激光谐振腔模场分布的平面波展开法计算

第8卷第12期2009年12月南阳师范学院学报

JournalofNanyangNormalUniversityVo.l8No112

Dec.2009

激光谐振腔模场分布的平面波展开法计算

吕珍龙,郑长波

1

2

(1.河南科技大学物理与工程学院,河南洛阳471003;2.南阳师范学院物理与电子工程学院,河南南阳473061)

摘 要:从光波复振幅传播的平面波展开法及激光模的自洽形成过程出发,采用离散快速傅立叶变换法,求得了平面平行腔和直角棱镜腔的模式分布,表明直角棱镜腔由于对光有反转作用,致使其模式分布与平面平行腔有很大差别.

关键词:激光谐振腔;激光模式;平面平行腔;平面波展开法

中图分类号:TN248 文献标识码:A 文章编号:1671-6132(2009)12-0028-03

光学谐振腔是激光技术中最重要的器件,在测量技术、光谱学、通讯和激光物理等领域获得了广

[1]

泛应用,激光辐射的性质主要受谐振腔的影响,因此,人们用不同方法对光学谐振腔的特性进行了大量的研究,最早的是FOX-LI提出的衍射方程

[2-3]

迭代法,但该方法仅适用于菲涅耳数小的谐振

[4-5]

腔,对菲涅耳数大的腔,可采用矩阵分析法,但这些或者耗费时间或者理论推导繁琐,而使用平面波展开法再借助快速傅立叶算法则可大为减少计算时间.

本文先介绍平面波展开法思想和激光模式形成过程,在此基础上采用快速傅立叶算法计算模拟平面平行(F-P)腔的模分布,并和传统的FOX-LI迭代法的计算结果进行比较,同时计算比较了直角棱镜腔的激光模分布.

u(x,y,0)=

p(M,M,0)exp(i2PMx+QQ

x

y

x

i2PMyy)dMxdMy.(1)

p(Mx,My,0)为各个平面波的权重,通常称为平面上的复振幅分布u(x,y)的空间频率,其中Mx,My为平面波空间频率M的分量.为方便讨论,这里取平面镜M2处的z=0.

易知,每个空间频率为(Mx,My)的指数函数exp[i2P(Mxx+Myy)]代表传播方向余弦为cosA=KMMx和cosB=Ky的平面波,由u(x,y,0)的傅立叶变换得到空间频率分布p(Mx,My,0)的形式为:p(Mx,My,0)=u(x,y,0)exp(-QQ

i2PM2PMxdy.xx-iyy)d

(2)

1 理论基础

1.1

光波传播的平面波展开法

光波从z=0的镜面向前传播距离z后,复振幅的空间频谱由p(Mx,My,0)变为p(Mx,My,z),此时的复振幅分布u(x,y,z)与空间频谱p(Mx,My,z)的关系可以用傅立叶变换联系起来:

u(x,y,z)=

p(M,M,z)exp(i2PMx+QQ

x

y

x

i2PMyy)dMxdMy,

(3)

p(Mx,My,z)=

图1 平面平行腔示意图

u(x,y,z)exp(-QQ

i2PMxdy.(4)xx-i2PMyy)d

如图1所示,设平面镜M2上任一点的光波复

振幅的形式为u(x,y,z),由傅立叶变换理论,可以将镜面所在的XY平面的光波振幅用无穷多个平面波展开:

因在所有的无源点上光波复振幅都必须满足亥姆霍兹方程:

22

(ý+k)u=0.(5)将(3)(4)式代入(5)式,交换微分与积分的次

序得:

收稿日期:2009-07-09

基金项目:河南科技大学科研基金项目(13490030)

作者简介:吕珍龙(1980-),河南南阳人,讲师,硕士,主要从事激光谐振腔理论方面的研究.

