第2013年第3期（总第418期）
（2013）03-0027-03[文章编号]1009-6043
商业经济
SHANGYEJINGJI
No.3，2013TotalNo.418
产品生命周期曲线预测模型及应用
赵丽萍
（东北制药集团股份公司，辽宁
沈阳
110027）
[摘要]加强产品生命周期的研究，及时了解产品的生命周期阶段，这是现代企业生存和发展的基本保证。对产品
生命周期的分析有多种方法，其中数学模型法，即根据产品生命周期的发展规律，运用经济计量数学模型与经济学原理相根据统计分析比较，多项式结合，对产品生命周期建立理论模型，对市场产品的需求量进行科学的预测是一种有效的方法。曲线对数据的整体拟合效果是比较显著的，试用三次函数曲线预测法对产品生命周期曲线整体拟合，并利用SPSS软件中非线性化模型转化为线性回归模型方法求解。
[关键词]产品生命周期；预测模型；多项式生长曲线[中图分类号]F123.9
[文献标识码]
B
一、产品生命周期研究意义
在激烈的市场竞争中，任何一种产品的销售和获利能力都处于变动之中，随时间的推移和市场环境的变化，最终将不被用户采用，被迫退出市场。这种市场演化过程也与生物的生命历程一样，有一个诞生，成长，成熟和衰退的过程。因此企业要想在激烈的市场竞争中生存和发展，就必须掌握产品生命周期的规律。显然分析和预测产品生命周期在现代企业策划中占有重要地位。
分析和预测产品生命周期有助于企业掌握市场对产品的需求率，制定市场营销策略；分析和预测产品生命周期有助于企业规划产品的更新换代，推动企业不断创新；分析和预测产品生命周期有助于企业改善经营管理，提高经济效益。
现今日新月异的科技进展，资讯之发达，加速了新产品的研究和涌现，间接加快了旧产品的衰退，公司必须以满足顾客为己任，保持敏锐的市场触觉，了解各方面的改变和动态，一方面改善自己的弱点，另一方面要高瞻远瞩，巩固及保持有利的优势，才能在瞬息万变的战场上作持久之战。
熟期和衰退期四个阶段。它通常用一条曲线表示其变化实际中，具体到每一种产品，由于市场条件，科技的过程。
进步情况及政府干预程序不尽相同，因此它们经历生命周期各阶段的过程并不是完整的，每一个阶段的长短也不一定相同。
典型的产品生命周期可分为四个阶段：一是引入期。这是新产品投入市场的初级阶段，销售增长速度缓慢，利润少或亏损，因为总投资成本尚未全部收回，因此常表现为亏损。这个时期产品的市场占有率低，销售增长率也低。二是成长期。这是产品的销量和利润迅速地、大幅度增长阶段。表现为产品的市场占有率高，销售增长率也高。三是成熟期。产品销售和利润达到饱和点和最高峰，但增长速度缓慢而趋于平稳，表现为产品的市场占有率四是衰退期。产品已陈旧老化，销售高，而销售增长率低。量与利润急剧下降，甚至发生亏损现象。表现为市场占有率和销售增长率均有大幅度降低趋势。
以上这四个阶段组成了完整的产品生命周期系统，而各个阶段可称为子系统，对于产品这种规律性的发展过程必须充分认识，在进行市场信息调查的基础上，及时地掌握产品所处的不同阶段，以便采取相应的对策。
二、产品生命周期概念及周期阶段
产品生命周期是指一个新产品的试制成功，经过成批生产投放市场，到市场饱和，最后被淘汰出市场的全部变化过程。在这里，产品生命周期是指产品的市场生命周经济寿命周期、有效寿命周期)，它期(或称市场寿命周期、
与产品的自然生命周期是不同的。产品自然生命周期是指产品在消费过程中，实体磨损消耗所持续的时间，即产是由产品性质，使品的耐用程度。它是看得见摸得着的，
用程度及维护保养等因素决定的。而产品市场生命是无根据产形的，它是由市场中的一系列不稳定因素决定的。品生命周期理论，产品生命周期分为投入期，成长期，成
三、产品生命周期的曲线预测模型分析
