第１４卷第１期２０１１年１月
ＳＴＵＤＩＥＳ１ＮＣ（）ＬＬＥＧＥ
高等数学研究
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖ０１．１４，Ｎｏ．１
Ｊａｎ．，２０１１
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
郑立飞，解小莉，王洁
（西北农林科技大学应用数学系，陕西杨凌７１２ｌｏｏ）
摘要利用拉格朗日中值定理给出复合矩形法的误差估计，并指出复合矩形法只有在等分的次数很大的时
候才能比较精确的估计所求定积分的值．最后．给出复合矩形法、复合梯形法及复合抛物线法的误差估计实例．
关键词
复合矩形法；分部积分法；拉格朗日中值定理；误差估计
０１３；（）２４
中图分类号文献标识码
Ａ
文章编号１００８—１３９９（２０１１）０ｌ一０００５—０２
误差估计是数值计算中对算法好坏衡量的一个基本标准．文［１］虽给出了定积分的几个近似计算公式，包括矩形法（复合左矩形法和复合右矩形法）、梯形法和抛物线法，但并没有给出这几个算法的误差估计．
梯形法和抛物线法的误差估计可参考文［２—４］，而复合左矩形法和复合右矩形法的近似计算的误差估计却在多数情形下仅以练习题的形式出现．本文在这里借用高等数学的方法给出复合左矩形法近似计算的误差估计，以供教师和学生参考．复合右矩形法的近似计算估计可以同理给出．
为了叙述的方便，首先给出定积分左矩形法计算定积分值的算法公式，该公式来源于文献［１］．
设厂（ｚ）在■，６］上连续，在区间■，６］中插入分点
口一ｚｏ＜ｚ１＜…＜ｚ，１＜ｚ。＝６，
将其划分成竹等分，并记
厂（ｚ卜１）＝ｙ－ｌ，
凼此，
Ｉｆ厂（ｚ）ｄｚ一厂（以）（６一口）ｌ＝ｍ化）叫口）］ｄｚｌ－眇㈣（ｚ刊ｄｚｌ≤ＭＩＪ．：ｃｚ一口，ｄ辱ｌ＝等ｃ６一ｎ，２．
定理２
口
设，（工）在［口，６］上连续，在［口，６］上的
至多有限个点之外有连续导数，且存在正常数Ｍ使
Ｉ厂（ｚ）Ｉ≤Ｍ．
对区间［口，６］进行咒等分划分：
口一ｚｏ＜ｚｌ＜…＜ｚ，１＜ｚ。一６，
并记
弛一一舶，＾＝ｚ。一珀＝字，
为ｂ么，
则复合左矩形公式为
．
ｒ６厂（ｚ）ｄ工≈蔓亍旦（ｙ。＋ｙ，＋…＋ｊ，ｒ，）．
定理１
ｌｆ厂（ｚ）出一，ｌ宴弦。Ｉ≤篆（６一口）２．
Ｊ＿
ｆ＝ｌ
厶，‘
证明利用定理ｌ可得。
设厂（ｚ）在［口，阳上连续，在［口，６］上的
至多有限个点之外有连续导数，且存在正常数Ｍ使
忆ｍ）出一Ⅳ（珀）ｆ≤丢胁；．
由此即知
Ｉ厂（ｚ）Ｉ≤Ｍ，
那么，
ｌＩｌ，（ｚ）出一厂（（￡）（６一ｎ）ｌ≤÷Ｍ（６一ｎ）２．ｆ６，（ｚ）出一厂（（￡）（６一ｎ）ｌ≤丢Ｍ（６一ｎ）ｚ．
证明
据拉格朗日中值定理，任给ｚ∈［ｎ，６］，
‘
№汕一＾喜弛一Ｉ≤
客ｌ罡。化，出叫ｃ珀，Ｉ≤
号胁２
存在ｅ∈（ｎ，６），使得
，（ｚ）一厂（口）＝／（拿）（ｚ一口）．
收稿日期：２００９—１２—０７；修改日期：２０１０—０８—３】．
基金项目：西北农林科技大学教学改革项目资助（ＪＹ０９０２１０４）．作者简介。郑立飞（１９７３一），男，陕西临潼人，硕士，讲师，主要从事生
物数学研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈｅｎｇｌｉｆｅｉ＠１２６．ｃｏｍ．
解小莉（１９７３一），男，陕西临潼人，硕士，讲师，主要从事生物数学研究．Ｅｍａｉｌ；小ｅｎｇｌｉｆｅｉ＠１２６．ｃｏｍ．
２扣（６～）２．
口
对于复合右矩形法，可以同样证明，其误差估计与复合左矩形法相同．
从定理２可知，矩形法在使用的时候，要求有足够多的分点，即咒要足够得大，否则精度难以保证．
根据文［５］，（复合）梯形法的误差为
６
“形盛＝掣，
高等数学研究２０１１年１月
蕊形法２赤×２・５９８０８×１＝ｏ・１２９９０４，
而（复合）抛物线法的误差为
如物线法２志Ｍ（６一盘）２・
这里的Ｍ定义同定理２．由此可知，复合梯形法要优“铂缱击：垡掣：ｏ．０３６０８４４．妇形击２—丽一２
确形击：掣：咖６４５９２，
ｕ・∞４３了ｚ’
魄铂缱击２—１矿２
ｕ・ｕ弘ｕ苍４４・
于复合矩形法，而复合抛物线法优于复合梯形法．因这个误差上界有些大．此在实际中，计算定积分近似值时经常使用复合抛下面利用文［４］中给出的复合梯形法和复合抛
物线法．但是复合矩形法作为定积分近似计算的一物线法的误差公式
种朴素思想，对理解其它方法具有启发作用，因此重