第12期吕珍龙等:激光谐振腔模场分布的平面波展开法计算#29#

222

MMp(Mx,My,z)+k[1-(Kx)-(Ky)]#

dz

2

A(M#exp[-i2P(M.x,My,z)xx+Myy)]dMxdMy=0(6)因为在激光谐振腔中只需考虑前行波,则由z=0处的频谱p(Mx,My,0),可得:

p(M(7)x,My,z)=p(Mx,My,0)#H(Mx,My,z),式中 H(Mx,My,z)=

22exp[ikz1-(KMMx)-(Ky)],Mx+My

K

0,其他.

(8)

最终可得出光波复振幅的传播公式:u(x,y,z)=

p(M,M,0)H(M,M,z)#QQ

x

y

x

y

平面波,只是在边缘部分相位发生剧烈变化,这是

因为在衍射作用下,波阵面发生了畸变,部分光偏离了原来的传播方向而产生的

.由计算可知虽然输出镜上各处光强不同,但由于输出镜上相位变化不大,所以其相干性较好,传播到远场时的光强分布很尖锐,使得能量集中在一个很小的范围内而形成很高的光场强度.

exp(i2PM(9)xx+i2PMyy)dMxdMy.这里k=2P/K,K为光波波长,H(Mx,My,z)又称为系统光学传递函数.1.2 激光光场的自洽形成

激光器中,当光波在谐振腔内反射镜间往返传播时,由于反射镜的反射损失和衍射损失的存在,虽然它的复振幅将衰减,但由于稳定振荡时各点减弱比例相同,其相应的位相及空间分布形状不再变化,这种稳定存在的光波场分布称为谐振腔的模,它包含了光强和相位信息.本文中首先假设在平面镜M2上存在着一个初始的场分布u2(x2,y2,0),用(3)式将其展开,后代入(9)式得到z=L平面,即镜M1上的光波复振幅u1(x1,y1,L),即完成了第一次渡越,再将u1用(3)式的方法展开成该面上的频谱表示,再代入(9)式又一次得到镜M2上的光波复振幅u2c(x2,y2,0),完成了第二次渡越,即完成了一次往返传播,这样经过足够多次的往返传播后,即可计算出镜面稳态光波模场分布.用(9)式同样可以求出激光传播到远处的光强.在具体计算时可借助于离

[6]

散的快速傅立叶变换算法.

2 计算结果及分析

计算中采用的具体参数如下:a=1.0cm,L=100cm且谐振腔截面为矩形.2.1 平面平行腔的计算结果

图2)图4为计算所得结果.由图可以大致看出,振幅的最大值分布在腔镜的中央附近,最大值周围有小的起伏波动,边缘部分的振幅很小,这显然是由于镜子尺寸有限而发生多次衍射的结果,相当于平面波光波通过很多个光孔后形成的稳态分布光场分布

,其中截面X=0或Y=0平面的光强分布与文献[7]中用FOX-LI数值迭代法算得的二维分布符合得很好.相位分布比较平坦,接近于

2.2 直角棱镜腔的计算结果

我们应用同样的方法和参数计算了图5所示的直角棱镜腔,P表示直角棱镜,S表示激光棒,M表示平面镜,其上半部分全反射,下半部分为半反射镜

[8]

.所得结果如图6)图8所示.

图5 直角棱镜腔模型

#30#

南阳师范学院学报 第8卷

由计算结果可以看出,因为直角棱镜对光线有上下翻转作用,使光振幅分布由u(x,y)]u(-x,y),并且棱镜的棱对光线没有反射作用,所以它的激光模式与平面平行腔截然不同.输出镜上出现两个对称分布的光强和相位,但每一个的分布形状接近于矩形平行平面镜腔,远场出现三个峰.分析可知,两边的两个峰是由输出镜上对应的两个近场光波传播到远处形成的,中间的主峰则是由两个近场光波相互干涉传播而成.由此推测,若要使远场光强分布更集中,棱镜的棱必须做得很尖锐

.

图8 远场光强分布

自洽形成过程,采用离散快速傅立叶变换法,求得了平面平行腔和直角棱镜腔的模式分布,表明该方法适用于激光谐振腔的模场计算,由计算结果知直角棱镜腔由于棱镜的特殊构型,其模式分布与平面平行腔有很大差别.

