3一元一次方程2

一元一次方程

一．本章在教材中的位置：

本章的主要内容包括一元一次方程的定义、解法及应用。小学时我们主要与数打交道,到了中学我们主要与字母代数式打交道.如果从应用的角度看,小学主要学习了用数的四则运算解实际问题,到了中学我们主要是用方程、不等式、函数的知识解决实际问题,一元一次方程的解法与应用是用方程、不等式、函数解实际问题的开始.

一元一次方程的解法的依据是整式的运算和等式的性质，所以本章的学习可以加强有理数与整式运算的复习，使学生了解知识的内在联系与应用意识。同时本章的学习直接关系到一元一次不等式和二次方程以及初三的函数的学习及学生今后解决实际问题的能力。所以一元一次方程良好的开始至关重要。

二．教材内容：

三．课程学习目标：

1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会从算式到方程是数学的进步；

2、利用等式的基本性质理解一元一次方程的解法依据，掌握一元一次方程的解法；

3、能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设出未知数，列出方程表示问题中的等量关系”；

4、通过探究实际问题，体会方程的优越性，提高分析问题解决问题的能力。

四．教材编写特点：

1、与以往教材相比较，增加了由算式到方程这一节，加强了学生对算式与方程的认识；

2、在方程的解法中，结合实际问题讨论解方程，加强了对学生应用意识的培养；

3、通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识；

4、从习题的选择到课后的阅读思考都在有意关注数学文化的传承；

五．教学中应关注的几个问题：

1. 要学生了解算术法与方程法解应用题的区别，体会方程的优越性；如本节第一个例题：

x(5070)(53)350x50x7035

（1）为算术解法，未知量没有参与运算，

（2）为方程解法；未知量可以参与运算。

2. 能区分用语言文字表述的一段话是相等关系还是不等关系；

例：下列哪段话表示相等关系（1）甲等于乙的2倍；（2）甲比乙的2倍小3；（3）甲乙两数和为5；（4）甲比乙大 （5）以前学习的一些公式

3. 相等关系在列方程解应用题中的应用。

例. 长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长等于1，求长和宽。

4. 对方程和一元一次方程定义的理解

1．下列方程中是一元一次方程的有哪几个？

22 (1) 2x22x3 (2) x3x5x6x

(3) |2x3|5 (4)

5. 运用逆运算可以解一些简单的方程，运用等式的性质可以提高解一元一次方程的速度与准确度。

一元一次方程的解法

1. 先入为主，要明确解方程的过程实际上是运用等式的性质将等式转化变形为x=a形式的过程；

2. 给定一个方程后，首先要让学生思考所给方程的形式与x=a形式有何差异，如何来缩小这种差异，从而引导学生完成去分母、去括号、移项、合并同类项、化分母为1的变形过程；

3. 让学生理解，去分母的过程实际上是将方程中的各项均扩大了相同的倍数，所以等号仍然成立；（以此来防止学生以后在去分母时有某一项忘记乘以这一倍数）在化分母中的小数为整数的过程中实际上是方程中的各项都没有变，所以等号成立。 15 3x2

实际问题与一元一次方程

1. 本节的内容在前三节均有渗透，在此提出是为了进一步加强学生阅读理解问题，将实际问题转化为方程问题的能力；

2. 要使学生知道在一道问题中实际上不仅仅一个相等关系，我们往往是用一些简单的相等关系来表示一些未知量，用另外的一个相等关系列方程。

3.由实际问题抽象为方程这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想

4.关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想

六、书中应用问题分类

物理问题 3.1.1的引例，97页例2

几何问题 80页例1

经济问题 移动电话记费 销售中盈亏

三农问题 灌溉94页第6题

生产效率问题 101页例5

中外名题 丢番图墓碑，中国古代问题

社会问题 艾滋病孤儿

七、课时建议

3.1 从算式到方程 2课时

3.2 从古老的代数书说起

——— 一元一次方程的讨论（1） 3课时

3.3 从“买布问题”说起

——— 一元一次方程的讨论（2） 3课时

3.4 再探实际问题和一元一次方程 3课时

数学活动

小结 4课时

习题补充(一)：

从算式到方程

1．下列方程为一元一次方程的是（ A ）

A.2лR=6.28 B.x-y=7 C.x-1=5 D.xy+21=0. x

2.根据题意，列出方程：

（1） 某数与-1的差的2倍等于8，求某数.

（2） 三个连续整数的和为147，求这三个连续整数.

（3） 小明今年13岁，他爸爸今年39岁，几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半？

（4） 有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲支蜡烛可使用8小时，乙支蜡烛可使用6小时.

两支蜡烛同时开点，问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半？

（1）2[x-(-1)]=8; （2）n-1+n+n+1=147; （3）13+x=

3．若关于x的方程：(3-m)x

m=-3;

一元一次方程的解法

1．下列变形正确的是（ D ）

A．方程5x=-4的解是x=-2m51111(39+x); （4(1-x)=1-x 2286+7=2是一元一次方程,则m的值确定吗？为什么？. 5 4

B．把方程5-3x=2-x移项得：3x+x=5-2

C．把方程2-3(x-5)=2x去括号得：2-3x-5=2x

D．方程18-2x=3+3x的解是x=3.

2．若代数式3(x-1)与(x-2)是互为相反数，则x=________.