￡梯形岳＝＝——■ｉ—主一ｎ口ｏ’
要性是不言而喻的．
￡…＝％笋Ｍｏ，
文［５］给出的误差公式只需用到一阶导数，计算ｅ－…＝％菩Ｍｏ，
量较少，也方便对三种算法的误差进行比较．而文［４］其中Ｍｏ为ｌ／，（ｚ）ｌ的上界，计算上述例子中复合
给出的误差公式需要用到二阶导数，计算量较大，不梯形法和复合抛物线法的误差，分别可得
方便对三种算法的误差进行比较．但是，文［４］给出的误差上限小于文［５］给出的误差上限，因此取文［４］ｅ梯形法：彳黑：ｏ．６７×１０一２，６梯形法２西丽２
ｕ．ｂ
７
ｘ１ｕ‘’
的方法来计算误差上限更好，而对复合矩形法误差的
计算可以利用本文给出的误差公式．
．￡抛铀线法＝志×１０叫≈ｏ．４×１０一．
以下通过实例来说明如何比较复合矩形法、复这里，
一
合梯形法与复合抛物线法的误差．
．Ｍ０＝８，疗一１０．
例１
试给出用复合矩形法、复合梯形法和复
仍然可以看出：复合矩形法计算的误差较大，而复合合抛物线法计算定积分ｆｒ与ｄｚ的误差．
抛物线法的计算误差最小．
参考文献
解
不妨令
・，（ｚ）２南，
［１］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，２００７：２２９—２３１．
［２］华中理工大学数学系．计算方法［Ｍ］．北京：高等教育出
那么，
Ｉ，，（训＝ｌ志ｌ，
版社，１９９９：９３－９４．
［３］关治，陆金甫．数值分析基础［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，１９９８；１８３・１８８．
可以求得上式的最大值为
［４］Ｒｏｓｓ
Ｌ
Ｆｉｎｎｙ。ＭａｕｒｉｃｅＤｗｅｉｒ，ＦｒａｎｋＲＧｉｏｒｄａｎｏ．
Ｍ；攀≈２．５９８０８．
Ｔｈｏｍａｓ’ｃａｌｃｕｌｕｓ：ｔｅｎｔｈ
ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．影印．北京：高等
Ｚ
教育出版社，２００４：３７６—３７８．
将积分区间均等分为１０份，利用文［５］给出的［５］刘征，丁桂艳．关于定积分近似计算的误差估计［Ｊ］．鞍
误差公式，上述三种算法进行计算后的误差分别为：
山科技大学学报．２００３．２６（４）：３１３．３１７．
ＥｒｒｏｒＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇＤｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ
ｂｙＲｅＣｔａｎ２ｕＩａｒＲｕｌｅ
ＺＨＥＮＧＬｉ—ｆｅｉ，
ＸｌＥＸｉａ扩ｌｉ，
ＷＡＮＧＪｉｅ
（ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ．Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ
Ａ＆ＦＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｙａｎｇｌｉｎｇ７１２ｌＯＯ．ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
ＴｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｕｓｅｄＬａｇｒａｎｇｅＭｅａｎ
Ｖａｌｕｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ
ｔｏ
ｆｏｒｍｕｌａｔｅ
ａｎｅｒｒｏｒ
ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｂｙｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｕｌｅ．ＩｔｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅＣｏｍｐｏｓｉｔｅＲｅｃｔａｎｇｕｌａｒＲｕｌｅｙｉｅｌｄｓｂｅｔｔｅｒｒｅｓｕｌｔｓｉｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｔｈｅｉｎｔｅｒｖａｌｉｓｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄｉｎｔｏｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｍａｎｙｓｍａｎ
ｉｎｔｅｒｖａｌｓ．
Ａｎｅｘａｍｐｌｅ
ｉｓ
ｕｓｅｄ
ｔｏ
ｃｏｍｐａｒｅ
ｔｈｅ
ｅｒｒｏｒｓ
ｇｅｎｅｒａｔｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，
ｂｙ
ｔｈｅ
ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ，ｔｒａｐｅｚｏｉｄａｌａｎｄｐａｒａｂｏ王ｉｃｒｕｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ
Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ
Ｒｕｌｅ，ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ，Ｌａｇｒａｎｇｅ
ＭｅａｎＶａｌｕｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ。ｅｒｒｏｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
郑立飞， 解小莉， 王洁， ZHENG Li-fei， XIE Xiao-li， WANG Jie西北农林科技大学应用数学系,陕西,杨凌,712100高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(5条)
1. 刘征;丁桂艳 关于定积分近似计算的误差估计 2003(04)
2. Ross L Finny;Maurice D Weir;Frank R Giordano Thomas' Calculus 20043. 关治;陆金甫 数值分析基础 19984. 华中理工大学数学系 计算方法 19995. 同济大学数学系 高等数学 2007
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101003.aspx
第１４卷第１期２０１１年１月
ＳＴＵＤＩＥＳ１ＮＣ（）ＬＬＥＧＥ
高等数学研究
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖ０１．１４，Ｎｏ．１
Ｊａｎ．，２０１１
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
郑立飞，解小莉，王洁
（西北农林科技大学应用数学系，陕西杨凌７１２ｌｏｏ）
摘要利用拉格朗日中值定理给出复合矩形法的误差估计，并指出复合矩形法只有在等分的次数很大的时
候才能比较精确的估计所求定积分的值．最后．给出复合矩形法、复合梯形法及复合抛物线法的误差估计实例．
关键词
复合矩形法；分部积分法；拉格朗日中值定理；误差估计
０１３；（）２４
中图分类号文献标识码
Ａ
文章编号１００８—１３９９（２０１１）０ｌ一０００５—０２
误差估计是数值计算中对算法好坏衡量的一个基本标准．文［１］虽给出了定积分的几个近似计算公式，包括矩形法（复合左矩形法和复合右矩形法）、梯形法和抛物线法，但并没有给出这几个算法的误差估计．
梯形法和抛物线法的误差估计可参考文［２—４］，而复合左矩形法和复合右矩形法的近似计算的误差估计却在多数情形下仅以练习题的形式出现．本文在这里借用高等数学的方法给出复合左矩形法近似计算的误差估计，以供教师和学生参考．复合右矩形法的近似计算估计可以同理给出．
为了叙述的方便，首先给出定积分左矩形法计算定积分值的算法公式，该公式来源于文献［１］．
设厂（ｚ）在■，６］上连续，在区间■，６］中插入分点
口一ｚｏ＜ｚ１＜…＜ｚ，１＜ｚ。＝６，
将其划分成竹等分，并记
厂（ｚ卜１）＝ｙ－ｌ，
凼此，
Ｉｆ厂（ｚ）ｄｚ一厂（以）（６一口）ｌ＝ｍ化）叫口）］ｄｚｌ－眇㈣（ｚ刊ｄｚｌ≤ＭＩＪ．：ｃｚ一口，ｄ辱ｌ＝等ｃ６一ｎ，２．
定理２
口
设，（工）在［口，６］上连续，在［口，６］上的
至多有限个点之外有连续导数，且存在正常数Ｍ使
Ｉ厂（ｚ）Ｉ≤Ｍ．
对区间［口，６］进行咒等分划分：
口一ｚｏ＜ｚｌ＜…＜ｚ，１＜ｚ。一６，
并记
弛一一舶，＾＝ｚ。一珀＝字，
为ｂ么，
则复合左矩形公式为
．
ｒ６厂（ｚ）ｄ工≈蔓亍旦（ｙ。＋ｙ，＋…＋ｊ，ｒ，）．
定理１
ｌｆ厂（ｚ）出一，ｌ宴弦。Ｉ≤篆（６一口）２．
Ｊ＿
ｆ＝ｌ
厶，‘