参 考 文 献

[1] 梅遂生.高功率激光器及其应用的新进展[J].电子

科技导报,1998(3):24-28.

[2] FoxAGandLiTY.Resonatormodesinanopticalmaster[J].Bel.lSys.Tech.J.,1961,10:153-158.[3] RenauddeSaintDenis,NicolasPassilly,Kamel

Ameur.Laserbeambrightnessofaperturedopticalre-sonators[J].OpticsCommunications,2006,264:193-202.

[4] ChesterAN.Three-dimensionaldiffracioncaculations

oflaserresonatormodes[J].AppliedOptics,1973,12(10):2353-2366.[5] ChaoJiang,LiBo,ChengYuanying.Simulationofop-ticalfieldinlaserresonatorscavitybyeigenvectormethod[J].Optics&LaserTechnology,2007,39:490-499.[6] 杜燕贻.无源虚共焦非稳腔光束特性模拟[J].强激

光与粒子束,2000,12(2):164-168.

3 结论

由光波复振幅传播的平面波展开法及激光模的

[7] 吕百达.激光光学[M].成都:四川大学出版社,

1992:207.[8] 吕百达.高功率固体激光谐振腔研究的进展[J].激

光与红外,1997,21(1):7-10.

Lasermodescalculationwithplanwaveexpansionmethod

LBZhen-long,ZHENGChang-bo

(1.SchoolofPhysicsandEngineering,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471003,China;2.SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,NanyangNormalUniversity,Nanyang473061,China)Abstract:Basedonwaveexpansionmethodandselfconsistentfieldtheoryofmodesbuildingprocessinlaserre-sonator,usingfastFouriertransformmethod,modesdistributionofF-Presonatorandprismresonatorweregiven.Theresultsshowthatmodesdistributionsaredifferentbecausethetransverseeffectoftheprism.Keywords:laserresonator;lasermodes;F-Presonator;waveexpansionmethod

1

2

第8卷第12期2009年12月南阳师范学院学报

JournalofNanyangNormalUniversityVo.l8No112

Dec.2009

激光谐振腔模场分布的平面波展开法计算

吕珍龙,郑长波

1

2

(1.河南科技大学物理与工程学院,河南洛阳471003;2.南阳师范学院物理与电子工程学院,河南南阳473061)

摘 要:从光波复振幅传播的平面波展开法及激光模的自洽形成过程出发,采用离散快速傅立叶变换法,求得了平面平行腔和直角棱镜腔的模式分布,表明直角棱镜腔由于对光有反转作用,致使其模式分布与平面平行腔有很大差别.

关键词:激光谐振腔;激光模式;平面平行腔;平面波展开法

中图分类号:TN248 文献标识码:A 文章编号:1671-6132(2009)12-0028-03

光学谐振腔是激光技术中最重要的器件,在测量技术、光谱学、通讯和激光物理等领域获得了广

[1]

泛应用,激光辐射的性质主要受谐振腔的影响,因此,人们用不同方法对光学谐振腔的特性进行了大量的研究,最早的是FOX-LI提出的衍射方程

[2-3]

迭代法,但该方法仅适用于菲涅耳数小的谐振

[4-5]

腔,对菲涅耳数大的腔,可采用矩阵分析法,但这些或者耗费时间或者理论推导繁琐,而使用平面波展开法再借助快速傅立叶算法则可大为减少计算时间.

本文先介绍平面波展开法思想和激光模式形成过程,在此基础上采用快速傅立叶算法计算模拟平面平行(F-P)腔的模分布,并和传统的FOX-LI迭代法的计算结果进行比较,同时计算比较了直角棱镜腔的激光模分布.

u(x,y,0)=

p(M,M,0)exp(i2PMx+QQ

x

y

x

i2PMyy)dMxdMy.(1)

p(Mx,My,0)为各个平面波的权重,通常称为平面上的复振幅分布u(x,y)的空间频率,其中Mx,My为平面波空间频率M的分量.为方便讨论,这里取平面镜M2处的z=0.

