椭圆的参数方程
教学目标：
1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。
3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：
y a
22
+
x b
22
=1(a >b >0)
二、椭圆参数方程的推导
1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为() 2+() 2=1，又cos 2ϕ+sin 2ϕ=1
a
b
x
y
设
⎧x =a cos ϕ
=cos ϕ, =sin ϕ，即⎨a b ⎩y =b sin ϕx
y
，这是中心在原点O, 焦点在x 轴上的椭圆
的参数方程。 2. 参数ϕ的几何意义
问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B 。过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.
1
设以O x 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y) 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有
x =|OA |cos ϕ=a cos ϕy =|OB |sin ϕ=b cos ϕ
， 。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
⎧x =a cos ϕ⎨
⎩y =b sin ϕ
(ϕ为参数)
这是中心在原点O, 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0,2π) 。 思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程⎨中参数θ的意义类似吗？
由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。参数θ是半径OM 的旋转角。 3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程
x b
22
⎧x =r cos θ⎩y =r sin θ
(θ为参数)
+
y a
22
=
1, ⎧x =b cos ϕ
⎨
⎩y =a sin ϕ
三、例题分析
例1. 把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x
2
4
x 9
2
+
y
2
9
=1
y
2
(2)x +
x 64
2
2
y
2
16
=1
y
2
(3)
+
25
=1
(4)
+
100
=1
2
变式：
把下列参数方程化为普通方程
x =2cos θ (1)y =3sin θ
{
x =cos θ(2)
y =4sin θ
{
⎧x =8cos ϕ(3)⎨
⎩y =10sin ϕ⎧x =3co s ϕ(4) ⎨
⎩y =5sin ϕ
例2. 已知椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) , 求椭圆内接矩形面积
的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
(a cos θ, b sin θ)
S 矩形=4a cos θ⋅b sin θ=2ab sin 2θ≤2ab
∴当θ=
k π2+
π
4
(k ∈Z ) 时，S 矩形=2ab 最大。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab
例3、在椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1上求一点M ，使点M 到直线x +2y -10=0
的距离最小，并求出最小距离
⎧x =3cos ϕ
解：因为椭圆的参数方程为⎨
⎩y =2sin ϕ
（ϕ为参数）
所以可设点M 的坐标为(3cos ϕ, 2sin ϕ) 。
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为
3
变式1：
与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x , y 满足
x
2
25
+
y
2
16
=1
的前提下，求出z =x -2y 的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
变式2、设P (x , y ) 是椭圆2x +3y =12上的一个动点，求x +2y 的取值范围。
2
2
解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为{x =
θ
x
2
6
+
y
2
4
=1,
y =2sin θ
(θ为参数，0≤θ
θ-ϕ)
x +2y =θ+4sin θ=
cos(θ-ϕ) ∈[-1,1]∴x +2y ∈[四、课堂练习
x =4cos θy =θ
(θ为参数) 上一点，且在第一象限，
1、P 是椭圆{
π
3
，则点P 的坐标为
(4 , 3)
O P (O 为原点) 的倾斜角为A 、(2,3), B
C 、(3D ) 、,
答案：B
4
解： O P 的倾斜角为∴sin θ=2cos θ
π3
∴k O P =tan
π3
=
k O P =
y x
=
4cos θ
=又sin θ+cos θ=1, 且点P 在第一象限∴cos θ=从而有x =4cos θ=
5
2
22
5
sin θ=
5
y =θ=
2
5
2
2. 已知圆的方程为x +y -4x cos θ-2y sin θ+3cos θ=0, (θ为参数) ，那么圆心的轨迹的普通方程为____________________?
