２００６年第４期（总第９８期）
牡丹江教育学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＵＤＡＮＪＩＡＮＧＣＯＬＬＥＧＥＯＦＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
Ｎｏ．４，２００６
ＴｏｔａｌＮｏ．９８
三角函数最值求法探究
宁广祥１
陈
旭２
（１牡丹江师范学校，黑龙江牡丹江１５７０００；２牡丹江第二中学，黑龙江牡丹江１５７０００）
［摘要］三角函数的曩值问题是对三角函数基础知识的综合应用，也是高考中的一个重点．本文总结了三角函数最值的求法，其中换元法／数形结合是本文的重点，也是解决最值的基本方法．
［关键词］三角函数Ｉ最值Ｉ换元；数形结合
［中圈分类号］Ｇ６３３．６
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１００９－－２３２３（２００６）０４－－０１２０－－０１
三角函数的最值问题是对三角函数基础知识的综合应用，此类问题在近几年的高考题中经常出现。也是高考的一个重点必考内容．其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题，或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一．它既是三角函数知识的延续和再巩固，又是三角公式运用的具体表现，因此，对于学生来说要熟练掌握这些知识点和基本方法确有一定难度．下面笔者将近几年来的教学点滴心得总结如下・
１．Ｙ２ａｓｉｎｘ＋ｂ（或ｙ２ａｃｏｓｘ＋ｂ）塑函数例１求ｙ一３ｃｏｓｘ＋１的最值．解１．．．一１≤ｃｏｓｘ≤１．．．一３≤３ｃｏｓｘ≤３．．．一２≤３ｃｏｓｘ＋１≤４
即，．。一４
ｙ＿一一２．
率，而点（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）是单位圆上的点，过（２，２）的直线系方程ｙ一２一ｋ（ｚ一２）
篆表示的是过点（２，２）与点（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）的斜
解法２，（效形结合，运用直线的斜率）
１ｙ
由点到直线的距离公式，ｄ一上二宅掣一１
解法３ｔ（应用７Ｙ能公式）
解得，量一丁４－ｔ－Ｖ／７＂故舳一学，№一业３
设ｔ—ｔａｎ号，
彳Ａ（２．２
形如这类函数最值的求法单纯应用了正余弦函数的有界性。较为容易．
２．Ｙ２ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ型函数
例２求ｙ—ｃｏｓｘ－ｆ－～／＇３ｓｉｎｘ的最值
灿一毪鲁｝，
即（２—３ｙ）ｔ２—２ｔ＋２一ｙ一０，
弋≯
Ｘ．＜｝一
叉
解，原式可化简为ｙ一２ｓｉｎ（ｚ＋睾），由一１≤ｓｉｎ（ｚ－ｔ－
口
令△＞ｉ０，得３ｙ２—８ｙ＋３≤０
÷）≤１得ｙ一一２，ｙ＿．—一２．
此类函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数，这应用了课本中现成的公式即可ｔｙ一
解之得。尘寻匝≤ｙ≤尘每匝
故ｙ。一尘寻匣．‰一尘每匝
此类问题的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有如上几种。
５．含有ｓｉｎｘ与ＣＯＳＸ的和与积型的函数式
例５求ｙ一２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ的最大值．
石丽ｓｉｎ（ｚ－ｔ－９），其中ｔａ婶一旦
’
。
ａ
３．Ｙ２ａｃｏｓ２ｘ－Ｉ－ｂｃｏｓｘ＋Ｃ型的函数
例３求函数ｙ一２ｃｏｓ２ｘ＋ＣＯＳＸ＋４的值域．解ｌ设ｔ—ＣＯａＸ。（一１≤ｔ≤１）
解ｌ令ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ（一履≤ｔ≤√虿），
则１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，所以２ｓｉｎｘｃｏｓｘ—ｔ：一１，
则ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋４—２（￡＋÷）＋警
口１
所以ｙ—ｔ２—１＋ｔ一（ｆ＋÷）一÷
所以ｙ～一７，ｙ＿一警．
此类题型主要是应用了换元法将问题转化为学生熟知的一元二次函数有条件限制的最值问题，体现了化归的重要数学思想的应用．
性。
根据二次函数的图像，解出Ｙ的最大值是１＋压
这种问题再次反映出二次函数性质和化归思想的重要
６．ｙ２ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ，？ｘ型的函数
４．ｙ＝竺箸掣型的函数
ｆ５ｌｎ．Ｚ。１一ａ
