图形的相似与位似

▴例题解析

1. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD

，点P

在四

边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为，则点P 的个数为（）

2A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 已知如图(1)、(2)中各有两个三角形, 其边长和角的度数已在图上标注, 图(2)中AB 、CD 交于O 点, 对于各图中的两个的两个三角形而言, 下列说法正确的是( )

A. 都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

B C (1) (2)

第2题图

3. 如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是．．

ED DF DE EF BC BF BF BC

= B.= C. = D.= EA AB BC FB DE BE BE AE

4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下

列结论中一定正确的是 ( ) A ．①和②相似 B．①和③相似 C ．①和④相似 D．②和④相似

A D

③

5. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（）

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21

（第4题）

6. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）

（B ）33 （C ）43 （D ）63

7. 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′

C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）

A ．-a

（第6题）

B ．-(a +1)

D ．-(a +3)

C ．-(a -1)

8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′

的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B ′的坐标是（）

A ．（3，2） B ．（－2，－3） C ．（2，3）或（－2，－3） D ．（3，2）或（－3，－2）

9. 如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.

10. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）. 现把小棒依次摆放在两射线AB ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A1A 2=A2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a1,A 3A 4=a2, ）, 求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.

活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA1. 数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1θ2θ3（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围. ．．

，以点C 为圆心，CB 为2

半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ．（1）求AE 的长度；

（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．

11.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝

（第11题）

12. 如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，B

C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.

(1)求证：AM =HG ;

(2)求这个矩形EFGH 的周长.

13. （1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，

AQ 交DE 于点P

．求证：

=． BQ

（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2=DM·EN．

中考真题演练

1. 下列命题中，是真命题的为（）

A. 锐角三角形都相似 B. 直角三角形都相似 C. 等腰三角形都相似 D. 等边三角形都相似

2. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形

EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD 等于（）．

A ．0．618

．2

D ．2

3. 如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（）．

A ．1 : 2 B ．1 : 3

D ．11 : 20

4. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为

A ．9 B ．12 C ．15 D ．18

5. 如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

6. 如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，

再将△AEB 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CD 的值是（）

7. 如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，

AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（）

1610328

A. 3 B. 3 C. 3 D. 3

A F B

第7题

8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 .

9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD=3AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为__________.

A D

第9题

10. 如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点

出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．

①当t>5时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；

②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可) ．

11. 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．

（1）求证：△ABD ∽△CED ．

（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．

12如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；

(2) P1，P2，P3，P4，P5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由) ．

13. 在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求AC 的值．

M N

图15-1

图15-2

A N

图15-3

A N

14. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. 求证：△ADF ∽△DEC

若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3, 求AF 的长.

15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

16. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．

（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ；

（2）求证：AB2＝AE•AC．

B D C

17. 如图，等边△ABC 的边长为12㎝，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝4㎝，若

点F 从点B 开始以2㎝/s的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t ＞0时，

直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，

AB 与GH 相交于点O.

（1）设△EGA 的面积为S （㎝2），求S 与t 的函数关系式；

（2）在点F 运动过程中，试猜想△GFH 的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说

明理由.

（3）请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点.

精华演练篇

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长

之比为（）

A ． 1:2 B ． 1:3 C ． 1:4 D ． 1:5

A C

2. 已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比

为．

3．如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝

6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m．

4．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子

里边，已知甲，乙同学相距1米. 甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.

5．如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD）

量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x= mm ．

6．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

B 时 A 时

7. 如图，在□ABCD中，点E 在边BC 上，BE ：EC=1：2，连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DFA 的面积之比为。第6题图

8. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点) ，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x．

(1)在△ABC 中，AB= ▲ ；

(2)当x= ▲ 时，矩形PMCN 的周长是14；

(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等? 请说出你的判断，并加以说明．

9. 如图所示，给出下列条件：

AC AB =2①∠B =∠ACD ；②∠ADC =∠ACB ；③CD BC ；④AC =AD AB ．

其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

10. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）

A ．只有1个 B ．可以有2个

C ．有2个以上但有限 D ．有无数个

11. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）

A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

B O C D

12. 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A ′OB ′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B ′点的坐标为

3311) (()

A ．22

B ．22

C ．22

D ．22

13. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）

14. 如图， △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是（）

CD DB =，，∶∶

45，①∠1=∠A ，②AD CD ③∠B +∠2=90°④BC ∶AC ∶AB =3

⑤AC ∙BD =AC ∙CD

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

15. 在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高. 将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为

A ．9.5 B ．10.5

C ．11 D ．15.5

16. 如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2

17. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）

A ．2DE=3MN， B ．3DE=2MN， C ． 3∠A=2∠F D ．2∠A=3∠

18. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则DO 等于（）

25 A ．3

C ．3 1 B ．3 1 D ．2

19.) 如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（）

A ．1∶3 B ．2∶3 C

2 D

20. 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A ．第4张 B ．第5张 C. 第6张 D ．第7张

21. 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（）

A ．1:2

B ．1:4

C ．1:5

D ．1:

22. 如图，△ABC 与△AEF 中，AB =AE ，BC =EF ，∠B =∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：

