题目
高考要求
了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率
互斥事件的概念:A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A•B)=０）P(A+B)=P（A ）+ P(B)一般地：如果事件A 1, A 2, , A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A 1, A 2, , A n 2．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生P(A•B)=０, P(A+B)=P（A ）+ P(B)＝１ 一般地, p A =1-P (A ) )
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的
从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =但互斥事件不一定是对立事件:事件A 、B 的和记作A +B ，表示事件A 、B 至少有一个发生 当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）， 且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）当计算事件A 的概率P （A ）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的
概率则要容易些，为此有P （A ）=1－P （A ）要弄清A ·B ，A ⋅B 的区别
A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即A +B ，因此有A ·B ≠A ⋅B ，但A ·B =A +B 6．互斥事件的概率的求法:如果事件A 1, A 2, , A n 彼此互斥，那么 P (A 1+A 2+ +A n ) ＝P (A 1) +P (A 2) + +P (A n
求解这类问题的数学思想方法是：在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互斥，并理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后A 与B 不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P （A+B）的值时绝对不可以使用P （A+B）=P（A ）+P（B ）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P （A+B）=1-P（A ∙B 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想题型讲解
例1 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率
解：设恰有两封信配对为事件A ，恰有三封信配对为事件B ，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C ，则“至少有两封信配对”事件等于A +B +C ，且A 、B 、C ∵P （A ）=2C 5⋅2
A 55，P （B ）=C 35A 55，P （C ）=1A 55，
∴所求概率P （A ）+P （B ）+P （C ）
例2 在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球
求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13，114且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个?
（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率解：（1）取3个球的种数为C 320=1140设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C P （B ）=C 35
C 3203C 1010=，P （C ）=31140C 20∵A 、B 、C 为互斥事件，
∴P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ），
1310120=P （A ）++⇒P （A ）=0 [1**********]⇒ 取3个球全为红球的个数≤又∵n ≥2，故n =2 即
（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D D 为“3个球中没有红球”
P （D ）=1－P （D ）=1－3C 18
C 320=27或 95
P （D ）=221C 12C 18+C 2C 18
C 320例3 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：
（1）三个组各有一个亚洲队的概率； （233解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 6C 3种等可能的结果（1）三个
亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平
22分给甲、乙、丙三组有C 6C 24C 2种分法222果有A 33·C 6C 4C 2种，所求概率
222A 33⋅C 6C 4C 2
33C 39C 6C 3P （A ）=（2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－
928例4 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0（相互独立）
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0？
解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率 即1-C 6(0. 5)-C 6(0. 5)-C 6(0. 5)=06162621 32
（2）至少4人同时上网的概率为
5(0. 5)+C 66(0. 5)=C 64(0. 5)+C 6666
5611>0. 3 2266 至少5人同时上网的概率为C 6(0. 5)+C 6(0. 5)=7
因此至少5人同时上网的概率小于03
例5 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛求：
（1）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（2）至少有一名参赛学生是男生的概率
（3）至多有一名参赛学生是男生的概率 11C 3C 33 解：（1）恰有一名男生的概率为= 5C 62
11C 3C 3+C 324 （2）至少有一名参赛学生是男生的概率为= 25C 6
11C 3C 3+C 324 （3）至多有一名参赛学生男生的概率为= 25C 6
例3 从1、2、3、4、5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率：