例４求函数ｙ一｝型的最大值和最小值．
‘一ｃ０５Ｚ
例６求ｙ—ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｃｏｓ２ｘ的最小值，并求出ｙ取最小值时ｘ的集合．
解ｌＹ—ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｃｏｓ２ｘ
一（ｓｉｎ２ｘ＋ＣＯＳ２ｘ）＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ＝ｘ一１＋ｓｉｎ２ｘ＋１＋ｃｏｓ２ｘ
解法１－（转化为型１，利用有界性求解）原解析式即１８ｉｎｘ—ｙｃｏｓｘ一２—２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ－ｔ－９）一ｊ三＝垒兰。
’
一２＋厄ｓｉｎ（２。＋孕）
牛
／１＋矿
．．．Ｉ
ｓｉｎ（ｘ＋９）Ｉ≤１。．．．一１≤≠＝兰聋≤１．
。
。一ｏ．．
当ｓｉｎ（２ｘ＋－石２－）一一１时。Ｙ取最小值２一厄，此时ｘ的
集合｛ｘＩｘ—ｋｗ一｛｝ｋ∈ｚ｝
此类题型的特点是含有ｓｉｎｘ，Ｃ０８Ｘ的二次式，处理方式是降幂，再化为型１的形式，之后再利用三角函数的有界性来解．［责任编辑：丛爱玲］
Ｊ１＋矿
．．．＃孕≤《毡孕
［收稿日期］２００６－－０５—２０
［作者简介］宁广祥（１９７１一），男，黑龙江密山人，牡丹江师范学校讲师ｆ陈旭（１９７４一），女，黑龙江肇东人，牡丹江市第二中学一一级教师。
・
１２０・
万方数据
三角函数最值求法探究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
宁广祥， 陈旭
宁广祥(牡丹江师范学校,黑龙江,牡丹江,157000)， 陈旭(牡丹江第二中学,黑龙江,牡丹江,157000)
牡丹江教育学院学报
JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION2006(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_mdjjyxyxb200604062.aspx
２００６年第４期（总第９８期）
牡丹江教育学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＵＤＡＮＪＩＡＮＧＣＯＬＬＥＧＥＯＦＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
Ｎｏ．４，２００６
ＴｏｔａｌＮｏ．９８
三角函数最值求法探究
宁广祥１
陈
旭２
（１牡丹江师范学校，黑龙江牡丹江１５７０００；２牡丹江第二中学，黑龙江牡丹江１５７０００）
［摘要］三角函数的曩值问题是对三角函数基础知识的综合应用，也是高考中的一个重点．本文总结了三角函数最值的求法，其中换元法／数形结合是本文的重点，也是解决最值的基本方法．
［关键词］三角函数Ｉ最值Ｉ换元；数形结合
［中圈分类号］Ｇ６３３．６
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１００９－－２３２３（２００６）０４－－０１２０－－０１
三角函数的最值问题是对三角函数基础知识的综合应用，此类问题在近几年的高考题中经常出现。也是高考的一个重点必考内容．其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题，或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一．它既是三角函数知识的延续和再巩固，又是三角公式运用的具体表现，因此，对于学生来说要熟练掌握这些知识点和基本方法确有一定难度．下面笔者将近几年来的教学点滴心得总结如下・
１．Ｙ２ａｓｉｎｘ＋ｂ（或ｙ２ａｃｏｓｘ＋ｂ）塑函数例１求ｙ一３ｃｏｓｘ＋１的最值．解１．．．一１≤ｃｏｓｘ≤１．．．一３≤３ｃｏｓｘ≤３．．．一２≤３ｃｏｓｘ＋１≤４
即，．。一４
ｙ＿一一２．
率，而点（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）是单位圆上的点，过（２，２）的直线系方程ｙ一２一ｋ（ｚ一２）
篆表示的是过点（２，２）与点（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）的斜
解法２，（效形结合，运用直线的斜率）
１ｙ
由点到直线的距离公式，ｄ一上二宅掣一１
解法３ｔ（应用７Ｙ能公式）
解得，量一丁４－ｔ－Ｖ／７＂故舳一学，№一业３
设ｔ—ｔａｎ号，
彳Ａ（２．２
形如这类函数最值的求法单纯应用了正余弦函数的有界性。较为容易．
２．Ｙ２ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ型函数
