面ABEF平面ABCD,ADDCAF
1
AB2,点G为AE的中点. 2
第19题图
(Ⅰ)求证:CG ∥平面ADF; (Ⅱ)求证:平面ACF平面BCE; (Ⅲ)求三棱锥FACG的体积.
(20)(本题满分13分)
已知等差数列{an}和公比为q(q1)的等比数列{bn}满足:a1b11,a2b2,a5b3. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{anbn}的前n项和为Sn,且对任意nN*均有an1bn12(Sn1)n2n成立,试求实数的取值范围.
(21)(本题满分13分)
1x2y2
已知椭圆C:221(ab0),F(1,0)为其右焦点,离心率为.
2ab
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
1
xm(Ⅱ)若点E(0),问是否存在直线l:yk,使l与椭圆C交于M,N两点,且
2
(EMEN)(EMEN)0.若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案详解
一、选择题:(1)【答案】D
【命题意图】本题考查集合运算,venn图.简单题.
(2)【答案】D.z12i,
2z2(12i)(1i)
13i. 1i2
【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算.简单题.
(3)【命题意图】本题考查等比数列的基本运算.简单题. (4)【答案】A.
【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识.简单题. (5)【答案】C.
【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系.简单题. (6)【答案】A
【命题意图】本题考查导数的应用,函数的单调性.中等题. (7)【答案】B.
【命题意图】本题考查线性规划,考查数形结合能力.中等题. (8)【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换.中等题. (9)【答案】D.
【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质,考查运算求解能力.较难题.
(10)【答案】B. ADACAD(ABBC)ADABADBCADBC
AD||BD|cosADBAD|2
【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义.较难题.
二、填空题(11【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法.简单题.
(12)【答案】1.
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式.简单题.
(13)【答案】17.
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、表面积的计算,考查空间想象能力.简单题. (14)【答案】12
【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力.中等题. (15)【答案】③④
【命题意图】本题考查分段函数的性质,考查理解能力和数形结合能力.较难题. 三、解答题:
(16)【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识.简单题.
11
2x1cos2x2xcos2x1 解:(Ⅰ) f(x)cos(2x)2sin2xcos2x3
2
2
sin(2x)1.
6
所以f(x)的最小正周期为T
2k. 由2xk,得对称轴方程为x,kZ.„„„6分 26223
(Ⅱ)当x[0]时, 2x,所以当2x,即x时,f(x)max2;当2x,
266662366
即x0时,f(x)min
1
.„„„„„„„„„„12分 2
(17)【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题.
解:(Ⅰ)甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85;乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.
x甲
344267717985314845657386
63,x乙58.
66
因为x甲x乙,所以乙市的空气质量较好. „„„„„„„„6分
(Ⅱ)由茎叶图知,甲市6天中有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标,记未超标的4天数据为a,b,c,d,超标的两天数据为m,n,则6天中抽取两天的所有情况为:
ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn,基本事件总数为15.
记“恰有一天空气质量超标”为事件A,则事件A包含的基本事件为:am,bm,cm,dm,an,bn,cn,dn, 事件数为8. 所以P(A)
88
. 即恰有一天空气质量超标的概率为.„„„„„„„„12分 1515
(18)【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识.中等题.
5
解:(Ⅰ)∵f(x)5lnxax26x,∴f(x)2ax6(x0);又∵f(x)在点(1,f(1))处的切线平行
x
于x轴,∴f(1)52a60,得a
1
. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 2
12x26x5(x1)(x5)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)5lnxx6x,∴f(x)(x0);„„„8分
2xx
由f(x)0得x1,或x5;由f(x)0,1x5.„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (5,+ ∞ ),单调递减区间为 (1 , 5 ).„„„„12分 (19)【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算,考查空间想象能力.中等题.
解:(Ⅰ)取AF中点H,连DH,GH.∵G为对角线AE的1
中点,∴GH ∥EF,且GHEF,∴四边形CDHG为平行四边
2
形,即CG∥DH.又∵CG平面ADF,DH平面ADF,∴CG∥平面ADF.„„„„„„„„„„„„„4分
(Ⅱ)∵四边形ABEF为矩形,且平面ABEF平面ABCD,∴FA平面ABCD,∴FABC;∵四边形ABCD为梯形,AB ∥CD,且ADC60°,∴DAB=120°.又在ADC中,ADC60°,且ADDC2,∴AC=2,DAC=60°,∴CAB=60°.于是在ABC中,由AC=2,AB4,CAB=60°
及余弦定理,得BCAC2BC2AB2,∴ACBC.∴BC平面ACF,又∵BC平面BCE,∴平面ACF平面BCE.„„„„„„„„9分
(Ⅲ)作CMAB,垂足为M,由平面ABEF平面ABCD得CM平面ABEF.
易求得CM
所以三棱锥F
ACG的体积VFACGVCAFGSAFGCMSABEFCM
13113418.„„13分 12(20)【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法,考查运算求解能力、推理论证能力.中等题.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,根据题意,得
1dq
2
14dq
,解得d0,q1(舍去),或d2,q3,
所以数列{an},{bn}的通项公式分别为:an2n1,bn3n1.„„„„„„„„„„„„5分
(Ⅱ)Sna1b1a2b2a3b3anbn1133532733(2n1)3n1 ① 所以3Sn13332533(2n3)3n1(2n1)3n ②
3(13n1)
①-②,得2Sn12(3333)(2n1)312(2n1)3n(22n)3n2,
13
2
3
n1
n
1∴ Sn(n1)n3;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
n2n
所以(2n1)3(2n2)3nn,化简并整理,得3n1.„„„„„„„„„„„10分
n
n
2
n2n(n1)2(n1)n2n(n23n2)(3n23n)22n2
令cnn1,则cn1cnn1n2.
33n233n23
22
,故.„„„„13分 99
(21)【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.较难题.
∵nN*,∴22n20,∴对nN*,cn1cn,∴(cn)maxc1
解:(Ⅰ)由题意知:c1,∵离心率e
c1
,∴a2,b2a2c23,故所求椭圆C的标准a2
x2y2
方程为1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
43
(Ⅱ)假设存在这样的直线l:ykxm满足题意,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为G(x0,y0).
因为(EMEN)(EMEN)0,所以EMEN,所以MNEG.„„„„„„„„„„5分
ykxm
由x2y2,得(34k2)x28kmx4m2120.根据题意,64k2m24(34k2)(4m212)0,
1
43
x1x28km4km3m
,所以,.„„„8分 xykxm000222
234k34k34k
1
∵MNEG,∴MNEG0,即(x2x1)x0(y2y1)(y0)0,
2
yy114km3m1
∴x021(y0)x0k(y0)0,∴k()0.
x2x12234k234k22
得4k23m2.且x1x2
1
解得k0,或m(34k2).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
2
1
当k0时,l:y
m(mm(34k2)时,代入4k23m2,
2111
得34k2(34k2)2,解得k.
422
11
综上所述,存在这样的直线l,其斜率k的取值范围是(,).„„„„„„„„„„13分
22