易知,每个空间频率为(Mx,My)的指数函数exp[i2P(Mxx+Myy)]代表传播方向余弦为cosA=KMMx和cosB=Ky的平面波,由u(x,y,0)的傅立叶变换得到空间频率分布p(Mx,My,0)的形式为:p(Mx,My,0)=u(x,y,0)exp(-QQ

i2PM2PMxdy.xx-iyy)d

(2)

1 理论基础

1.1

光波传播的平面波展开法

光波从z=0的镜面向前传播距离z后,复振幅的空间频谱由p(Mx,My,0)变为p(Mx,My,z),此时的复振幅分布u(x,y,z)与空间频谱p(Mx,My,z)的关系可以用傅立叶变换联系起来:

u(x,y,z)=

p(M,M,z)exp(i2PMx+QQ

x

y

x

i2PMyy)dMxdMy,

(3)

p(Mx,My,z)=

图1 平面平行腔示意图

u(x,y,z)exp(-QQ

i2PMxdy.(4)xx-i2PMyy)d

如图1所示,设平面镜M2上任一点的光波复

振幅的形式为u(x,y,z),由傅立叶变换理论,可以将镜面所在的XY平面的光波振幅用无穷多个平面波展开:

因在所有的无源点上光波复振幅都必须满足亥姆霍兹方程:

22

(ý+k)u=0.(5)将(3)(4)式代入(5)式,交换微分与积分的次

序得:

收稿日期:2009-07-09

基金项目:河南科技大学科研基金项目(13490030)

作者简介:吕珍龙(1980-),河南南阳人,讲师,硕士,主要从事激光谐振腔理论方面的研究.

第12期吕珍龙等:激光谐振腔模场分布的平面波展开法计算#29#

222

MMp(Mx,My,z)+k[1-(Kx)-(Ky)]#

dz

2

A(M#exp[-i2P(M.x,My,z)xx+Myy)]dMxdMy=0(6)因为在激光谐振腔中只需考虑前行波,则由z=0处的频谱p(Mx,My,0),可得:

p(M(7)x,My,z)=p(Mx,My,0)#H(Mx,My,z),式中 H(Mx,My,z)=

22exp[ikz1-(KMMx)-(Ky)],Mx+My

K

0,其他.

(8)

最终可得出光波复振幅的传播公式:u(x,y,z)=

p(M,M,0)H(M,M,z)#QQ

x

y

x

y

平面波,只是在边缘部分相位发生剧烈变化,这是

因为在衍射作用下,波阵面发生了畸变,部分光偏离了原来的传播方向而产生的

.由计算可知虽然输出镜上各处光强不同,但由于输出镜上相位变化不大,所以其相干性较好,传播到远场时的光强分布很尖锐,使得能量集中在一个很小的范围内而形成很高的光场强度.

exp(i2PM(9)xx+i2PMyy)dMxdMy.这里k=2P/K,K为光波波长,H(Mx,My,z)又称为系统光学传递函数.1.2 激光光场的自洽形成

激光器中,当光波在谐振腔内反射镜间往返传播时,由于反射镜的反射损失和衍射损失的存在,虽然它的复振幅将衰减,但由于稳定振荡时各点减弱比例相同,其相应的位相及空间分布形状不再变化,这种稳定存在的光波场分布称为谐振腔的模,它包含了光强和相位信息.本文中首先假设在平面镜M2上存在着一个初始的场分布u2(x2,y2,0),用(3)式将其展开,后代入(9)式得到z=L平面,即镜M1上的光波复振幅u1(x1,y1,L),即完成了第一次渡越,再将u1用(3)式的方法展开成该面上的频谱表示,再代入(9)式又一次得到镜M2上的光波复振幅u2c(x2,y2,0),完成了第二次渡越,即完成了一次往返传播,这样经过足够多次的往返传播后,即可计算出镜面稳态光波模场分布.用(9)式同样可以求出激光传播到远处的光强.在具体计算时可借助于离

[6]

散的快速傅立叶变换算法.