（1）三个数字完全不同（2）三个数字中不含1和（3）三个数字5个恰好出现两次解：从五个数字中，任意有放回地连续抽三个数字，共出现5=125种不同的结果
3（1）三个数字完全不同的有A 5=60种，所以三个数字完全不同的概3
率为p 1=60=125（2）三个数字中不含有1和5的情况有3=27种，所以所求概率为3p 2=13C 4A 3（3）由于三个数字中5恰好出现两次的情况有：=122A 2所以所求概率为p 3=12 125
例4 学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是16，问该队有多少人？ 21
解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x 人，从而只会唱歌或只会跳舞的有(12-2x ) 人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A ，则事件A 的对立事件是“只会唱歌或只会跳舞”
3C 1216 P () =3-2x , 又P (A ) =1-P () = 21C 12-x
∴(12-2x )(1-2x )(10-2x ) 16=1- (12-x )(11-x )(10-x ) 21
解得x =3, ∴12-x =9，故该队共有9人
例5 进入世界排名前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国人抽签平分为甲、乙两组进行比赛，求4名中国选手不都分在同一组的概率44解：8名选手平均分为甲、乙两组有C 8C 4种等可能的结果，而4名中
国选手分在同一组的结果有2种，
故4名中国选手分在同一组的概率为21， =C 8435
由对立事件概率的加法公式知，4名中国选手不都分在同一组的概率为1-134= 3535
34 35答：4名中国选手不都分在同一组的概率是
例6 在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0，而借杂志的概率为0，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅， 计算：（1）5人中有2人借杂志的概率
（2）5人中至多有2人借杂志的概率
解：记“一位读者借杂志”为事件A ，则“此人借书”为，5位读者各借一次可看作n 次独立重复事件，因此：
（1）5人中有2人借杂志的概率
2P =C 5(0. 8) 2(0. 2) 3=0. 0512
（2）5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志，5人中恰有1人借杂志，5人中恰有2人借杂志，因此所求概率
012P =C 5(0. 8) 0(0. 2) 5+C 5(0. 8) 1(0. 2) 4+C 5(0. 8) 2(0. 2) 3=0. 例7 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每局甲胜的概率为06，乙胜的概率为0，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？
解：（1）如果采用三局二胜制，则甲在下列两种情况获胜
A 1－2：0（甲净胜两局）；A 2－2：1（前两局各胜一局，第三局甲胜）
0P (A 1) =P 2(0) =C 20. 62(1-0. 6) 0=0. 36
1P (A 2) =P 2(1) ⋅0. 6=C 2⋅0. 6⋅(1-0. 6) 2-1=0. 288
因A 1与A 2互斥，故甲获胜的概率为P (A 1+A 2) =P (A 1) +P (A 2) =0. 648
（2）如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
B 1－3：0（甲净胜三局）；B 2－3：1（前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜）；B 3－3：2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）
P (B 1) =P 3(3) =0. 216, P (B 2) =P 3(2) ⨯0. 6=0. 259, P (B 3) =P 3(3) ⨯0. 6=0. 207因此甲胜的概率为P (B 1+B 2+B 3) =P (B 1) +P (B 2) +P (B 3) =0. 682 由（1）、（2）的结果知，甲在五局三胜制中获胜的可能性更大
例8 用数字1,2，3,4，5任意组成没有重复数字的五位数，求下列事件的概率
（1）A =它是奇数 （2）B ＝它大于3400 {}{}
解：5个数字组成没有重复的五位数，是5个数字的全排列，其结果总数为：A 5120 5＝
（1）要保证是奇数，则必须末位数为1,3，5，因此末位数的取法有3种，剩下的四个数位上的数是去掉末位数的剩下的4个数字的全排列，其结果总数为：3A 4
43A 4 ∴p (A )=5=0. 6 A 54
（2）要保证五位数大于3400，则有两种情况：①万位数字是4或5，其它四个数位上的数字则是去掉万位数字后的其它4个数字的全排列，总数为：2A 4 ②万位数字是3，但千位数字是4或5，其余数位上的数字是剩
3下的3个数字的全排列，总数为：2A 3B 的结果总数4
为：2A 4+2A 3=60
43
432A 4+2A 3 ∴p (B )==0. 5 5A 5
例9 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点件的概率：
（1）该车在某停车点停车；
（2）停车的次数不少于2次；
（3）恰好停车2次解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件（1）记“该车在某停车点停车”为事件A ，事件A 发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件A ，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”∵P （A ）=28
38=256， 6561
2566305=65616561（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B ，则“停车次数恰好1次”∴P （A ）=1－P （A ）=1－为事件B ，则P （B ）=1－P （B ）=1－C 13
38=1－36561（3）记“恰好停车2次”为事件C ，事件C 发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件
82237数为C 3（C 18+C8+C8+„+C8）=3×（2－2）=3×254，于是P （C ）
3⨯2546561例10 有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，„，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k 到k +1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k 到k +2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束设棋子跳到第n 站概率为P n （1）求P 0，P 1，P 2的值； =
