中学数学研究２００７年第７期
关于椭圆离心率的几个优美命题
四川省内江师范学院数学系
（６４１１１２）余小芬刘成龙
文［１］给出了双曲线离心率的一组优美结论，笔者读后深受启发，通过仔细研究得到了有关椭圆离心率的一组优美结论，为方便叙述，本文把结论以命题的形式给出．请看下文：
证明
在Ｒ￡△ＢＯ＿Ｆ２中，ｔａＪｌＰ
２詈，所以
ｔ玉９＝等＝等＝主－１，于、是孙２＝
如图１，椭圆≤＋
口－
ｙ・
菩＝ｌ（口＞０，６＞ｏ）的
两个焦点为Ｆ１（一ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，０），在ｚ轴上
彳人凡
＼、～
么铋。
Ｄ
志，即ｅ
所以ｅ＝∞ｓ９．
命题３
２
ｃｏｓＰ
Ｉ，又因为９∈（ｏ，考），
／
ｎ。∥２
ｉ
图１
Ｐ＝黜．证明易知ｅ＝詈＝Ⅱ≤蹁，设
Ｓ１ｎ口十Ｓｌｎ口
口
Ｉ，ｒ
１
Ｉ十Ｉ厂ｒ＇ｌ
的两顶点为Ａ１（一ｎ，Ｏ）、Ａ２（口，０），在ｙ轴正半
轴上的顶点为Ｂ（０，６），椭圆离心率为ｅ，Ｐ是椭圆上的一动点（异于ｚ轴上的两顶点），设么Ａ１ＢＯ＝８，么ＰＦｌＦ２＝口，么ＰＡｌＡ２＝口ｌ，么ＢＦ２Ｆｌ＝９，么Ｆ１Ｆ２Ｐ＝卢，么ＰＡ２Ａ１＝ｐ１．则可得到以下４个命题：
命题ｌ证明
△ＰＦｌＦ２的外接圆的半径为Ｒ，由正弦定理
２仃习了网。刁舔赢了五万２慧镯ｍ＝慧篇．
毹ｅ
ｚ苴
Ｆ１Ｆ２
２Ｒｓｉｎ（丌一口一旦）一
Ｓｌｎ口十ｓｌｎ芦Ｓｌｎａ十Ｓ１ｎｐ
命题４已＝订Ｆ面面面磊．
Ｐ＝￣／ｌ—ｏ群９．
证明设ｐ（ｚ。，ｙ。）是椭圆享＋参。１上
的一点：这里于妨设Ｐ（ｚ。，ｙ。）在ｚ轴的上方，
在愈△ＡｌｏＢ中，似８＝号，所以
口
ｃ０Ｐ日：笔：旦三≠：１一ｅｚ，于是可得ｅ：
口
则ｔ肌口ｔ＝忌ＰＡ，＝未笔，锄（丌一卢，）＝忌ｍ：＝
厂Ｆｉ葡．
命题２
ｅ＝ｃＯｓｐ．
五竽ｉ，于是可得ｔａｎ口，ｔａｎ（丌一ｐ，）５＝麓‘
Ｚｎ一口
‘
。一
ｉ兰＝南，又因为Ｐ（ｚｏ，殉）在椭圆丢
’’。
Ｚｎ
１＿口
ＺＯ一口Ｚ０。一口。
ｎ。
夸ｋ鲁ｅｊｋｊｋ业蕊｝坐警ｅ夸ｋ疆｝蕾｝警｝誓｝：Ｉｋ业■｝■｝坐ｊ壬｝■ｔｊｋ：－ｋｊ妇‘ｊｋｊｋ薯｝ｊ‘｝ｊ略ｊ●｝警｝ｊｋ崔｝ｊｋ誓｝誓｝蕾｝书｝曾ｅ誓｝誓｝省｝■｝
可能回答的情况及处理办法等都要有明确的通盘设计．有些提问不一定要学生个别回答，甚至不一定要学生作出回答，关键要起到一个提示、
引导、过渡的效果．有些提问不一定要学生口头
序渐进，才能充分体现课堂提问的目的．
总之，课堂提问是进行数学学科思维训练，提高学生学习能力的一种有效的教学方法，在数学教学中发挥着重要的作用．教师通过科学
的课堂提问，可以达到多角度、深层次地调动学
回答，也可以让学生用书面的形式回答．课堂提问要根据学生的具体学情进行设置，要符合学生的心理状态，符合学生的认知规律和特点，循
生学习的内动力，加强教与学的和谐互动，提高课堂教学的有效性。
・１７・
万方数据
２００７年第７期
眦劬咱，＝鑫＝糍器＝
＋菩三１上，可得ｙ０２＝学，所以
一等，即咖啡＝等＝争一一故
已＝厂Ｆ面面面磊．
如图２，椭圆享＋菩
ｙ一
＝１（口＞０，６＞０）的两个焦
！垮＝
／／＼。
划
点为Ｆ１（一ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，Ｑ、◇ｌｏｌ