①∠AFC =∠C ；

②DF =CF ；

③△ADE ∽△FDB ；

④∠BFD =∠CAF ．

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．

23. 如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个

小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ．

24. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．

图形的相似与位似

▴例题解析

1. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD

，点P

在四

边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为，则点P 的个数为（）

2A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

A. 都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

B C (1) (2)

第2题图

3. 如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是．．

ED DF DE EF BC BF BF BC

= B.= C. = D.= EA AB BC FB DE BE BE AE

4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下

列结论中一定正确的是 ( ) A ．①和②相似 B．①和③相似 C ．①和④相似 D．②和④相似

A D

③

5. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（）

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21

（第4题）

6. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）

（B ）33 （C ）43 （D ）63

7. 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′

C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）

A ．-a

（第6题）

B ．-(a +1)

D ．-(a +3)

C ．-(a -1)

的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B ′的坐标是（）

A ．（3，2） B ．（－2，－3） C ．（2，3）或（－2，－3） D ．（3，2）或（－3，－2）

9. 如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.

10. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）. 现把小棒依次摆放在两射线AB ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A1A 2=A2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a1,A 3A 4=a2, ）, 求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.

活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA1. 数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1θ2θ3（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围. ．．

，以点C 为圆心，CB 为2

半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ．（1）求AE 的长度；

11.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝

（第11题）

12. 如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，B

C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.

(1)求证：AM =HG ;

(2)求这个矩形EFGH 的周长.

13. （1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，

AQ 交DE 于点P

．求证：

=． BQ

中考真题演练

1. 下列命题中，是真命题的为（）

A. 锐角三角形都相似 B. 直角三角形都相似 C. 等腰三角形都相似 D. 等边三角形都相似

2. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形

EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD 等于（）．

A ．0．618

．2

D ．2

3. 如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（）．

A ．1 : 2 B ．1 : 3

D ．11 : 20

4. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为

A ．9 B ．12 C ．15 D ．18

5. 如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

6. 如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，

再将△AEB 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CD 的值是（）

7. 如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，

AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（）

1610328

A. 3 B. 3 C. 3 D. 3

A F B

第7题

8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 .

9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD=3AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为__________.

A D

第9题

10. 如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．

①当t>5时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；

②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可) ．

11. 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．

（1）求证：△ABD ∽△CED ．

（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．

12如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；

13. 在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求AC 的值．

M N

图15-1

图15-2

A N

图15-3

A N

14. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. 求证：△ADF ∽△DEC

若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3, 求AF 的长.

15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

16. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．

（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ；

（2）求证：AB2＝AE•AC．

B D C

17. 如图，等边△ABC 的边长为12㎝，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝4㎝，若

点F 从点B 开始以2㎝/s的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t ＞0时，

直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，

AB 与GH 相交于点O.

（1）设△EGA 的面积为S （㎝2），求S 与t 的函数关系式；

（2）在点F 运动过程中，试猜想△GFH 的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说

明理由.

（3）请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点.

精华演练篇

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长

之比为（）

A ． 1:2 B ． 1:3 C ． 1:4 D ． 1:5

A C

2. 已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比

为．

3．如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝

6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m．

4．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子

里边，已知甲，乙同学相距1米. 甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.

5．如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD）

量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x= mm ．

6．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

B 时 A 时

7. 如图，在□ABCD中，点E 在边BC 上，BE ：EC=1：2，连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DFA 的面积之比为。第6题图

8. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点) ，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x．

(1)在△ABC 中，AB= ▲ ；

(2)当x= ▲ 时，矩形PMCN 的周长是14；

(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等? 请说出你的判断，并加以说明．

9. 如图所示，给出下列条件：

AC AB =2①∠B =∠ACD ；②∠ADC =∠ACB ；③CD BC ；④AC =AD AB ．

其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（）

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

10. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）

A ．只有1个 B ．可以有2个

C ．有2个以上但有限 D ．有无数个

11. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）

A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

B O C D

12. 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A ′OB ′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B ′点的坐标为

3311) (()

A ．22

B ．22

C ．22

D ．22

13. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）

14. 如图， △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是（）

CD DB =，，∶∶

45，①∠1=∠A ，②AD CD ③∠B +∠2=90°④BC ∶AC ∶AB =3

⑤AC ∙BD =AC ∙CD

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

15. 在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高. 将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为

A ．9.5 B ．10.5

C ．11 D ．15.5

16. 如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2

17. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）

A ．2DE=3MN， B ．3DE=2MN， C ． 3∠A=2∠F D ．2∠A=3∠

18. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则DO 等于（）

25 A ．3

C ．3 1 B ．3 1 D ．2

19.) 如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（）

A ．1∶3 B ．2∶3 C

2 D

A ．第4张 B ．第5张 C. 第6张 D ．第7张

21. 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（）

A ．1:2

B ．1:4

C ．1:5

D ．1:

22. 如图，△ABC 与△AEF 中，AB =AE ，BC =EF ，∠B =∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：

①∠AFC =∠C ；

②DF =CF ；

③△ADE ∽△FDB ；

④∠BFD =∠CAF ．

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．

23. 如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个

小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ．

图形的相似与位似

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