3．解下列方程：

5 4

（1）3-2(x-5)=x+1 (2) 5(x-2)=4-(2-x)

(3)3x-[1-(2+3x)]=7 (4) 1x-3(4-x)=-12. 2

x=4; x=3; x=1; x=0

4.设K为整数，且关于x的方程Kx=6-2x的解为自然数，求K的值. k=-1,0,1,4;

5.若关于x的方程3x=

6.解方程: 51a1x-4和x-2ax=x+5有相同的解,则a=__________. 2242

3x17x11= (2)(4-y)=(y+3) 3426

x3x12x53x(3)=x- (4)1-=. 6624

1 x=; y=1; x=4; x=13; 2

xxx7.解方程: ++---+=2005. x=-2004*2006; 200520061223

17x38.已知关于x的方程ax+5=的解x与字母系数a都是正整数,求a的值. 22(1)

a=6.

实际问题与一元一次方程

1在日历上圈出一个在竖列上相邻的3个数,使得它们的和为69.则这3天分别是( B )号．

Ａ.22,23,24 B.16,23,30 C.21,23,25 D.17,23,29.

2.甲仓库有粮120吨.乙仓库有粮90吨.从甲仓库调运________吨到乙仓库,调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半. 50

3.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A、C两地的距离为10千米,则A、B两地的距离为________. 20千米;

4．有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校。

（1） 此时，若绕道而行，要15分种到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道

去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？选择绕道去学校;

（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 3分钟

5．笼子里有x只鸡和(13-x)只兔，则鸡兔同笼共有脚（ .D ）

A.13只 B.(26-x)只 C.(52-x)只 D.(52-2x)只.

6.甲乙两个圆柱体容器,底面积比为5:3,甲容器水深20cm,乙容器水深10cm,再往两个容

器注入同样多的水,使两个容器的水深相等,这时水深多少厘米? 35cm;

7.某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 32立方米

8.若给你一条长为48cm的铁丝，用它围成一个长宽都为整数的长方形，你能用这条铁丝设计出多少种不同的长方形呢？它们的面积各是多少？通过对上述问题的探索，你能发现什么？与你的同伴进行交流.

9.某商店元旦实行货物７.５折优惠销售，则售价为１５元的商品，标价为__________元. 20;

10.某学生用８００元压岁钱存了年利率为p％的一年期教育储蓄，则到期后可得本息和为_____________. 800(1+P%);

11.要打印一份文件，小李单独完成需６小时，小王单独完成需８小时，如果他们两人合作，需_________时完成. 33; 7

12．据了解，个体服装销售只要高出进价的20%便可 赢利，但老板们常以高出进价的50%~100%的标准定价，假如你准备买标价为200元的服装，应在什么范围内还价？ 120元～160元;

13．一项工程，由甲队独做需12个月完工，由乙队独做需15个月完工. 现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率. 若甲队的工作效率提高40%，乙队的工作效率提高25%，则两队合作，几个月可以完工？ 5个月

习题补充(二)：

二元一次方程组的应用

1．选择题：

（1）列方程组解应用题一般有下列步骤：

①列方程组；②解方程组；③审题；④设未知数；⑤检验作答．

其基本步骤的顺序是（ ）．

A．①②③④⑤ B．④③①②⑤

C．③④①②⑤ D．④①②⑤③

（2）某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．求课外小组的人数x和应分成的组数y，则依题意可列的方程组得（ ）．

A．7yx3,7x3y, B．

8yx58x5y

C．7yx3,7yx3, D．

8yx58yx5

（3）某人骑自行车从甲地到乙地，去时每小时走12千米，回来时每小时走8千米，那么他往返一次的平均速度为（ ）．

A．10千米/时 B．9.8千米/时

C．9.6千米/时 D．9.4千米/时

（4）甲、乙两人合作完成一件工作，4小时后，甲另有任务，余下的部分由乙单独做，乙用10小时全部完成，已知甲6小时的工作量乙用7小时30分钟才能完成．如果这项工作由甲、乙单独做，那么（ ）．

A．甲用12小时，乙用15小时 B．甲用15小时，乙用12小时

C．甲用10小时，乙用20小时 D．甲用20小时，乙用10小时

（5）有一个两位数，用十位数字加上个位数字与用十位数字减去个位数字的结果相同，那么这样的两位数一共有（ ）．

A．8个 B．9个 C．10个 D．11个

（6）A、B两地相距S千米，从A地到B地，甲用5小时，乙用6小时，那么甲的速度比乙的速度快（ ）．

A．SSSS千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 115630

（7）某校150名学生参加数学考试，人平均55分，其中及格学生平均77分，不及格学生平均47分，则不及格学生人数为（ ）．

A．49 B．101 C．110 D．40

（8）某校宿舍，若每间住1人，有10人无处住；若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍间数为（ ）．

A．20 B．10 C．15 D．12

（9）若某年级学生共有246人，其中男生人数为女生人数的2倍少2人，问男、女生各有多少？以上问题中，设女生人数为x人，男生人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ）．

A．xy246,xy246, B． 2yx22yx2

xy246,xy246, C． D． y2x22yx2

（10）某同学买了每枚1元的邮票x枚，每枚2元的邮票y枚，最后经清点知道共买了邮票12枚，花去了20元钱．那么x，y应满足的方程组是（ ）．

A．xy12,xy12, B．

2xy20x2y20

xy20,xy20, C． D． x2y122xy12

2．填空题：

（1）在代数式kx＋b中，当x＝3时，它的值是－2；当x＝5时，它的值是2，则k_______，b＝________；

（2）一只轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行，每小时行16千米，则轮船在静水中的速度为________，水流速度为________；

