［学习目标］
1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：
（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：
将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆
先用量角器画一个等于
的圆心角，这个角所对的弧就是圆的
，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：
，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值
叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：
n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于
，每个外角为
，等于中心角。
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：
解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
又∵∠FAG＝60°
故选B
点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3 B.
C.
D.
解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高
设
，则AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故选A
点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的
。通过这个定理可以使问题得到解决。
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
之间的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设它们的周长为
，则正三角形的边长是
，正四边形的边长为
，正六边形的边长为
故选B
点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：
（1）
；
（2）
点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则
∴∠BEA＝36°
（2）
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
解：∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长
正六边形的周长
正六边形的面积
点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
解：∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为
cm
∴外接圆的外切正三角形一边上的高为
cm
∴正三角形的边长为
∴正三角形的面积为
点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
例7. 如图所示，已知⊙
和⊙
外切于点P，⊙
和⊙
的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧
所围的阴影部分的面积。
解：连结
，过点
作
在
中，
∴梯形
的面积为：
又∵
∴扇形
的面积为：
扇形
的面积为：
∴阴影部分的面积为：
点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。
解：由弧长公式
，得：
当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为
∴弧长增加
，故填
点拨：本题主要考查弧长公式
。
例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r
由题意，得：
∴小圆的半径
∴每个小半圆的弧长为
∴n个小半圆的总弧长
即
，故选A。
点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。
例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的
的长为
，
的长为
，若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：设∠O＝α，由弧长公式得：
又
∴阴影部分的面积为：
故选C
点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？
点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用
求得AD，AB就可求。
解：作OD⊥AB于D，连结OB
∵这两段弧之比为3∶7
∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7
设这两个圆心角的度数为3x，7x，则
即
∴∠DOA＝54°，又
∴AD＝Rsin54°
∵AB＝2AD
同理可得3∶7改为m∶n时，解得：
点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。
例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式
，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得
，代入面积公式，即可。
解：如图所示，设正六边形的边长
，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°
例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为
，则内切圆的半径为__________。
解：设正多边形是正n边形，圆半径为r
∵正多边形的周长是12cm
∴正多边形的边长是
又∵正多边形的面积是
故应填2cm。
点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 判断题。
1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ）
6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ）
7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ）
8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）
二. 填空题。
9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。
10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。
11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m（精确到0.1m，
）。
三. 解答题。
12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。
13. 如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
14. 如图：三个半径
的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。
【试题答案】
一. 判断题。
1. × 2. × 3. √ 4. √
5. √ 6. √ 7. × 8. √
二. 填空题。
9. 正五 10. 3∶1 11. 37.7
三. 解答题。
12. 边长比
，面积比2∶1
13. 易求∠F＝∠G＝36°
∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°
从而，
由△AFC≌△AGD得：AC＝AD
∴ABCDE是正五边形
14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。
且
∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°
∴阴影部分周长
［学习目标］
1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：
（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：
将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆
先用量角器画一个等于
的圆心角，这个角所对的弧就是圆的
，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：
，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值
叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：
n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于
，每个外角为
，等于中心角。
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：
解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
又∵∠FAG＝60°
故选B
点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A. 1∶2∶3 B.
C.
D.
解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高
设
，则AO＝2r，AD＝3r
∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3
故选A
点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的
。通过这个定理可以使问题得到解决。
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
之间的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设它们的周长为
，则正三角形的边长是
，正四边形的边长为
，正六边形的边长为
故选B
点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：
（1）
；
（2）
点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则
∴∠BEA＝36°
（2）
又∵公共角∠ABM＝∠EBA
∴△ABM∽△EBA
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。
解：∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长
正六边形的周长
正六边形的面积
点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
解：∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为
cm
∴外接圆的外切正三角形一边上的高为
cm
∴正三角形的边长为
∴正三角形的面积为
点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
例7. 如图所示，已知⊙
和⊙
外切于点P，⊙
和⊙
的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧
所围的阴影部分的面积。
解：连结
，过点
作
在
中，
∴梯形
的面积为：
又∵
∴扇形
的面积为：
扇形
的面积为：
∴阴影部分的面积为：
点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。
解：由弧长公式
，得：
当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为
∴弧长增加
，故填
点拨：本题主要考查弧长公式
。
例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r
由题意，得：
∴小圆的半径
∴每个小半圆的弧长为
∴n个小半圆的总弧长
即
，故选A。
点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。
例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的
的长为
，
的长为
，若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：设∠O＝α，由弧长公式得：
又
∴阴影部分的面积为：
故选C
点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？
点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用
求得AD，AB就可求。
解：作OD⊥AB于D，连结OB
∵这两段弧之比为3∶7
∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7
设这两个圆心角的度数为3x，7x，则
即
∴∠DOA＝54°，又
∴AD＝Rsin54°
∵AB＝2AD
同理可得3∶7改为m∶n时，解得：
点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。
例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式
，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得
，代入面积公式，即可。
解：如图所示，设正六边形的边长
，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°
例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为
，则内切圆的半径为__________。
解：设正多边形是正n边形，圆半径为r
∵正多边形的周长是12cm
∴正多边形的边长是
又∵正多边形的面积是
故应填2cm。
点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 判断题。
1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ）
4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（ ）
5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ）
6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ）
7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ）
8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）
二. 填空题。
9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。
10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。
11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m（精确到0.1m，
）。
三. 解答题。
12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。
13. 如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
14. 如图：三个半径
的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。
【试题答案】
一. 判断题。
1. × 2. × 3. √ 4. √
5. √ 6. √ 7. × 8. √
二. 填空题。
9. 正五 10. 3∶1 11. 37.7
三. 解答题。
12. 边长比
，面积比2∶1
13. 易求∠F＝∠G＝36°
∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°
从而，
由△AFC≌△AGD得：AC＝AD
∴ABCDE是正五边形
14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。
且
∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°
∴阴影部分周长