（2）求证：P n －P n －1=－1（P n －1－P n －2），其中n ∈N ，2≤n ≤99； 2
（3）求P 99及P 100的值（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P 0=1
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为
∴P 11， 22站应从如下两方面考虑： ①前两次掷硬币都出现正面，其概率为
∴P 2=1； 411+42（2）证明：棋子跳到第n （2≤n ≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第n －2站，又掷出反面，其概率为
②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率为
∴P n =1P n －2； 21P n －1211P n －2+P n －1 22
1（P n －1－P n －2）2
（3）解：由（2）知，当1≤n ≤99时， ∴P n －P n －1=－
数列{P n －P n －1}是首项为P 1－P 0=－
∴P 1－1=－11，公比为－2211，P 2－P 1=（－）2， 22
131），„，P n －P n －1=（－）n 22P 3－P 2=（－
以上各式相加，得P n －1=（－
∴P n =1+（－111）+（－）2+„+（－）n ， 22211121）+（－）2+„+（－）n =［1－（－）n +1］ 22232
（n =0，1，2，„，99） ∴P 99=21［1－（）100］， 32
P 100=112111P 98=·［1－（－）99］=［1+（）99］ 223223
小结: 1概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率再利用公式P (A ) =1-P () 就可求出所求事件的概率 2A 、B 互斥时，P （A +B ）=P
（A ）+P （B ），否则公式不能使用3A 发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A 不发生）所包含的情形较少，利用公式P （A ）=1－P （A ）计算A 的概率则比较方便这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的4件的概率化为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P (A ) =1-P () 就可求出所求事件的概率5 6n 次重复，每次试验结果的概率不受其它次试验中A 恰好出现了k 次的概率为k k C n P (1-P ) n -k ，这k 次是n 次中的任意k 次 学生练习 1 A 充分不必要条件 B D 解析：根据定义判断
答案：B 2g 的概率是，质量不小于4的概率是，那么质量在［4，）g 范围内的概率是 A 0 D 0解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则
P （ξ
解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p ，∴p =50%答案：D
42个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A 1个白球，都是红球 B 1个白球，至多有1个红球 C 1个白球，恰有2个白球 D 1个白球，都是红球
答案：C
510件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为
4C 12C 85C 10
解析：P =+
5C 85C 10
=
14056+=252252答案：B
62个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________11
解析：（1）先摸出白球，P 白=C1（2）先2，再摸出黑球，P 白黑=C2C 3；
1
C 12C 31C 15C 5
1
C 13C 21C 15C 5
摸出黑球，P
1
黑=C3，再摸出白球，P 11
黑白=C3C 2
，故P =+12 25
710张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，
答案：
故P =
1212133C 22C 8+C 3C 7+C 5C 5+C 3+C 5
3
C 10
3 4
83人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是答案：
解析：P =1－
A 344
3
5 8
91，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是________
答案：
5
解析：任取5个球有C 10种结果，编号之和为奇数的结果数为
4325C 15C 5+C5C 5+C5=126，故所求概率为
126
5
C 10
1 2
1052张桥牌中有4张A ，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A ，求丙手中至少有一张A 答案：
解：丙手中没有A 的概率是
C 1348C 1351
，由对立事件概率的加法公式知，丙
手中至少有一张A 的概率是1－
C 1348C 1351
=05949
11袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：
（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出14
解：从8个球中任意摸出4个共有C 8种不同的结果8个球中任取
4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件
（1）摸出2个或3个白球的概率
P 1=P （A 2+A 3）=P （A 2）+P （A 3）=
22C 5C 34C 8
+
1C 35C 34C 8
=
33+77（2）至少摸出1个白球的概率P 2=1－P （B 4）=1－0=1
（3）至少摸出1个黑球的概率P 3=1－P （A 4）=1－
4C 54C 8
12某单位36人的血型类型是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人36人中任选2人
求：（1）两人同为A 型血的概率； （2解：（1）P =
2
C 122C 36
（2）考虑对立事件：两人同血型为事件A ， 那么P （A ）=
2222C 12+C 10+C 8+C 6
2
C 36
=
13 8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，
所以不同血型的概率为P =1－P （A ）里面包括2个强队”这一事件，其概率为
2C 64C 8
；2个强队都分在B 组，可看
成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，4
8
2个强队分在同一个组的概率为P =
2C 64C 8
+
4C 64C 8
解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，3
18
2个强队分在同一个
组的概率P =1－
3C 12C 64C 8
=1－