＼．
乡ｊ
０），离心率为ｅ，Ｍ、Ｎ是图２
椭圆上两点，且朋Ｎ∥
Ｆ１Ｆ２，ＩＦｌＦ２Ｉ＝２ｍＭＮＩ，线段ＦｌＮ的反向
延长线交椭圆于Ｑ，且ｌ
ＱＦｌ
Ｉ＝ＡＩ
ＦｌＮ
ｌ，则
有：
命题５ｅ＝√焉等生．
证明
由题意，可知ｌＭＮＩ
２翥，根据对称
性可设Ｎ的坐标为（轰，五），设Ｑ的坐标为
（ｚｌ，ｙ１），则由定比分点公式可得：ｚｌ＝一ｆ～
扣蛐以有学＋半
知一差，ｙ１２一从．又因为Ｑ、Ｎ在椭圆茅十
＝１（１），孚＋等＝１（２），自（１）、（２）两
式消去尼可得（ｃ十沁＋舞）２＋Ｉ；【２（口２一艺≥）
＝口２，整理可得ｅ２＝磊揣，所以Ｐ＝
／
丝（羔二墨）
～仇（１十Ａ）十Ａ。
上述５个命题的应用较为广泛，由于篇幅的限制，这里仅举两例说明：
例１（２００３年北京（文），５）如图３，直线￡：ｚ一２ｙ＋２＝０过椭圆的左焦点Ｆ１和一个顶点Ｂ，该椭圆的’离心率为（）．
万方数据
中学数学研究
（Ａ）号（Ｂ）号（ｃ蠓（Ｄ）学
分析
如图３，直线
，。
￡：ｚ一２ｙ＋２＝０的斜率为
忌ｌ＝丢，即ｔａｎ口＝寻．连接
力差。厂＼
＼／乍ＩＤ
／
Ｆ２
Ｉ孓
ＢＦ２，由图像的对称性可知图３
口＝卢，所以ｔａｌｌａ＝ｔａｎＪ９＝
寺，由上述命题２得：ｅ＝
瓜碲孵５一一期～‘
鬲熹＝吉＝警，故选答案Ｄ．例２
（２００４年春季安徽，３）己知Ｆ１、Ｆ２
为椭圆≤＋差＝１（口＞６＞ｏ）的焦点，Ｍ为椭
圆上一点，懈ｌ垂直于ｚ轴，且么Ｆ１ＭＦ２＝
６０。，则椭圆的离心率为（
）．
（Ａ）丢（Ｂ）譬（ｃ）譬（Ｄ）雩
分析
不妨设Ｆ１、Ｆ２
，‘
分别为椭圆的左焦点和右／，兮
＾仁
焦点，如图４，由ＭＦｌ垂直
Ｑ。
—／
Ｆｔ≯孓
于ｚ轴得么ＭＦｌＦ２＝９０。，
巡又已知么ＦｌＭＦ２＝６０。，故图４
在△ｊ汀１Ｆ２中，有么ＭＦ２Ｆ１＝３０。，于是利用上
述命题３可得：
‘
Ｓｉ碰脚１Ｆ２＋Ｓｉ以慨Ｆｌ
Ｓｉｎ（么砸１Ｆ２＋么慨Ｆ１），Ｓｉｎ９０。＋Ｓｉ删
如（孵＋鲥）
以ｉ
历
１＋要
３’
同理可得，当Ｆｌ、Ｆ２分别为椭圆的右焦点
和左焦点时，离心率Ｐ仍为等，故选答案ｃ．
参考文献
［１］徐希扬．关于双曲线离心率的一组优美结论［Ｊ］．数
学教学参考，２００７，４．
关于椭圆离心率的几个优美命题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
余小芬， 刘成龙
四川省内江师范学院数学系,641112中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2007，""(7)0次
参考文献(1条)
1. 徐希扬 关于双曲线离心率的一组优美结论 2007(04)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200707006.aspx
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28日
中学数学研究２００７年第７期
关于椭圆离心率的几个优美命题
四川省内江师范学院数学系
（６４１１１２）余小芬刘成龙