对产品生命周期的分析有多种方法，其中数学模型法，即根据产品生命周期的发展规律，运用经济计量数学模型与经济学原理相结合，对产品生命周期建立理论模型，对市场产品的需求量进行科学的预测就是一种有效的方法。如整体模拟周期的多项式生长曲线法，成长曲线中的龚伯兹曲线法、皮尔曲线法等，都是比较有效的预测方法。本文主要阐述多项式生长曲线的数学模型。
多项式生长曲线预测模型
根据产品的特性及营销战略的不同，必然导致产品
[收稿日期]2013-03-05
-27-
商业经济第2013年第3期SHANGYEJINGJINo.3，2013
生命周期曲线变化的更为复杂，据统计分析比较，多项式回归模型对数据拟合较好，但若阶数较高，则导致预测值不规则外推，因此，阶数一般不超过三阶，在这里，以三次函数为例
数学模型式中yt———预测值
t———时间变量a、b、c、L———参数
对(1)式进行分析，它的曲线变化形式可由图1A曲线表示。首先对三次函数求一阶导，
二阶导
(1)
图1可分析：
1.区间(t0,t1)为引入期
在引入期内，新产品开发或购入原料必将投入大量资金，年利润额为负值，年利润增长量也为负值，说明利润亏损额一直在增大，至到t1点为止。
2.区间(t1,t2)为成长期
在产品生命周期曲线中，有一点是不容忽视的，即为利润零点tA。根据年均利润y/t曲线，当y/t=0时，求t值。
即a+bt+ct2=0
则有知tA
当t=tA时，y=0,此时利润为零
虽然利润仍为负值，但年利润增长量在(t1,tA)区间内，
已变为正增长，说明亏损额在逐步减小，企业生产与销售逐步协调。
在(tA,t2)区间内，利润由负变正,，迅速增长,企业进入正常运作阶段，开始盈利。
3.区间(t2,t3)为成熟期
在这一阶段虽然利润仍在上升，但年利润增长量在逐步减小，说明利润上升速度在减慢，达到饱和值。此时企业的生产条件，技术已成熟，不需再投入大量资金，也可获利，但此时市场竞争激烈。考虑到在利润最大值两旁，虽然利润额下降，但其利润值仍很高，因此企业可以适当延长成熟期的右分界点。
4.区间(t3,+∞)为衰退期
利润迅速减少，产品逐渐失去市场，企业可以改善产
(2)
其中dy/dt的经济意义是每年利润增长量。根据导数性质，当d2y/dt2=0时，t2=-b/3c，(1)式出现拐点，从经济的角度来看，拐点前应是年利润增长量递增，在经过拐点后递减，此时dy/dt有极大值，根据一元二次函数性质，必有c0，由此可绘制图1曲线B。
图1产品生命周期曲线
品，也可抛弃产品。
综合以上分析：(t0,t1)为引入期，t1为引入期与成长期的分界点；
(t1,t2)为成长期，t2为成长期与成熟期的分界点；(t2,t3)为成熟期，t3为成熟期与衰退期的分界点；(t3,+∞)为衰退期。
由图1可见，这两条曲线的经济意义是显著的，不容忽视的。而这两条曲线的形状及位置由a、b、c、L参数决定的，因此不同产品必然有不同的产品生命周期曲线及利润曲线。
由(2)式已得知(1)式曲线拐点，以下求(1)式极值点当
时
,y
曲线有极小值
四、产品生命周期曲线预测模型应用
根据统计分析比较，多项式曲线对数据的整体拟合效果是比较显著的，以下试用三次函数曲线预测法对产品生命周期曲线整体拟合，并利用SPSS软件中非线性化模型转化为线性回归模型方法求解。
实例：无锡市某空调企业2002年—2010年的销售量资料如表2所列，试用三次函数曲线预测法，预测2009年及以后各年该产品的销售量，并求出该产品的生命周成熟期的临界值，用坐标图来表示。期的引入期,成长期，
三次方程可以通过解方程方法来求得参数a、b、c、L得知，同时也可利用SPSS统计软件来求解及预测。本例采用SPSS软件对原始数据作回归分析。