47
题目
高考要求
了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率
互斥事件的概念:A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A•B)=０）P(A+B)=P（A ）+ P(B)一般地：如果事件A 1, A 2, , A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A 1, A 2, , A n 2．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生P(A•B)=０, P(A+B)=P（A ）+ P(B)＝１ 一般地, p A =1-P (A ) )
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的
从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =但互斥事件不一定是对立事件:事件A 、B 的和记作A +B ，表示事件A 、B 至少有一个发生 当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）， 且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）当计算事件A 的概率P （A ）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的
概率则要容易些，为此有P （A ）=1－P （A ）要弄清A ·B ，A ⋅B 的区别
A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即A +B ，因此有A ·B ≠A ⋅B ，但A ·B =A +B 6．互斥事件的概率的求法:如果事件A 1, A 2, , A n 彼此互斥，那么 P (A 1+A 2+ +A n ) ＝P (A 1) +P (A 2) + +P (A n
求解这类问题的数学思想方法是：在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互斥，并理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后A 与B 不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P （A+B）的值时绝对不可以使用P （A+B）=P（A ）+P（B ）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P （A+B）=1-P（A ∙B 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想题型讲解
例1 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率
解：设恰有两封信配对为事件A ，恰有三封信配对为事件B ，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C ，则“至少有两封信配对”事件等于A +B +C ，且A 、B 、C ∵P （A ）=2C 5⋅2
A 55，P （B ）=C 35A 55，P （C ）=1A 55，
∴所求概率P （A ）+P （B ）+P （C ）
例2 在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球
求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13，114且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个?
（2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率解：（1）取3个球的种数为C 320=1140设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C P （B ）=C 35
C 3203C 1010=，P （C ）=31140C 20∵A 、B 、C 为互斥事件，
∴P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ），
1310120=P （A ）++⇒P （A ）=0 [1**********]⇒ 取3个球全为红球的个数≤又∵n ≥2，故n =2 即
（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D D 为“3个球中没有红球”
P （D ）=1－P （D ）=1－3C 18
C 320=27或 95
P （D ）=221C 12C 18+C 2C 18
C 320例3 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：
（1）三个组各有一个亚洲队的概率； （233解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 6C 3种等可能的结果（1）三个
亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平
22分给甲、乙、丙三组有C 6C 24C 2种分法222果有A 33·C 6C 4C 2种，所求概率
222A 33⋅C 6C 4C 2
33C 39C 6C 3P （A ）=（2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－
928例4 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0（相互独立）
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0？
解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率 即1-C 6(0. 5)-C 6(0. 5)-C 6(0. 5)=06162621 32
（2）至少4人同时上网的概率为
5(0. 5)+C 66(0. 5)=C 64(0. 5)+C 6666
5611>0. 3 2266 至少5人同时上网的概率为C 6(0. 5)+C 6(0. 5)=7
因此至少5人同时上网的概率小于03
例5 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛求：
（1）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（2）至少有一名参赛学生是男生的概率
（3）至多有一名参赛学生是男生的概率 11C 3C 33 解：（1）恰有一名男生的概率为= 5C 62
11C 3C 3+C 324 （2）至少有一名参赛学生是男生的概率为= 25C 6
11C 3C 3+C 324 （3）至多有一名参赛学生男生的概率为= 25C 6
例3 从1、2、3、4、5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率：