证明利用定理ｌ可得。
设厂（ｚ）在［口，阳上连续，在［口，６］上的
至多有限个点之外有连续导数，且存在正常数Ｍ使
忆ｍ）出一Ⅳ（珀）ｆ≤丢胁；．
由此即知
Ｉ厂（ｚ）Ｉ≤Ｍ，
那么，
ｌＩｌ，（ｚ）出一厂（（￡）（６一ｎ）ｌ≤÷Ｍ（６一ｎ）２．ｆ６，（ｚ）出一厂（（￡）（６一ｎ）ｌ≤丢Ｍ（６一ｎ）ｚ．
证明
据拉格朗日中值定理，任给ｚ∈［ｎ，６］，
‘
№汕一＾喜弛一Ｉ≤
客ｌ罡。化，出叫ｃ珀，Ｉ≤
号胁２
存在ｅ∈（ｎ，６），使得
，（ｚ）一厂（口）＝／（拿）（ｚ一口）．
收稿日期：２００９—１２—０７；修改日期：２０１０—０８—３】．
基金项目：西北农林科技大学教学改革项目资助（ＪＹ０９０２１０４）．作者简介。郑立飞（１９７３一），男，陕西临潼人，硕士，讲师，主要从事生
物数学研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈｅｎｇｌｉｆｅｉ＠１２６．ｃｏｍ．
解小莉（１９７３一），男，陕西临潼人，硕士，讲师，主要从事生物数学研究．Ｅｍａｉｌ；小ｅｎｇｌｉｆｅｉ＠１２６．ｃｏｍ．
２扣（６～）２．
口
对于复合右矩形法，可以同样证明，其误差估计与复合左矩形法相同．
从定理２可知，矩形法在使用的时候，要求有足够多的分点，即咒要足够得大，否则精度难以保证．
根据文［５］，（复合）梯形法的误差为
６
“形盛＝掣，
高等数学研究２０１１年１月
蕊形法２赤×２・５９８０８×１＝ｏ・１２９９０４，
而（复合）抛物线法的误差为
如物线法２志Ｍ（６一盘）２・
这里的Ｍ定义同定理２．由此可知，复合梯形法要优“铂缱击：垡掣：ｏ．０３６０８４４．妇形击２—丽一２
确形击：掣：咖６４５９２，
ｕ・∞４３了ｚ’
魄铂缱击２—１矿２
ｕ・ｕ弘ｕ苍４４・
于复合矩形法，而复合抛物线法优于复合梯形法．因这个误差上界有些大．此在实际中，计算定积分近似值时经常使用复合抛下面利用文［４］中给出的复合梯形法和复合抛
物线法．但是复合矩形法作为定积分近似计算的一物线法的误差公式
种朴素思想，对理解其它方法具有启发作用，因此重
￡梯形岳＝＝——■ｉ—主一ｎ口ｏ’
要性是不言而喻的．
￡…＝％笋Ｍｏ，
文［５］给出的误差公式只需用到一阶导数，计算ｅ－…＝％菩Ｍｏ，
量较少，也方便对三种算法的误差进行比较．而文［４］其中Ｍｏ为ｌ／，（ｚ）ｌ的上界，计算上述例子中复合
给出的误差公式需要用到二阶导数，计算量较大，不梯形法和复合抛物线法的误差，分别可得
方便对三种算法的误差进行比较．但是，文［４］给出的误差上限小于文［５］给出的误差上限，因此取文［４］ｅ梯形法：彳黑：ｏ．６７×１０一２，６梯形法２西丽２
ｕ．ｂ
７
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的方法来计算误差上限更好，而对复合矩形法误差的
计算可以利用本文给出的误差公式．
．￡抛铀线法＝志×１０叫≈ｏ．４×１０一．
以下通过实例来说明如何比较复合矩形法、复这里，
一
合梯形法与复合抛物线法的误差．
．Ｍ０＝８，疗一１０．
例１
试给出用复合矩形法、复合梯形法和复
仍然可以看出：复合矩形法计算的误差较大，而复合合抛物线法计算定积分ｆｒ与ｄｚ的误差．
抛物线法的计算误差最小．
参考文献
解
不妨令
・，（ｚ）２南，
［１］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，２００７：２２９—２３１．
［２］华中理工大学数学系．计算方法［Ｍ］．北京：高等教育出
那么，
Ｉ，，（训＝ｌ志ｌ，
版社，１９９９：９３－９４．
［３］关治，陆金甫．数值分析基础［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，１９９８；１８３・１８８．
可以求得上式的最大值为
［４］Ｒｏｓｓ
Ｌ
Ｆｉｎｎｙ。ＭａｕｒｉｃｅＤｗｅｉｒ，ＦｒａｎｋＲＧｉｏｒｄａｎｏ．
Ｍ；攀≈２．５９８０８．
Ｔｈｏｍａｓ’ｃａｌｃｕｌｕｓ：ｔｅｎｔｈ
ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．影印．北京：高等
Ｚ
教育出版社，２００４：３７６—３７８．
将积分区间均等分为１０份，利用文［５］给出的［５］刘征，丁桂艳．关于定积分近似计算的误差估计［Ｊ］．鞍
误差公式，上述三种算法进行计算后的误差分别为：
山科技大学学报．２００３．２６（４）：３１３．３１７．
ＥｒｒｏｒＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇＤｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ
ｂｙＲｅＣｔａｎ２ｕＩａｒＲｕｌｅ
ＺＨＥＮＧＬｉ—ｆｅｉ，
ＸｌＥＸｉａ扩ｌｉ，
ＷＡＮＧＪｉｅ
（ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＩＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ．Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ
Ａ＆ＦＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｙａｎｇｌｉｎｇ７１２ｌＯＯ．ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
ＴｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｕｓｅｄＬａｇｒａｎｇｅＭｅａｎ
Ｖａｌｕｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ
ｔｏ
ｆｏｒｍｕｌａｔｅ
ａｎｅｒｒｏｒ
ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｂｙｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｒｕｌｅ．ＩｔｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｅＣｏｍｐｏｓｉｔｅＲｅｃｔａｎｇｕｌａｒＲｕｌｅｙｉｅｌｄｓｂｅｔｔｅｒｒｅｓｕｌｔｓｉｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｔｈｅｉｎｔｅｒｖａｌｉｓｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄｉｎｔｏｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｍａｎｙｓｍａｎ
ｉｎｔｅｒｖａｌｓ．
Ａｎｅｘａｍｐｌｅ
ｉｓ
ｕｓｅｄ
ｔｏ
ｃｏｍｐａｒｅ
ｔｈｅ
ｅｒｒｏｒｓ
ｇｅｎｅｒａｔｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，
ｂｙ
ｔｈｅ
ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ，ｔｒａｐｅｚｏｉｄａｌａｎｄｐａｒａｂｏ王ｉｃｒｕｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ
Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ
Ｒｕｌｅ，ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ，Ｌａｇｒａｎｇｅ
ＭｅａｎＶａｌｕｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ。ｅｒｒｏｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
郑立飞， 解小莉， 王洁， ZHENG Li-fei， XIE Xiao-li， WANG Jie西北农林科技大学应用数学系,陕西,杨凌,712100高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(5条)
1. 刘征;丁桂艳 关于定积分近似计算的误差估计 2003(04)
2. Ross L Finny;Maurice D Weir;Frank R Giordano Thomas' Calculus 20043. 关治;陆金甫 数值分析基础 19984. 华中理工大学数学系 计算方法 19995. 同济大学数学系 高等数学 2007
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101003.aspx