表1
2002-2010
年销售量
y曲线有极大值
根据性质知t1
由图1可看出，每年利润增长量从负值到正值的转因为当t在区间(t0,t1)之间变化时，折点t1是十分重要的，
不仅y为负值，而且每年利润增长量也为负值，在引入初期，必然有新产品的试制开发过程，这期间必然投入大量的资金购入原料或研制产品，这是利润为负的经济含义，而t1点实质是引入期与成长期的分界点。从以上分析可以看出t0
赵丽萍：产品生命周期曲线预测模型及应用
第一步：
建立模型表51999-2017年预测销售量
首先将非线性化模型转化为多元线性回归模型求解，即设x1=t，x2=t2，x3=t3。将数据输入，得出部分输出结果：Y与x1,x2,x3的相关系数分别为0.997,0.976,0.939,由此可见Y与X显著相关；又见Y与X的散点图(见图2)，也表明它们之间的相关程度。
图2Y与X散点图
第二步：求解方程，并检验
表2ModelSummary
Model1
R.999
RSquare.998
AdjustedRSquare
.997
Std.ErroroftheEstimate
7.723E-02
图3与Y的曲线图
第三步：回归应用
预测1999年—2017年的销售量，画出与X的趋势并添加图2，如图可见，三次函数对产品生命周图(图3)，
期曲线的整体趋势模拟是比较接近实销量的。
aPredictors:(Constant),X3,X1,X2bDependentVariable:Y
表3ANOVA
Model1
Sumof
Squares
Regression18.016Residual2.982E-02Total18.046
df3
58
MeanSquare6.0055.965E-03
F1006.802
Sig..000
aPredictors:(Constant),X3,X1,X2bDependentVariable:Y
表4Coefficients
Model1
(Constant)X1X2X3
UnstandardizedCoefficients
B4.227-2.162E-02
.102-5.429E-03
Std.Error.569.284.043.002
t7.427-.0762.366-2.654
Sig..001.942.064.045
当t≤0时，即在1999年以前为产品生命周期的引入期
当0＜t≤6时，即在2000年-2005年为产品生命周期的成长期
即在2006年-2012年为产品生命周当6＜t≤13时，期的成熟期
当t＞13时，即在2013年后，产品进入衰退期。
[参
2002经济管理学院，
[2]何晓群，刘文卿.应用回归分析[M].北京：中国人民大学出版社，2001
上海财经大学出版[3]徐国祥.统计预测与决策[M].上海：社，2001
[4]韩永夫，汉方，寒松.现代企业产品生命周期曲线预测1999(1)模型及其应用[J].郑州大学学报，
[责任编辑：董润萍]
-29-考
文
献]
(1)回归方程Y=4.227-0.0216x1+0.102x2-0.00543x3；即a=-0.0216,b=0.102,
c=-0.00543,L=4.227
决定系数R2=0.998，由决定(2)复相关系数R=0.999，系数看回归方程高度显著。
(3)方差分析表(表4)，F=1006.802,P值=0.000,表明回归方程高度显著，说明x1,x2,x3整体对Y有高度显著的线性影响。
(4)回归系数的显著性检验。由表5可见，除x1系数a的P值较大外，其余均通过检验；在多元线性回归中，自变量关系复杂，P值较大原因可能是由于自变量之间的共线性，在此暂不考虑。
[1]吕洁华.高技术价值评价问题的研究[D].东北林业大学