（3）用浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液混合配制成浓度为20%的盐酸溶液50千克，如果分别用x

、y来表示浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液，那么未知数与已知数的关系如下表：

（4）已知甲、乙两个粮库，若从甲库调出10吨给乙库，则乙库的存粮数是甲库存粮数的2倍，以上关系用等式表示为______；

（5）5辆大车和4辆卡车一次运货24吨，10辆大车和2辆卡车一次运货21吨，问一辆大车和一辆卡车一次运货各多少吨？若设大车一次运货x吨，卡车一次运货y吨，则根据题意所得的方程组为______；

（6）1996年全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共得23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了_______场；

（7）某公司去年出口创汇120万美元，今年比去年增加了x%，若保持此增长率不变，则明年创汇_______万美元．

3．甲、乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的则甲队人数是乙队人数的4少30人，若从乙队调10人到甲队，53，求两个工程队各有多少人？ 4

4．加工螺母与螺杆，若每人每天平均加工螺母15个或螺杆12根，已知共有90人，问怎样分配人数，使加工出的螺母与螺杆正好配套．

5．甲库比乙库存粮少5吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的40万，那3

么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原有存粮多少吨？

6．某水果种植基地去年结余500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15％，支出比去年低10％．求去年的收入与支出各是多少万元．

7．一个两位数，十位数字是个位上数字的2倍，把十位数字与个位数字的位置对调，所得新数比原数小18，求这个两位数各是多少？

8．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数减去1后所得的数正好是它的各位数字之和的5倍．求这个两位数是多少？

9．有一个两位数，除以它各数位上的数字的和，商为7，余数是6，如果把它十位数字与个位数字对调，所得的新数除以它各数位上的数字的和，商为3，余数是5，求这两位数．

10．有100名某校师生到甲、乙、丙三个工厂参加劳动，到甲厂劳动的人数的2倍比到丙厂劳动人数少10人，到甲、丙两厂劳动人数的和比到乙厂劳动人数的2倍多10人，求到三个厂劳动的人数各是多少人？

11．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大了，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．

12．甲、乙两人从某地同向出发，甲骑自行车，乙步行，如果乙先走20千米，甲用1小时可追上乙，如果乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙，那么甲、乙二人的速度各是多少？

13．A、B两地相距20千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经2小时相遇，相遇后甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A还有2千米，求甲、乙速度．

14．某工厂甲、乙两车间去年计划共完成利税720万元，结果甲车间完成了计划的115％，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成利税812万元，去年这两个车间各超额完成利税多少万元？

15．某企业向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求两种贷款的数额各是多少万元？

16．某厂接受一批定货，预计30天完成，经改革技术后，劳动效率提高了120%，结果提前16天完成任务，并超产32件，求该厂原计划的任务是多少，原计划每天的定额是多少？

17．甲、乙两人做相同的零件，开始甲先做了一天，然后两人一起做，4天后甲比乙多做2个，如果甲先做20个，然后二人一起做，4天后，乙反而比甲多做12个，问甲、乙二人每天各做多少个零件？

18．敌我相距42千米，如果敌人向我进犯，我军前去迎击，2小时可相遇，如果敌

人逃跑，我军须用14小时才能追上，问我军和敌军速度各是多少？

19．用白铁皮做饮料盒，每张铁皮可做16个盒身或43个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套，现有150张白铁皮，问用多少张制盒身，多少张制盒底，可正好制成整套的饮料盒而不致于浪费，请你帮助设计一下． 20．甲、乙两人从相距18km两地同时出发，相向而行，小时后相遇，如果甲比乙先出发9523小时，那么乙出发后小时两人相遇，求两人的速度各是多少？ 32

21．某体育场的环行跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？

22．甲、乙两人分别从相距27km的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，两人各用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分，求甲、乙两人的速度．

23．有甲、乙两种火车，甲车长190米，乙车长250米，在平行的轨道上相向而行，已知两车自车从相遇到车尾相离，经过16秒钟，甲、乙两车的速度比为7∶4，求甲、乙两车的速度各是多少？

参考答案

1．（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D （7）C （8）A （9）B

（10）B

顺水速度逆水速度 2．（1）2，－8 （2）18千米/时，2千米/时（提示：静水速度 2

顺水速度逆水速度水流速度） （3）30%x，15%y，50×20% （4）y＋10＝2（x－10）2

5x4y24xy11,即2x－y＝30 （5） （6）设该队胜x场，平y场，则 ∴ 10x2y213xy23.

x6,2（7）120(1x%) y5.

3．甲工程队有170人，乙工程队有250人． 提示：设甲、乙工程分别有工人x人，y人，根据题意，得

x30x10

4y,5 3(y10).4

4．40人加工螺母，50人加工螺杆．

提示：设x人加工螺母，y人加工螺杆，根据题意，得

xy90, 15x12y.

5．甲库存粮45吨，乙库存粮50吨．

提示：设甲乙两库原有存粮分别是x吨、y吨，根据题意，得

xy5, 22(1)x(140%)y.3

6．去年收入2040万元，支出1540万元．

xy500, 提示：设去年收入x万元，支出y万元，根据题意，有 1510(1)x(1)y960.100100

7．这个两位数是42．

提示：设十位数字是x．个位数字是y．根据题意，得

x2y, 10xy(10yx)18.

8．这个两位数为56．

提示：设两位数的十位数字为x，个位数字为y．

10xy3(xy)23, 根据题意有 10xy15(xy).