文［１］给出了双曲线离心率的一组优美结论，笔者读后深受启发，通过仔细研究得到了有关椭圆离心率的一组优美结论，为方便叙述，本文把结论以命题的形式给出．请看下文：
证明
在Ｒ￡△ＢＯ＿Ｆ２中，ｔａＪｌＰ
２詈，所以
ｔ玉９＝等＝等＝主－１，于、是孙２＝
如图１，椭圆≤＋
口－
ｙ・
菩＝ｌ（口＞０，６＞ｏ）的
两个焦点为Ｆ１（一ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，０），在ｚ轴上
彳人凡
＼、～
么铋。
Ｄ
志，即ｅ
所以ｅ＝∞ｓ９．
命题３
２
ｃｏｓＰ
Ｉ，又因为９∈（ｏ，考），
／
ｎ。∥２
ｉ
图１
Ｐ＝黜．证明易知ｅ＝詈＝Ⅱ≤蹁，设
Ｓ１ｎ口十Ｓｌｎ口
口
Ｉ，ｒ
１
Ｉ十Ｉ厂ｒ＇ｌ
的两顶点为Ａ１（一ｎ，Ｏ）、Ａ２（口，０），在ｙ轴正半
轴上的顶点为Ｂ（０，６），椭圆离心率为ｅ，Ｐ是椭圆上的一动点（异于ｚ轴上的两顶点），设么Ａ１ＢＯ＝８，么ＰＦｌＦ２＝口，么ＰＡｌＡ２＝口ｌ，么ＢＦ２Ｆｌ＝９，么Ｆ１Ｆ２Ｐ＝卢，么ＰＡ２Ａ１＝ｐ１．则可得到以下４个命题：
命题ｌ证明
△ＰＦｌＦ２的外接圆的半径为Ｒ，由正弦定理
２仃习了网。刁舔赢了五万２慧镯ｍ＝慧篇．
毹ｅ
ｚ苴
Ｆ１Ｆ２
２Ｒｓｉｎ（丌一口一旦）一
Ｓｌｎ口十ｓｌｎ芦Ｓｌｎａ十Ｓ１ｎｐ
命题４已＝订Ｆ面面面磊．
Ｐ＝￣／ｌ—ｏ群９．
证明设ｐ（ｚ。，ｙ。）是椭圆享＋参。１上
的一点：这里于妨设Ｐ（ｚ。，ｙ。）在ｚ轴的上方，
在愈△ＡｌｏＢ中，似８＝号，所以
口
ｃ０Ｐ日：笔：旦三≠：１一ｅｚ，于是可得ｅ：
口
则ｔ肌口ｔ＝忌ＰＡ，＝未笔，锄（丌一卢，）＝忌ｍ：＝
厂Ｆｉ葡．
命题２
ｅ＝ｃＯｓｐ．
五竽ｉ，于是可得ｔａｎ口，ｔａｎ（丌一ｐ，）５＝麓‘
Ｚｎ一口
‘
。一
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Ｚｎ
１＿口
ＺＯ一口Ｚ０。一口。
ｎ。
夸ｋ鲁ｅｊｋｊｋ业蕊｝坐警ｅ夸ｋ疆｝蕾｝警｝誓｝：Ｉｋ业■｝■｝坐ｊ壬｝■ｔｊｋ：－ｋｊ妇‘ｊｋｊｋ薯｝ｊ‘｝ｊ略ｊ●｝警｝ｊｋ崔｝ｊｋ誓｝誓｝蕾｝书｝曾ｅ誓｝誓｝省｝■｝
可能回答的情况及处理办法等都要有明确的通盘设计．有些提问不一定要学生个别回答，甚至不一定要学生作出回答，关键要起到一个提示、
引导、过渡的效果．有些提问不一定要学生口头
序渐进，才能充分体现课堂提问的目的．
总之，课堂提问是进行数学学科思维训练，提高学生学习能力的一种有效的教学方法，在数学教学中发挥着重要的作用．教师通过科学
的课堂提问，可以达到多角度、深层次地调动学
回答，也可以让学生用书面的形式回答．课堂提问要根据学生的具体学情进行设置，要符合学生的心理状态，符合学生的认知规律和特点，循
生学习的内动力，加强教与学的和谐互动，提高课堂教学的有效性。
・１７・
万方数据
２００７年第７期
眦劬咱，＝鑫＝糍器＝
＋菩三１上，可得ｙ０２＝学，所以
一等，即咖啡＝等＝争一一故
已＝厂Ｆ面面面磊．
如图２，椭圆享＋菩
ｙ一
＝１（口＞０，６＞０）的两个焦
！垮＝
／／＼。
划
点为Ｆ１（一ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，Ｑ、◇ｌｏｌ
＼．
乡ｊ
０），离心率为ｅ，Ｍ、Ｎ是图２