（1）三个数字完全不同（2）三个数字中不含1和（3）三个数字5个恰好出现两次解：从五个数字中，任意有放回地连续抽三个数字，共出现5=125种不同的结果
3（1）三个数字完全不同的有A 5=60种，所以三个数字完全不同的概3
率为p 1=60=125（2）三个数字中不含有1和5的情况有3=27种，所以所求概率为3p 2=13C 4A 3（3）由于三个数字中5恰好出现两次的情况有：=122A 2所以所求概率为p 3=12 125
例4 学校文艺队每个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少要有一位既会唱歌又会跳舞的概率是16，问该队有多少人？ 21
解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x 人，从而只会唱歌或只会跳舞的有(12-2x ) 人，记“至少要有一位既会唱歌又会跳舞”的事件为A ，则事件A 的对立事件是“只会唱歌或只会跳舞”
3C 1216 P () =3-2x , 又P (A ) =1-P () = 21C 12-x
∴(12-2x )(1-2x )(10-2x ) 16=1- (12-x )(11-x )(10-x ) 21
解得x =3, ∴12-x =9，故该队共有9人
例5 进入世界排名前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国人抽签平分为甲、乙两组进行比赛，求4名中国选手不都分在同一组的概率44解：8名选手平均分为甲、乙两组有C 8C 4种等可能的结果，而4名中
国选手分在同一组的结果有2种，
故4名中国选手分在同一组的概率为21， =C 8435
由对立事件概率的加法公式知，4名中国选手不都分在同一组的概率为1-134= 3535
34 35答：4名中国选手不都分在同一组的概率是
例6 在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0，而借杂志的概率为0，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅， 计算：（1）5人中有2人借杂志的概率
（2）5人中至多有2人借杂志的概率
解：记“一位读者借杂志”为事件A ，则“此人借书”为，5位读者各借一次可看作n 次独立重复事件，因此：
（1）5人中有2人借杂志的概率
2P =C 5(0. 8) 2(0. 2) 3=0. 0512
（2）5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志，5人中恰有1人借杂志，5人中恰有2人借杂志，因此所求概率
012P =C 5(0. 8) 0(0. 2) 5+C 5(0. 8) 1(0. 2) 4+C 5(0. 8) 2(0. 2) 3=0. 例7 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每局甲胜的概率为06，乙胜的概率为0，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？
解：（1）如果采用三局二胜制，则甲在下列两种情况获胜
A 1－2：0（甲净胜两局）；A 2－2：1（前两局各胜一局，第三局甲胜）
0P (A 1) =P 2(0) =C 20. 62(1-0. 6) 0=0. 36
1P (A 2) =P 2(1) ⋅0. 6=C 2⋅0. 6⋅(1-0. 6) 2-1=0. 288
因A 1与A 2互斥，故甲获胜的概率为P (A 1+A 2) =P (A 1) +P (A 2) =0. 648
（2）如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
B 1－3：0（甲净胜三局）；B 2－3：1（前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜）；B 3－3：2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）
P (B 1) =P 3(3) =0. 216, P (B 2) =P 3(2) ⨯0. 6=0. 259, P (B 3) =P 3(3) ⨯0. 6=0. 207因此甲胜的概率为P (B 1+B 2+B 3) =P (B 1) +P (B 2) +P (B 3) =0. 682 由（1）、（2）的结果知，甲在五局三胜制中获胜的可能性更大
例8 用数字1,2，3,4，5任意组成没有重复数字的五位数，求下列事件的概率
（1）A =它是奇数 （2）B ＝它大于3400 {}{}
解：5个数字组成没有重复的五位数，是5个数字的全排列，其结果总数为：A 5120 5＝
（1）要保证是奇数，则必须末位数为1,3，5，因此末位数的取法有3种，剩下的四个数位上的数是去掉末位数的剩下的4个数字的全排列，其结果总数为：3A 4
43A 4 ∴p (A )=5=0. 6 A 54
（2）要保证五位数大于3400，则有两种情况：①万位数字是4或5，其它四个数位上的数字则是去掉万位数字后的其它4个数字的全排列，总数为：2A 4 ②万位数字是3，但千位数字是4或5，其余数位上的数字是剩
3下的3个数字的全排列，总数为：2A 3B 的结果总数4
为：2A 4+2A 3=60
43
432A 4+2A 3 ∴p (B )==0. 5 5A 5
例9 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点件的概率：
（1）该车在某停车点停车；
（2）停车的次数不少于2次；
（3）恰好停车2次解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件（1）记“该车在某停车点停车”为事件A ，事件A 发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件A ，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”∵P （A ）=28
38=256， 6561
2566305=65616561（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B ，则“停车次数恰好1次”∴P （A ）=1－P （A ）=1－为事件B ，则P （B ）=1－P （B ）=1－C 13
38=1－36561（3）记“恰好停车2次”为事件C ，事件C 发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件
82237数为C 3（C 18+C8+C8+„+C8）=3×（2－2）=3×254，于是P （C ）
3⨯2546561例10 有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，„，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k 到k +1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k 到k +2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束设棋子跳到第n 站概率为P n （1）求P 0，P 1，P 2的值； =