2 计算结果及分析

计算中采用的具体参数如下:a=1.0cm,L=100cm且谐振腔截面为矩形.2.1 平面平行腔的计算结果

图2)图4为计算所得结果.由图可以大致看出,振幅的最大值分布在腔镜的中央附近,最大值周围有小的起伏波动,边缘部分的振幅很小,这显然是由于镜子尺寸有限而发生多次衍射的结果,相当于平面波光波通过很多个光孔后形成的稳态分布光场分布

,其中截面X=0或Y=0平面的光强分布与文献[7]中用FOX-LI数值迭代法算得的二维分布符合得很好.相位分布比较平坦,接近于

2.2 直角棱镜腔的计算结果

我们应用同样的方法和参数计算了图5所示的直角棱镜腔,P表示直角棱镜,S表示激光棒,M表示平面镜,其上半部分全反射,下半部分为半反射镜

[8]

.所得结果如图6)图8所示.

图5 直角棱镜腔模型

#30#

南阳师范学院学报 第8卷

由计算结果可以看出,因为直角棱镜对光线有上下翻转作用,使光振幅分布由u(x,y)]u(-x,y),并且棱镜的棱对光线没有反射作用,所以它的激光模式与平面平行腔截然不同.输出镜上出现两个对称分布的光强和相位,但每一个的分布形状接近于矩形平行平面镜腔,远场出现三个峰.分析可知,两边的两个峰是由输出镜上对应的两个近场光波传播到远处形成的,中间的主峰则是由两个近场光波相互干涉传播而成.由此推测,若要使远场光强分布更集中,棱镜的棱必须做得很尖锐

.

图8 远场光强分布

自洽形成过程,采用离散快速傅立叶变换法,求得了平面平行腔和直角棱镜腔的模式分布,表明该方法适用于激光谐振腔的模场计算,由计算结果知直角棱镜腔由于棱镜的特殊构型,其模式分布与平面平行腔有很大差别.

参 考 文 献

[1] 梅遂生.高功率激光器及其应用的新进展[J].电子

科技导报,1998(3):24-28.

[2] FoxAGandLiTY.Resonatormodesinanopticalmaster[J].Bel.lSys.Tech.J.,1961,10:153-158.[3] RenauddeSaintDenis,NicolasPassilly,Kamel

Ameur.Laserbeambrightnessofaperturedopticalre-sonators[J].OpticsCommunications,2006,264:193-202.

[4] ChesterAN.Three-dimensionaldiffracioncaculations

oflaserresonatormodes[J].AppliedOptics,1973,12(10):2353-2366.[5] ChaoJiang,LiBo,ChengYuanying.Simulationofop-ticalfieldinlaserresonatorscavitybyeigenvectormethod[J].Optics&LaserTechnology,2007,39:490-499.[6] 杜燕贻.无源虚共焦非稳腔光束特性模拟[J].强激

光与粒子束,2000,12(2):164-168.

3 结论

由光波复振幅传播的平面波展开法及激光模的

[7] 吕百达.激光光学[M].成都:四川大学出版社,

1992:207.[8] 吕百达.高功率固体激光谐振腔研究的进展[J].激

光与红外,1997,21(1):7-10.

Lasermodescalculationwithplanwaveexpansionmethod

LBZhen-long,ZHENGChang-bo

(1.SchoolofPhysicsandEngineering,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471003,China;2.SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,NanyangNormalUniversity,Nanyang473061,China)Abstract:Basedonwaveexpansionmethodandselfconsistentfieldtheoryofmodesbuildingprocessinlaserre-sonator,usingfastFouriertransformmethod,modesdistributionofF-Presonatorandprismresonatorweregiven.Theresultsshowthatmodesdistributionsaredifferentbecausethetransverseeffectoftheprism.Keywords:laserresonator;lasermodes;F-Presonator;waveexpansionmethod

1

2