例２求ｙ—ｃｏｓｘ－ｆ－～／＇３ｓｉｎｘ的最值
灿一毪鲁｝，
即（２—３ｙ）ｔ２—２ｔ＋２一ｙ一０，
弋≯
Ｘ．＜｝一
叉
解，原式可化简为ｙ一２ｓｉｎ（ｚ＋睾），由一１≤ｓｉｎ（ｚ－ｔ－
口
令△＞ｉ０，得３ｙ２—８ｙ＋３≤０
÷）≤１得ｙ一一２，ｙ＿．—一２．
此类函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数，这应用了课本中现成的公式即可ｔｙ一
解之得。尘寻匝≤ｙ≤尘每匝
故ｙ。一尘寻匣．‰一尘每匝
此类问题的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有如上几种。
５．含有ｓｉｎｘ与ＣＯＳＸ的和与积型的函数式
例５求ｙ一２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ的最大值．
石丽ｓｉｎ（ｚ－ｔ－９），其中ｔａ婶一旦
’
。
ａ
３．Ｙ２ａｃｏｓ２ｘ－Ｉ－ｂｃｏｓｘ＋Ｃ型的函数
例３求函数ｙ一２ｃｏｓ２ｘ＋ＣＯＳＸ＋４的值域．解ｌ设ｔ—ＣＯａＸ。（一１≤ｔ≤１）
解ｌ令ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ（一履≤ｔ≤√虿），
则１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，所以２ｓｉｎｘｃｏｓｘ—ｔ：一１，
则ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋４—２（￡＋÷）＋警
口１
所以ｙ—ｔ２—１＋ｔ一（ｆ＋÷）一÷
所以ｙ～一７，ｙ＿一警．
此类题型主要是应用了换元法将问题转化为学生熟知的一元二次函数有条件限制的最值问题，体现了化归的重要数学思想的应用．
性。
根据二次函数的图像，解出Ｙ的最大值是１＋压
这种问题再次反映出二次函数性质和化归思想的重要
６．ｙ２ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ，？ｘ型的函数
４．ｙ＝竺箸掣型的函数
ｆ５ｌｎ．Ｚ。１一ａ
例４求函数ｙ一｝型的最大值和最小值．
‘一ｃ０５Ｚ
例６求ｙ—ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｃｏｓ２ｘ的最小值，并求出ｙ取最小值时ｘ的集合．
解ｌＹ—ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｃｏｓ２ｘ
一（ｓｉｎ２ｘ＋ＣＯＳ２ｘ）＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ＝ｘ一１＋ｓｉｎ２ｘ＋１＋ｃｏｓ２ｘ
解法１－（转化为型１，利用有界性求解）原解析式即１８ｉｎｘ—ｙｃｏｓｘ一２—２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ－ｔ－９）一ｊ三＝垒兰。
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一２＋厄ｓｉｎ（２。＋孕）
牛
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ｓｉｎ（ｘ＋９）Ｉ≤１。．．．一１≤≠＝兰聋≤１．
。
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当ｓｉｎ（２ｘ＋－石２－）一一１时。Ｙ取最小值２一厄，此时ｘ的
集合｛ｘＩｘ—ｋｗ一｛｝ｋ∈ｚ｝
此类题型的特点是含有ｓｉｎｘ，Ｃ０８Ｘ的二次式，处理方式是降幂，再化为型１的形式，之后再利用三角函数的有界性来解．［责任编辑：丛爱玲］
Ｊ１＋矿
．．．＃孕≤《毡孕
［收稿日期］２００６－－０５—２０
［作者简介］宁广祥（１９７１一），男，黑龙江密山人，牡丹江师范学校讲师ｆ陈旭（１９７４一），女，黑龙江肇东人，牡丹江市第二中学一一级教师。
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１２０・
万方数据
三角函数最值求法探究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
宁广祥， 陈旭
宁广祥(牡丹江师范学校,黑龙江,牡丹江,157000)， 陈旭(牡丹江第二中学,黑龙江,牡丹江,157000)
牡丹江教育学院学报
JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION2006(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_mdjjyxyxb200604062.aspx