9．这个两位数是83．

提示：设十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得

10xy7(xy)6, 10yx3(xy)5.

10．甲厂20人，乙厂30人，丙厂50人．

提示：设到甲、乙、丙厂劳动的人数分别是x、y、z，根据题意，得

xyz100, z2x10,

xz2y10.

11．这三位数是287．

提示：设百位数字、十位数字、个位数字分别是x、y、z，根据题意，得

xyz17, xyz3,

(100z10yx)(100x10yz)495.

12．甲速度是25千米/时，乙速度是5千米/时．

提示：设甲速度x千米/时，乙速度是y千米/时，根据题意，得

20yx, x5y.44

13．甲速度是5.5千米/时，乙速度是4.5千米/时．

提示：设甲、乙速度分别是x千米/时、y千米/时，根据题意，得

2(xy)20, 2(xy)2.

14．甲超额完成利税60万元，乙超额完成利税32万元． 提示：设甲车间超额完成利税x万元，乙车间超额完成利税y万元，根据题意，得

xy812720, xy720.115%1110%1

15．甲种货款42万元，乙种货款26万元．

提示：设甲种货款x万元，乙种货款y万元，根据题意，得

xy68, 12%x13%y8.42.

16．原计划加工任务1200件，原计划每天的定额是40件．

提示：设原计划的任务是x件，原计划每天的定额是y件，根据题意，得

30yx, (1120%)y(3016)x32.

17．甲每天做34个，乙每天做42个．

提示：设甲每天做x个，乙每天做y个，根据题意，得

5x4y2, 4y(4x20)12.

18．我军速度12千米/时，敌军速度是9千米/时．

提示：设我军速度x千米/时，敌军速度y千米/时，根据题意，得

2(xy)42, 14(xy)42.

19．86张白铁皮制盒身，64张白铁皮制盒底．

提示：设用x张白铁皮制盒身，y张制盒底，根据题意，得

xy150, 162x43y.

20．甲每小时行4.5km，乙每小时行5.5km．

提示：设甲速度是x km/时，乙速度是y km/时，根据题意，得

9(xy)18,5 23x(xy)18.23

21．甲速度为2555米/秒，乙速度为米/秒． 66

提示：设甲速度为x米/秒，乙速度为y米/秒．

30(xy)400, 根据题意有 80(yx)400.

22．甲速度5km/时，乙速度4km/时， 提示：设甲速度xkm/时，乙速度ykm/时，根据题意，得

3(xy)27,3x3y81

yx60.

23．甲车速度为35米/秒，乙车速度为10米/秒． 2

提示：设甲车速度为x米/秒，乙车速度为y米/秒，根据题意，得

16(xy)190250, x:y7:4.

习题补充(三)：

1.解方程x41x31(x5),去分母时方程两边同乘以( ) 18632

A.72 B.36 C.18 D.12

2.下列各方程的变形中正确的是( )

x10xx=3,分母化成整数得 =30 B.0.01-=5,去分母得1-x=5 0.22100

y1y23 去分母得2y-2-y+2=12 D.5%x=2×3%,去分母得5x=200×3 C. 24 A.

3.完成下面解方程,并在括号中指明该步骤的依据:

解方程: 2x110x11. 36

解:________________________,得

2(2x+1)-_______=________ ( )

去括号,得

___________________=_______________________.

________,得-6x=5, ( ) 系数化为1,得x=_______. ( )

4.解方程:

(1)

(3)

5y175y17; (2)  ; 63632x4x3x2(3x7)21.5x ; (4) (x5). 7532

5.一件工作,甲单独完成需要3小时,乙单独完成需要2小时, 则甲的工作效率是_______,乙的工作效率是_________,其中“1”是指__________;甲乙合作一小时能完成这件工作的________,甲乙合作_______小时可以完成这件工作.

6.小亮原计划骑车以12千米/时的速度,由A地去B地, 这样便可在规定时间到达B地,但因故将原计划出发时间推迟了20分钟,只好以15千米/时的速度前进, 结果比规定时间早4分钟到达B地,求A、B两地间的距离?

7.一项工程,甲工程队单独做40天可以完成,乙工程队单独做80天可以完成, 现由甲先单独做10天,然后与乙共同完成了余下的工程,问甲工程队一共做了多少天?8.解方程: 4x1.50.5x0.081.2x2. 0.50.020.1

9.学校准备组织教师和优秀学生去大洪山春游,其中教师22名,现有甲、乙两家旅行社,两家定价相同,但优惠方式不同:甲旅行社表示教师免费,学生按八折收费; 乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费,学校领导经过核算后认为甲、 乙旅行社的收费一样,请你算出有多少名学生参加春游.

答案 1;(3)x=0;(4)x=6 2

11565.,,完成这件工作的工作总量, ,. 3265

xx2046.方法1:设AB两地间距离为x千米,列方程,x=24; 121560601.C 2.C 3.略 4.(1)y=3;(2)x=

方法2:设规定时间为y小时,列方程12y15y

米.

7.设甲工程队一共做了x天,列方程204,y=2,AB间距离是24千606011110(x10)1, x=30. 404080

8. 4x1.520.5x0.081001.2x10132,x=-. 0.520.021000.1107

9.设有x名学生参加春游,两家旅行社的相同定价为a元,

列方程80%a·x=(x+22)·75%a,

两边都除以a得80%x=75%(x+22),x=330.