（2）求证：P n －P n －1=－1（P n －1－P n －2），其中n ∈N ，2≤n ≤99； 2
（3）求P 99及P 100的值（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P 0=1
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为
∴P 11， 22站应从如下两方面考虑： ①前两次掷硬币都出现正面，其概率为
∴P 2=1； 411+42（2）证明：棋子跳到第n （2≤n ≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第n －2站，又掷出反面，其概率为
②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率为
∴P n =1P n －2； 21P n －1211P n －2+P n －1 22
1（P n －1－P n －2）2
（3）解：由（2）知，当1≤n ≤99时， ∴P n －P n －1=－
数列{P n －P n －1}是首项为P 1－P 0=－
∴P 1－1=－11，公比为－2211，P 2－P 1=（－）2， 22
131），„，P n －P n －1=（－）n 22P 3－P 2=（－
以上各式相加，得P n －1=（－
∴P n =1+（－111）+（－）2+„+（－）n ， 22211121）+（－）2+„+（－）n =［1－（－）n +1］ 22232
（n =0，1，2，„，99） ∴P 99=21［1－（）100］， 32
P 100=112111P 98=·［1－（－）99］=［1+（）99］ 223223
小结: 1概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率再利用公式P (A ) =1-P () 就可求出所求事件的概率 2A 、B 互斥时，P （A +B ）=P
（A ）+P （B ），否则公式不能使用3A 发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A 不发生）所包含的情形较少，利用公式P （A ）=1－P （A ）计算A 的概率则比较方便这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的4件的概率化为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P (A ) =1-P () 就可求出所求事件的概率5 6n 次重复，每次试验结果的概率不受其它次试验中A 恰好出现了k 次的概率为k k C n P (1-P ) n -k ，这k 次是n 次中的任意k 次 学生练习 1 A 充分不必要条件 B D 解析：根据定义判断
答案：B 2g 的概率是，质量不小于4的概率是，那么质量在［4，）g 范围内的概率是 A 0 D 0解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则
P （ξ
解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p ，∴p =50%答案：D
42个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A 1个白球，都是红球 B 1个白球，至多有1个红球 C 1个白球，恰有2个白球 D 1个白球，都是红球
答案：C
510件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为
4C 12C 85C 10
解析：P =+
5C 85C 10
=
14056+=252252答案：B
62个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________11
解析：（1）先摸出白球，P 白=C1（2）先2，再摸出黑球，P 白黑=C2C 3；
1
C 12C 31C 15C 5
1
C 13C 21C 15C 5
摸出黑球，P
1
黑=C3，再摸出白球，P 11
黑白=C3C 2
，故P =+12 25
710张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，
答案：
故P =
1212133C 22C 8+C 3C 7+C 5C 5+C 3+C 5
3
C 10
3 4
83人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是答案：
解析：P =1－
A 344
3
5 8
91，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是________
答案：
5
解析：任取5个球有C 10种结果，编号之和为奇数的结果数为
4325C 15C 5+C5C 5+C5=126，故所求概率为
126
5
C 10
1 2
1052张桥牌中有4张A ，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A ，求丙手中至少有一张A 答案：
解：丙手中没有A 的概率是
C 1348C 1351
，由对立事件概率的加法公式知，丙
手中至少有一张A 的概率是1－
C 1348C 1351
=05949
11袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：
（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出14
解：从8个球中任意摸出4个共有C 8种不同的结果8个球中任取
4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件
（1）摸出2个或3个白球的概率
P 1=P （A 2+A 3）=P （A 2）+P （A 3）=
22C 5C 34C 8
+
1C 35C 34C 8
=
33+77（2）至少摸出1个白球的概率P 2=1－P （B 4）=1－0=1
（3）至少摸出1个黑球的概率P 3=1－P （A 4）=1－
4C 54C 8
12某单位36人的血型类型是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人36人中任选2人
求：（1）两人同为A 型血的概率； （2解：（1）P =
2
C 122C 36
（2）考虑对立事件：两人同血型为事件A ， 那么P （A ）=
2222C 12+C 10+C 8+C 6
2
C 36
=
13 8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，
所以不同血型的概率为P =1－P （A ）里面包括2个强队”这一事件，其概率为
2C 64C 8
；2个强队都分在B 组，可看
成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，4
8
2个强队分在同一个组的概率为P =
2C 64C 8
+
4C 64C 8
解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，3
18
2个强队分在同一个
组的概率P =1－
3C 12C 64C 8
=1－
47