椭圆上两点，且朋Ｎ∥
Ｆ１Ｆ２，ＩＦｌＦ２Ｉ＝２ｍＭＮＩ，线段ＦｌＮ的反向
延长线交椭圆于Ｑ，且ｌ
ＱＦｌ
Ｉ＝ＡＩ
ＦｌＮ
ｌ，则
有：
命题５ｅ＝√焉等生．
证明
由题意，可知ｌＭＮＩ
２翥，根据对称
性可设Ｎ的坐标为（轰，五），设Ｑ的坐标为
（ｚｌ，ｙ１），则由定比分点公式可得：ｚｌ＝一ｆ～
扣蛐以有学＋半
知一差，ｙ１２一从．又因为Ｑ、Ｎ在椭圆茅十
＝１（１），孚＋等＝１（２），自（１）、（２）两
式消去尼可得（ｃ十沁＋舞）２＋Ｉ；【２（口２一艺≥）
＝口２，整理可得ｅ２＝磊揣，所以Ｐ＝
／
丝（羔二墨）
～仇（１十Ａ）十Ａ。
上述５个命题的应用较为广泛，由于篇幅的限制，这里仅举两例说明：
例１（２００３年北京（文），５）如图３，直线￡：ｚ一２ｙ＋２＝０过椭圆的左焦点Ｆ１和一个顶点Ｂ，该椭圆的’离心率为（）．
万方数据
中学数学研究
（Ａ）号（Ｂ）号（ｃ蠓（Ｄ）学
分析
如图３，直线
，。
￡：ｚ一２ｙ＋２＝０的斜率为
忌ｌ＝丢，即ｔａｎ口＝寻．连接
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＼／乍ＩＤ
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Ｆ２
Ｉ孓
ＢＦ２，由图像的对称性可知图３
口＝卢，所以ｔａｌｌａ＝ｔａｎＪ９＝
寺，由上述命题２得：ｅ＝
瓜碲孵５一一期～‘
鬲熹＝吉＝警，故选答案Ｄ．例２
（２００４年春季安徽，３）己知Ｆ１、Ｆ２
为椭圆≤＋差＝１（口＞６＞ｏ）的焦点，Ｍ为椭
圆上一点，懈ｌ垂直于ｚ轴，且么Ｆ１ＭＦ２＝
６０。，则椭圆的离心率为（
）．
（Ａ）丢（Ｂ）譬（ｃ）譬（Ｄ）雩
分析
不妨设Ｆ１、Ｆ２
，‘
分别为椭圆的左焦点和右／，兮
＾仁
焦点，如图４，由ＭＦｌ垂直
Ｑ。
—／
Ｆｔ≯孓
于ｚ轴得么ＭＦｌＦ２＝９０。，
巡又已知么ＦｌＭＦ２＝６０。，故图４
在△ｊ汀１Ｆ２中，有么ＭＦ２Ｆ１＝３０。，于是利用上
述命题３可得：
‘
Ｓｉ碰脚１Ｆ２＋Ｓｉ以慨Ｆｌ
Ｓｉｎ（么砸１Ｆ２＋么慨Ｆ１），Ｓｉｎ９０。＋Ｓｉ删
如（孵＋鲥）
以ｉ
历
１＋要
３’
同理可得，当Ｆｌ、Ｆ２分别为椭圆的右焦点
和左焦点时，离心率Ｐ仍为等，故选答案ｃ．
参考文献
［１］徐希扬．关于双曲线离心率的一组优美结论［Ｊ］．数
学教学参考，２００７，４．
关于椭圆离心率的几个优美命题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
余小芬， 刘成龙
四川省内江师范学院数学系,641112中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2007，""(7)0次
参考文献(1条)
1. 徐希扬 关于双曲线离心率的一组优美结论 2007(04)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200707006.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：14d5268c-51b8-4966-8862-9da3016960af，下载时间：2010年6月
28日