一元一次方程

一．本章在教材中的位置：

本章的主要内容包括一元一次方程的定义、解法及应用。小学时我们主要与数打交道,到了中学我们主要与字母代数式打交道.如果从应用的角度看,小学主要学习了用数的四则运算解实际问题,到了中学我们主要是用方程、不等式、函数的知识解决实际问题,一元一次方程的解法与应用是用方程、不等式、函数解实际问题的开始.

一元一次方程的解法的依据是整式的运算和等式的性质，所以本章的学习可以加强有理数与整式运算的复习，使学生了解知识的内在联系与应用意识。同时本章的学习直接关系到一元一次不等式和二次方程以及初三的函数的学习及学生今后解决实际问题的能力。所以一元一次方程良好的开始至关重要。

二．教材内容：

三．课程学习目标：

1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会从算式到方程是数学的进步；

2、利用等式的基本性质理解一元一次方程的解法依据，掌握一元一次方程的解法；

3、能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设出未知数，列出方程表示问题中的等量关系”；

4、通过探究实际问题，体会方程的优越性，提高分析问题解决问题的能力。

四．教材编写特点：

1、与以往教材相比较，增加了由算式到方程这一节，加强了学生对算式与方程的认识；

2、在方程的解法中，结合实际问题讨论解方程，加强了对学生应用意识的培养；

3、通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识；

4、从习题的选择到课后的阅读思考都在有意关注数学文化的传承；

五．教学中应关注的几个问题：

1. 要学生了解算术法与方程法解应用题的区别，体会方程的优越性；如本节第一个例题：

x(5070)(53)350x50x7035

（1）为算术解法，未知量没有参与运算，

（2）为方程解法；未知量可以参与运算。

2. 能区分用语言文字表述的一段话是相等关系还是不等关系；

例：下列哪段话表示相等关系（1）甲等于乙的2倍；（2）甲比乙的2倍小3；（3）甲乙两数和为5；（4）甲比乙大 （5）以前学习的一些公式

3. 相等关系在列方程解应用题中的应用。

例. 长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长等于1，求长和宽。

4. 对方程和一元一次方程定义的理解

1．下列方程中是一元一次方程的有哪几个？

22 (1) 2x22x3 (2) x3x5x6x

(3) |2x3|5 (4)

5. 运用逆运算可以解一些简单的方程，运用等式的性质可以提高解一元一次方程的速度与准确度。

一元一次方程的解法

1. 先入为主，要明确解方程的过程实际上是运用等式的性质将等式转化变形为x=a形式的过程；

2. 给定一个方程后，首先要让学生思考所给方程的形式与x=a形式有何差异，如何来缩小这种差异，从而引导学生完成去分母、去括号、移项、合并同类项、化分母为1的变形过程；

3. 让学生理解，去分母的过程实际上是将方程中的各项均扩大了相同的倍数，所以等号仍然成立；（以此来防止学生以后在去分母时有某一项忘记乘以这一倍数）在化分母中的小数为整数的过程中实际上是方程中的各项都没有变，所以等号成立。 15 3x2

实际问题与一元一次方程

1. 本节的内容在前三节均有渗透，在此提出是为了进一步加强学生阅读理解问题，将实际问题转化为方程问题的能力；

2. 要使学生知道在一道问题中实际上不仅仅一个相等关系，我们往往是用一些简单的相等关系来表示一些未知量，用另外的一个相等关系列方程。

3.由实际问题抽象为方程这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想

4.关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想

六、书中应用问题分类

物理问题 3.1.1的引例，97页例2

几何问题 80页例1

经济问题 移动电话记费 销售中盈亏

三农问题 灌溉94页第6题

生产效率问题 101页例5

中外名题 丢番图墓碑，中国古代问题

社会问题 艾滋病孤儿

七、课时建议

3.1 从算式到方程 2课时

3.2 从古老的代数书说起

——— 一元一次方程的讨论（1） 3课时

3.3 从“买布问题”说起

——— 一元一次方程的讨论（2） 3课时

3.4 再探实际问题和一元一次方程 3课时

数学活动

小结 4课时

习题补充(一)：

从算式到方程

1．下列方程为一元一次方程的是（ A ）

A.2лR=6.28 B.x-y=7 C.x-1=5 D.xy+21=0. x

2.根据题意，列出方程：

（1） 某数与-1的差的2倍等于8，求某数.

（2） 三个连续整数的和为147，求这三个连续整数.

（3） 小明今年13岁，他爸爸今年39岁，几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半？

（4） 有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲支蜡烛可使用8小时，乙支蜡烛可使用6小时.

两支蜡烛同时开点，问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半？

（1）2[x-(-1)]=8; （2）n-1+n+n+1=147; （3）13+x=

3．若关于x的方程：(3-m)x

m=-3;

一元一次方程的解法

1．下列变形正确的是（ D ）

A．方程5x=-4的解是x=-2m51111(39+x); （4(1-x)=1-x 2286+7=2是一元一次方程,则m的值确定吗？为什么？. 5 4

B．把方程5-3x=2-x移项得：3x+x=5-2

C．把方程2-3(x-5)=2x去括号得：2-3x-5=2x

D．方程18-2x=3+3x的解是x=3.

2．若代数式3(x-1)与(x-2)是互为相反数，则x=________.