第2013年第3期（总第418期）
（2013）03-0027-03[文章编号]1009-6043
商业经济
SHANGYEJINGJI
No.3，2013TotalNo.418
产品生命周期曲线预测模型及应用
赵丽萍
（东北制药集团股份公司，辽宁
沈阳
110027）
[摘要]加强产品生命周期的研究，及时了解产品的生命周期阶段，这是现代企业生存和发展的基本保证。对产品
生命周期的分析有多种方法，其中数学模型法，即根据产品生命周期的发展规律，运用经济计量数学模型与经济学原理相根据统计分析比较，多项式结合，对产品生命周期建立理论模型，对市场产品的需求量进行科学的预测是一种有效的方法。曲线对数据的整体拟合效果是比较显著的，试用三次函数曲线预测法对产品生命周期曲线整体拟合，并利用SPSS软件中非线性化模型转化为线性回归模型方法求解。
[关键词]产品生命周期；预测模型；多项式生长曲线[中图分类号]F123.9
[文献标识码]
B
一、产品生命周期研究意义
在激烈的市场竞争中，任何一种产品的销售和获利能力都处于变动之中，随时间的推移和市场环境的变化，最终将不被用户采用，被迫退出市场。这种市场演化过程也与生物的生命历程一样，有一个诞生，成长，成熟和衰退的过程。因此企业要想在激烈的市场竞争中生存和发展，就必须掌握产品生命周期的规律。显然分析和预测产品生命周期在现代企业策划中占有重要地位。
分析和预测产品生命周期有助于企业掌握市场对产品的需求率，制定市场营销策略；分析和预测产品生命周期有助于企业规划产品的更新换代，推动企业不断创新；分析和预测产品生命周期有助于企业改善经营管理，提高经济效益。
现今日新月异的科技进展，资讯之发达，加速了新产品的研究和涌现，间接加快了旧产品的衰退，公司必须以满足顾客为己任，保持敏锐的市场触觉，了解各方面的改变和动态，一方面改善自己的弱点，另一方面要高瞻远瞩，巩固及保持有利的优势，才能在瞬息万变的战场上作持久之战。
熟期和衰退期四个阶段。它通常用一条曲线表示其变化实际中，具体到每一种产品，由于市场条件，科技的过程。
进步情况及政府干预程序不尽相同，因此它们经历生命周期各阶段的过程并不是完整的，每一个阶段的长短也不一定相同。
典型的产品生命周期可分为四个阶段：一是引入期。这是新产品投入市场的初级阶段，销售增长速度缓慢，利润少或亏损，因为总投资成本尚未全部收回，因此常表现为亏损。这个时期产品的市场占有率低，销售增长率也低。二是成长期。这是产品的销量和利润迅速地、大幅度增长阶段。表现为产品的市场占有率高，销售增长率也高。三是成熟期。产品销售和利润达到饱和点和最高峰，但增长速度缓慢而趋于平稳，表现为产品的市场占有率四是衰退期。产品已陈旧老化，销售高，而销售增长率低。量与利润急剧下降，甚至发生亏损现象。表现为市场占有率和销售增长率均有大幅度降低趋势。
以上这四个阶段组成了完整的产品生命周期系统，而各个阶段可称为子系统，对于产品这种规律性的发展过程必须充分认识，在进行市场信息调查的基础上，及时地掌握产品所处的不同阶段，以便采取相应的对策。
二、产品生命周期概念及周期阶段
产品生命周期是指一个新产品的试制成功，经过成批生产投放市场，到市场饱和，最后被淘汰出市场的全部变化过程。在这里，产品生命周期是指产品的市场生命周经济寿命周期、有效寿命周期)，它期(或称市场寿命周期、
与产品的自然生命周期是不同的。产品自然生命周期是指产品在消费过程中，实体磨损消耗所持续的时间，即产是由产品性质，使品的耐用程度。它是看得见摸得着的，
用程度及维护保养等因素决定的。而产品市场生命是无根据产形的，它是由市场中的一系列不稳定因素决定的。品生命周期理论，产品生命周期分为投入期，成长期，成
三、产品生命周期的曲线预测模型分析