2
2
解：方程x +y -4x cos θ-2y sin θ+3cos θ=0，可以化为(x -2cos θ) +(y -sin θ) =1所以圆心的参数方程为{
x =2cos θy =sin θ
(θ为参数) ，化为普通方程是
x
2
222
4
+y =1
2
五、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题， 六、课后作业：课本P34页1、2. 七、板书设计
八、教学反思：
1. 由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；
2. 通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
5
椭圆的参数方程
教学目标：
1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。
3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0)
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：
y a
22
+
x b
22
=1(a >b >0)
二、椭圆参数方程的推导
1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为() 2+() 2=1，又cos 2ϕ+sin 2ϕ=1
a
b
x
y
设
⎧x =a cos ϕ
=cos ϕ, =sin ϕ，即⎨a b ⎩y =b sin ϕx
y
，这是中心在原点O, 焦点在x 轴上的椭圆
的参数方程。 2. 参数ϕ的几何意义
问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA, 与小圆交于点B 。过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.
1
设以O x 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y) 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有
x =|OA |cos ϕ=a cos ϕy =|OB |sin ϕ=b cos ϕ
， 。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
⎧x =a cos ϕ⎨
⎩y =b sin ϕ
(ϕ为参数)
这是中心在原点O, 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0,2π) 。 思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程⎨中参数θ的意义类似吗？
由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。参数θ是半径OM 的旋转角。 3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程
x b
22
⎧x =r cos θ⎩y =r sin θ
(θ为参数)
+
y a
22
=
1, ⎧x =b cos ϕ
⎨
⎩y =a sin ϕ
三、例题分析
例1. 把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x
2
4
x 9
2
+
y
2
9
=1
y
2
(2)x +
x 64
2
2
y
2
16
=1
y
2
(3)
+
25
=1
(4)
+
100
=1
2
变式：
把下列参数方程化为普通方程
x =2cos θ (1)y =3sin θ
{
x =cos θ(2)
y =4sin θ
{
⎧x =8cos ϕ(3)⎨
⎩y =10sin ϕ⎧x =3co s ϕ(4) ⎨
⎩y =5sin ϕ
例2. 已知椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) , 求椭圆内接矩形面积
的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
(a cos θ, b sin θ)
S 矩形=4a cos θ⋅b sin θ=2ab sin 2θ≤2ab
∴当θ=
k π2+
π
4
(k ∈Z ) 时，S 矩形=2ab 最大。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab
例3、在椭圆
x
2
9
+
y
2
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=1上求一点M ，使点M 到直线x +2y -10=0
的距离最小，并求出最小距离
⎧x =3cos ϕ
解：因为椭圆的参数方程为⎨
⎩y =2sin ϕ
（ϕ为参数）
所以可设点M 的坐标为(3cos ϕ, 2sin ϕ) 。
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为
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变式1：
与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x , y 满足
x
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的前提下，求出z =x -2y 的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
变式2、设P (x , y ) 是椭圆2x +3y =12上的一个动点，求x +2y 的取值范围。
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解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为{x =
θ
x
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y
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=1,
y =2sin θ
(θ为参数，0≤θ
θ-ϕ)
x +2y =θ+4sin θ=
cos(θ-ϕ) ∈[-1,1]∴x +2y ∈[四、课堂练习
x =4cos θy =θ
(θ为参数) 上一点，且在第一象限，
1、P 是椭圆{
π
3
，则点P 的坐标为
(4 , 3)
O P (O 为原点) 的倾斜角为A 、(2,3), B
C 、(3D ) 、,
答案：B
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解： O P 的倾斜角为∴sin θ=2cos θ
π3
∴k O P =tan
π3
=
k O P =
y x
=
4cos θ
=又sin θ+cos θ=1, 且点P 在第一象限∴cos θ=从而有x =4cos θ=
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y =θ=
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2. 已知圆的方程为x +y -4x cos θ-2y sin θ+3cos θ=0, (θ为参数) ，那么圆心的轨迹的普通方程为____________________?
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解：方程x +y -4x cos θ-2y sin θ+3cos θ=0，可以化为(x -2cos θ) +(y -sin θ) =1所以圆心的参数方程为{
x =2cos θy =sin θ
(θ为参数) ，化为普通方程是
x
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五、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题， 六、课后作业：课本P34页1、2. 七、板书设计
八、教学反思：
1. 由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；
2. 通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
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