3．解下列方程：

5 4

（1）3-2(x-5)=x+1 (2) 5(x-2)=4-(2-x)

(3)3x-[1-(2+3x)]=7 (4) 1x-3(4-x)=-12. 2

x=4; x=3; x=1; x=0

4.设K为整数，且关于x的方程Kx=6-2x的解为自然数，求K的值. k=-1,0,1,4;

5.若关于x的方程3x=

6.解方程: 51a1x-4和x-2ax=x+5有相同的解,则a=__________. 2242

3x17x11= (2)(4-y)=(y+3) 3426

x3x12x53x(3)=x- (4)1-=. 6624

1 x=; y=1; x=4; x=13; 2

xxx7.解方程: ++---+=2005. x=-2004*2006; 200520061223

17x38.已知关于x的方程ax+5=的解x与字母系数a都是正整数,求a的值. 22(1)

a=6.

实际问题与一元一次方程

1在日历上圈出一个在竖列上相邻的3个数,使得它们的和为69.则这3天分别是( B )号．

Ａ.22,23,24 B.16,23,30 C.21,23,25 D.17,23,29.

2.甲仓库有粮120吨.乙仓库有粮90吨.从甲仓库调运________吨到乙仓库,调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半. 50

3.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A、C两地的距离为10千米,则A、B两地的距离为________. 20千米;

4．有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校。

（1） 此时，若绕道而行，要15分种到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道

去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？选择绕道去学校;

（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 3分钟

5．笼子里有x只鸡和(13-x)只兔，则鸡兔同笼共有脚（ .D ）

A.13只 B.(26-x)只 C.(52-x)只 D.(52-2x)只.

6.甲乙两个圆柱体容器,底面积比为5:3,甲容器水深20cm,乙容器水深10cm,再往两个容

器注入同样多的水,使两个容器的水深相等,这时水深多少厘米? 35cm;

7.某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 32立方米

8.若给你一条长为48cm的铁丝，用它围成一个长宽都为整数的长方形，你能用这条铁丝设计出多少种不同的长方形呢？它们的面积各是多少？通过对上述问题的探索，你能发现什么？与你的同伴进行交流.

9.某商店元旦实行货物７.５折优惠销售，则售价为１５元的商品，标价为__________元. 20;

10.某学生用８００元压岁钱存了年利率为p％的一年期教育储蓄，则到期后可得本息和为_____________. 800(1+P%);

11.要打印一份文件，小李单独完成需６小时，小王单独完成需８小时，如果他们两人合作，需_________时完成. 33; 7

12．据了解，个体服装销售只要高出进价的20%便可 赢利，但老板们常以高出进价的50%~100%的标准定价，假如你准备买标价为200元的服装，应在什么范围内还价？ 120元～160元;

13．一项工程，由甲队独做需12个月完工，由乙队独做需15个月完工. 现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率. 若甲队的工作效率提高40%，乙队的工作效率提高25%，则两队合作，几个月可以完工？ 5个月

习题补充(二)：

二元一次方程组的应用

1．选择题：

（1）列方程组解应用题一般有下列步骤：

①列方程组；②解方程组；③审题；④设未知数；⑤检验作答．

其基本步骤的顺序是（ ）．

A．①②③④⑤ B．④③①②⑤

C．③④①②⑤ D．④①②⑤③

（2）某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．求课外小组的人数x和应分成的组数y，则依题意可列的方程组得（ ）．

A．7yx3,7x3y, B．

8yx58x5y

C．7yx3,7yx3, D．

8yx58yx5

（3）某人骑自行车从甲地到乙地，去时每小时走12千米，回来时每小时走8千米，那么他往返一次的平均速度为（ ）．

A．10千米/时 B．9.8千米/时

C．9.6千米/时 D．9.4千米/时

（4）甲、乙两人合作完成一件工作，4小时后，甲另有任务，余下的部分由乙单独做，乙用10小时全部完成，已知甲6小时的工作量乙用7小时30分钟才能完成．如果这项工作由甲、乙单独做，那么（ ）．

A．甲用12小时，乙用15小时 B．甲用15小时，乙用12小时

C．甲用10小时，乙用20小时 D．甲用20小时，乙用10小时

（5）有一个两位数，用十位数字加上个位数字与用十位数字减去个位数字的结果相同，那么这样的两位数一共有（ ）．

A．8个 B．9个 C．10个 D．11个

（6）A、B两地相距S千米，从A地到B地，甲用5小时，乙用6小时，那么甲的速度比乙的速度快（ ）．

A．SSSS千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 115630

（7）某校150名学生参加数学考试，人平均55分，其中及格学生平均77分，不及格学生平均47分，则不及格学生人数为（ ）．

A．49 B．101 C．110 D．40

（8）某校宿舍，若每间住1人，有10人无处住；若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍间数为（ ）．

A．20 B．10 C．15 D．12

（9）若某年级学生共有246人，其中男生人数为女生人数的2倍少2人，问男、女生各有多少？以上问题中，设女生人数为x人，男生人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ）．

A．xy246,xy246, B． 2yx22yx2

xy246,xy246, C． D． y2x22yx2

（10）某同学买了每枚1元的邮票x枚，每枚2元的邮票y枚，最后经清点知道共买了邮票12枚，花去了20元钱．那么x，y应满足的方程组是（ ）．

A．xy12,xy12, B．

2xy20x2y20

xy20,xy20, C． D． x2y122xy12

2．填空题：

（1）在代数式kx＋b中，当x＝3时，它的值是－2；当x＝5时，它的值是2，则k_______，b＝________；

（2）一只轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行，每小时行16千米，则轮船在静水中的速度为________，水流速度为________；