对产品生命周期的分析有多种方法，其中数学模型法，即根据产品生命周期的发展规律，运用经济计量数学模型与经济学原理相结合，对产品生命周期建立理论模型，对市场产品的需求量进行科学的预测就是一种有效的方法。如整体模拟周期的多项式生长曲线法，成长曲线中的龚伯兹曲线法、皮尔曲线法等，都是比较有效的预测方法。本文主要阐述多项式生长曲线的数学模型。
多项式生长曲线预测模型
根据产品的特性及营销战略的不同，必然导致产品
[收稿日期]2013-03-05
-27-
商业经济第2013年第3期SHANGYEJINGJINo.3，2013
生命周期曲线变化的更为复杂，据统计分析比较，多项式回归模型对数据拟合较好，但若阶数较高，则导致预测值不规则外推，因此，阶数一般不超过三阶，在这里，以三次函数为例
数学模型式中yt———预测值
t———时间变量a、b、c、L———参数
对(1)式进行分析，它的曲线变化形式可由图1A曲线表示。首先对三次函数求一阶导，
二阶导
(1)
图1可分析：
1.区间(t0,t1)为引入期
在引入期内，新产品开发或购入原料必将投入大量资金，年利润额为负值，年利润增长量也为负值，说明利润亏损额一直在增大，至到t1点为止。
2.区间(t1,t2)为成长期
在产品生命周期曲线中，有一点是不容忽视的，即为利润零点tA。根据年均利润y/t曲线，当y/t=0时，求t值。
即a+bt+ct2=0
则有知tA
当t=tA时，y=0,此时利润为零
虽然利润仍为负值，但年利润增长量在(t1,tA)区间内，
已变为正增长，说明亏损额在逐步减小，企业生产与销售逐步协调。
在(tA,t2)区间内，利润由负变正,，迅速增长,企业进入正常运作阶段，开始盈利。
3.区间(t2,t3)为成熟期
在这一阶段虽然利润仍在上升，但年利润增长量在逐步减小，说明利润上升速度在减慢，达到饱和值。此时企业的生产条件，技术已成熟，不需再投入大量资金，也可获利，但此时市场竞争激烈。考虑到在利润最大值两旁，虽然利润额下降，但其利润值仍很高，因此企业可以适当延长成熟期的右分界点。
4.区间(t3,+∞)为衰退期
利润迅速减少，产品逐渐失去市场，企业可以改善产
(2)
其中dy/dt的经济意义是每年利润增长量。根据导数性质，当d2y/dt2=0时，t2=-b/3c，(1)式出现拐点，从经济的角度来看，拐点前应是年利润增长量递增，在经过拐点后递减，此时dy/dt有极大值，根据一元二次函数性质，必有c0，由此可绘制图1曲线B。
图1产品生命周期曲线
品，也可抛弃产品。
综合以上分析：(t0,t1)为引入期，t1为引入期与成长期的分界点；
(t1,t2)为成长期，t2为成长期与成熟期的分界点；(t2,t3)为成熟期，t3为成熟期与衰退期的分界点；(t3,+∞)为衰退期。
由图1可见，这两条曲线的经济意义是显著的，不容忽视的。而这两条曲线的形状及位置由a、b、c、L参数决定的，因此不同产品必然有不同的产品生命周期曲线及利润曲线。
由(2)式已得知(1)式曲线拐点，以下求(1)式极值点当
时
,y
曲线有极小值
四、产品生命周期曲线预测模型应用
根据统计分析比较，多项式曲线对数据的整体拟合效果是比较显著的，以下试用三次函数曲线预测法对产品生命周期曲线整体拟合，并利用SPSS软件中非线性化模型转化为线性回归模型方法求解。
实例：无锡市某空调企业2002年—2010年的销售量资料如表2所列，试用三次函数曲线预测法，预测2009年及以后各年该产品的销售量，并求出该产品的生命周成熟期的临界值，用坐标图来表示。期的引入期,成长期，
三次方程可以通过解方程方法来求得参数a、b、c、L得知，同时也可利用SPSS统计软件来求解及预测。本例采用SPSS软件对原始数据作回归分析。