（3）用浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液混合配制成浓度为20%的盐酸溶液50千克，如果分别用x

、y来表示浓度为30%和浓度为15%的盐酸溶液，那么未知数与已知数的关系如下表：

（4）已知甲、乙两个粮库，若从甲库调出10吨给乙库，则乙库的存粮数是甲库存粮数的2倍，以上关系用等式表示为______；

（5）5辆大车和4辆卡车一次运货24吨，10辆大车和2辆卡车一次运货21吨，问一辆大车和一辆卡车一次运货各多少吨？若设大车一次运货x吨，卡车一次运货y吨，则根据题意所得的方程组为______；

（6）1996年全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共得23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了_______场；

（7）某公司去年出口创汇120万美元，今年比去年增加了x%，若保持此增长率不变，则明年创汇_______万美元．

3．甲、乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的则甲队人数是乙队人数的4少30人，若从乙队调10人到甲队，53，求两个工程队各有多少人？ 4

4．加工螺母与螺杆，若每人每天平均加工螺母15个或螺杆12根，已知共有90人，问怎样分配人数，使加工出的螺母与螺杆正好配套．

5．甲库比乙库存粮少5吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的40万，那3

么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原有存粮多少吨？

6．某水果种植基地去年结余500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15％，支出比去年低10％．求去年的收入与支出各是多少万元．

7．一个两位数，十位数字是个位上数字的2倍，把十位数字与个位数字的位置对调，所得新数比原数小18，求这个两位数各是多少？

8．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数减去1后所得的数正好是它的各位数字之和的5倍．求这个两位数是多少？

9．有一个两位数，除以它各数位上的数字的和，商为7，余数是6，如果把它十位数字与个位数字对调，所得的新数除以它各数位上的数字的和，商为3，余数是5，求这两位数．

10．有100名某校师生到甲、乙、丙三个工厂参加劳动，到甲厂劳动的人数的2倍比到丙厂劳动人数少10人，到甲、丙两厂劳动人数的和比到乙厂劳动人数的2倍多10人，求到三个厂劳动的人数各是多少人？

11．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大了，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．

12．甲、乙两人从某地同向出发，甲骑自行车，乙步行，如果乙先走20千米，甲用1小时可追上乙，如果乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙，那么甲、乙二人的速度各是多少？

13．A、B两地相距20千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经2小时相遇，相遇后甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A还有2千米，求甲、乙速度．

14．某工厂甲、乙两车间去年计划共完成利税720万元，结果甲车间完成了计划的115％，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成利税812万元，去年这两个车间各超额完成利税多少万元？

15．某企业向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求两种贷款的数额各是多少万元？

16．某厂接受一批定货，预计30天完成，经改革技术后，劳动效率提高了120%，结果提前16天完成任务，并超产32件，求该厂原计划的任务是多少，原计划每天的定额是多少？

17．甲、乙两人做相同的零件，开始甲先做了一天，然后两人一起做，4天后甲比乙多做2个，如果甲先做20个，然后二人一起做，4天后，乙反而比甲多做12个，问甲、乙二人每天各做多少个零件？

18．敌我相距42千米，如果敌人向我进犯，我军前去迎击，2小时可相遇，如果敌

人逃跑，我军须用14小时才能追上，问我军和敌军速度各是多少？

19．用白铁皮做饮料盒，每张铁皮可做16个盒身或43个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套，现有150张白铁皮，问用多少张制盒身，多少张制盒底，可正好制成整套的饮料盒而不致于浪费，请你帮助设计一下． 20．甲、乙两人从相距18km两地同时出发，相向而行，小时后相遇，如果甲比乙先出发9523小时，那么乙出发后小时两人相遇，求两人的速度各是多少？ 32

21．某体育场的环行跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？

22．甲、乙两人分别从相距27km的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，两人各用原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分，求甲、乙两人的速度．

23．有甲、乙两种火车，甲车长190米，乙车长250米，在平行的轨道上相向而行，已知两车自车从相遇到车尾相离，经过16秒钟，甲、乙两车的速度比为7∶4，求甲、乙两车的速度各是多少？

参考答案

1．（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D （7）C （8）A （9）B

（10）B

顺水速度逆水速度 2．（1）2，－8 （2）18千米/时，2千米/时（提示：静水速度 2

顺水速度逆水速度水流速度） （3）30%x，15%y，50×20% （4）y＋10＝2（x－10）2

5x4y24xy11,即2x－y＝30 （5） （6）设该队胜x场，平y场，则 ∴ 10x2y213xy23.

x6,2（7）120(1x%) y5.

3．甲工程队有170人，乙工程队有250人． 提示：设甲、乙工程分别有工人x人，y人，根据题意，得

x30x10

4y,5 3(y10).4

4．40人加工螺母，50人加工螺杆．

提示：设x人加工螺母，y人加工螺杆，根据题意，得

xy90, 15x12y.

5．甲库存粮45吨，乙库存粮50吨．

提示：设甲乙两库原有存粮分别是x吨、y吨，根据题意，得

xy5, 22(1)x(140%)y.3

6．去年收入2040万元，支出1540万元．

xy500, 提示：设去年收入x万元，支出y万元，根据题意，有 1510(1)x(1)y960.100100

7．这个两位数是42．

提示：设十位数字是x．个位数字是y．根据题意，得

x2y, 10xy(10yx)18.