表1
2002-2010
年销售量
y曲线有极大值
根据性质知t1
由图1可看出，每年利润增长量从负值到正值的转因为当t在区间(t0,t1)之间变化时，折点t1是十分重要的，
不仅y为负值，而且每年利润增长量也为负值，在引入初期，必然有新产品的试制开发过程，这期间必然投入大量的资金购入原料或研制产品，这是利润为负的经济含义，而t1点实质是引入期与成长期的分界点。从以上分析可以看出t0
赵丽萍：产品生命周期曲线预测模型及应用
第一步：
建立模型表51999-2017年预测销售量
首先将非线性化模型转化为多元线性回归模型求解，即设x1=t，x2=t2，x3=t3。将数据输入，得出部分输出结果：Y与x1,x2,x3的相关系数分别为0.997,0.976,0.939,由此可见Y与X显著相关；又见Y与X的散点图(见图2)，也表明它们之间的相关程度。
图2Y与X散点图
第二步：求解方程，并检验
表2ModelSummary
Model1
R.999
RSquare.998
AdjustedRSquare
.997
Std.ErroroftheEstimate
7.723E-02
图3与Y的曲线图
第三步：回归应用
预测1999年—2017年的销售量，画出与X的趋势并添加图2，如图可见，三次函数对产品生命周图(图3)，
期曲线的整体趋势模拟是比较接近实销量的。
aPredictors:(Constant),X3,X1,X2bDependentVariable:Y
表3ANOVA
Model1
Sumof
Squares
Regression18.016Residual2.982E-02Total18.046
df3
58
MeanSquare6.0055.965E-03
F1006.802
Sig..000
aPredictors:(Constant),X3,X1,X2bDependentVariable:Y
表4Coefficients
Model1
(Constant)X1X2X3
UnstandardizedCoefficients
B4.227-2.162E-02
.102-5.429E-03
Std.Error.569.284.043.002
t7.427-.0762.366-2.654
Sig..001.942.064.045
当t≤0时，即在1999年以前为产品生命周期的引入期
当0＜t≤6时，即在2000年-2005年为产品生命周期的成长期
即在2006年-2012年为产品生命周当6＜t≤13时，期的成熟期
当t＞13时，即在2013年后，产品进入衰退期。
[参
2002经济管理学院，
[2]何晓群，刘文卿.应用回归分析[M].北京：中国人民大学出版社，2001
上海财经大学出版[3]徐国祥.统计预测与决策[M].上海：社，2001
[4]韩永夫，汉方，寒松.现代企业产品生命周期曲线预测1999(1)模型及其应用[J].郑州大学学报，
[责任编辑：董润萍]
-29-考
文
献]
(1)回归方程Y=4.227-0.0216x1+0.102x2-0.00543x3；即a=-0.0216,b=0.102,
c=-0.00543,L=4.227
决定系数R2=0.998，由决定(2)复相关系数R=0.999，系数看回归方程高度显著。
(3)方差分析表(表4)，F=1006.802,P值=0.000,表明回归方程高度显著，说明x1,x2,x3整体对Y有高度显著的线性影响。
(4)回归系数的显著性检验。由表5可见，除x1系数a的P值较大外，其余均通过检验；在多元线性回归中，自变量关系复杂，P值较大原因可能是由于自变量之间的共线性，在此暂不考虑。
[1]吕洁华.高技术价值评价问题的研究[D].东北林业大学