8．这个两位数为56．

提示：设两位数的十位数字为x，个位数字为y．

10xy3(xy)23, 根据题意有 10xy15(xy).

9．这个两位数是83．

提示：设十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得

10xy7(xy)6, 10yx3(xy)5.

10．甲厂20人，乙厂30人，丙厂50人．

提示：设到甲、乙、丙厂劳动的人数分别是x、y、z，根据题意，得

xyz100, z2x10,

xz2y10.

11．这三位数是287．

提示：设百位数字、十位数字、个位数字分别是x、y、z，根据题意，得

xyz17, xyz3,

(100z10yx)(100x10yz)495.

12．甲速度是25千米/时，乙速度是5千米/时．

提示：设甲速度x千米/时，乙速度是y千米/时，根据题意，得

20yx, x5y.44

13．甲速度是5.5千米/时，乙速度是4.5千米/时．

提示：设甲、乙速度分别是x千米/时、y千米/时，根据题意，得

2(xy)20, 2(xy)2.

14．甲超额完成利税60万元，乙超额完成利税32万元． 提示：设甲车间超额完成利税x万元，乙车间超额完成利税y万元，根据题意，得

xy812720, xy720.115%1110%1

15．甲种货款42万元，乙种货款26万元．

提示：设甲种货款x万元，乙种货款y万元，根据题意，得

xy68, 12%x13%y8.42.

16．原计划加工任务1200件，原计划每天的定额是40件．

提示：设原计划的任务是x件，原计划每天的定额是y件，根据题意，得

30yx, (1120%)y(3016)x32.

17．甲每天做34个，乙每天做42个．

提示：设甲每天做x个，乙每天做y个，根据题意，得

5x4y2, 4y(4x20)12.

18．我军速度12千米/时，敌军速度是9千米/时．

提示：设我军速度x千米/时，敌军速度y千米/时，根据题意，得

2(xy)42, 14(xy)42.

19．86张白铁皮制盒身，64张白铁皮制盒底．

提示：设用x张白铁皮制盒身，y张制盒底，根据题意，得

xy150, 162x43y.

20．甲每小时行4.5km，乙每小时行5.5km．

提示：设甲速度是x km/时，乙速度是y km/时，根据题意，得

9(xy)18,5 23x(xy)18.23

21．甲速度为2555米/秒，乙速度为米/秒． 66

提示：设甲速度为x米/秒，乙速度为y米/秒．

30(xy)400, 根据题意有 80(yx)400.

22．甲速度5km/时，乙速度4km/时， 提示：设甲速度xkm/时，乙速度ykm/时，根据题意，得

3(xy)27,3x3y81

yx60.

23．甲车速度为35米/秒，乙车速度为10米/秒． 2

提示：设甲车速度为x米/秒，乙车速度为y米/秒，根据题意，得

16(xy)190250, x:y7:4.

习题补充(三)：

1.解方程x41x31(x5),去分母时方程两边同乘以( ) 18632

A.72 B.36 C.18 D.12

2.下列各方程的变形中正确的是( )

x10xx=3,分母化成整数得 =30 B.0.01-=5,去分母得1-x=5 0.22100

y1y23 去分母得2y-2-y+2=12 D.5%x=2×3%,去分母得5x=200×3 C. 24 A.

3.完成下面解方程,并在括号中指明该步骤的依据:

解方程: 2x110x11. 36

解:________________________,得

2(2x+1)-_______=________ ( )

去括号,得

___________________=_______________________.

________,得-6x=5, ( ) 系数化为1,得x=_______. ( )

4.解方程:

(1)

(3)

5y175y17; (2)  ; 63632x4x3x2(3x7)21.5x ; (4) (x5). 7532

5.一件工作,甲单独完成需要3小时,乙单独完成需要2小时, 则甲的工作效率是_______,乙的工作效率是_________,其中“1”是指__________;甲乙合作一小时能完成这件工作的________,甲乙合作_______小时可以完成这件工作.

6.小亮原计划骑车以12千米/时的速度,由A地去B地, 这样便可在规定时间到达B地,但因故将原计划出发时间推迟了20分钟,只好以15千米/时的速度前进, 结果比规定时间早4分钟到达B地,求A、B两地间的距离?

7.一项工程,甲工程队单独做40天可以完成,乙工程队单独做80天可以完成, 现由甲先单独做10天,然后与乙共同完成了余下的工程,问甲工程队一共做了多少天?8.解方程: 4x1.50.5x0.081.2x2. 0.50.020.1

9.学校准备组织教师和优秀学生去大洪山春游,其中教师22名,现有甲、乙两家旅行社,两家定价相同,但优惠方式不同:甲旅行社表示教师免费,学生按八折收费; 乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费,学校领导经过核算后认为甲、 乙旅行社的收费一样,请你算出有多少名学生参加春游.

答案 1;(3)x=0;(4)x=6 2

11565.,,完成这件工作的工作总量, ,. 3265

xx2046.方法1:设AB两地间距离为x千米,列方程,x=24; 121560601.C 2.C 3.略 4.(1)y=3;(2)x=

方法2:设规定时间为y小时,列方程12y15y

米.

7.设甲工程队一共做了x天,列方程204,y=2,AB间距离是24千606011110(x10)1, x=30. 404080

8. 4x1.520.5x0.081001.2x10132,x=-. 0.520.021000.1107

9.设有x名学生参加春游,两家旅行社的相同定价为a元,

列方程80%a·x=(x+22)·75%a,

两边都除以a得80%x=75%(x+22),x=330.