一元二次方程专题
一．解答题（共15小题）
1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m 的值．
2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．
4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．
求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．
6．关于x 的方程有两个不相等的实数根
（1）求m 的取值范围；
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．
（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
9．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元．
12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？
14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知
这时我们把关于x 的形如
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”
面积．
必有实数根； 的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． ，，求△ABC
15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足
程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由； （其中x 1＞x 2），那么称这个方
（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【专题】证明题．
【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．
【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m ﹣2）2，
∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=
x 1
=，x 2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m 的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值． ，
【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，
∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m〓3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x ，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x ，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
【考点】根与系数的关系；根的判别式． 的值；
【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
的值就为一定值． （3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）
【解答】解：（1）△=4+4k，
∵方程有两个不等实根，
∴△＞0，
即4+4k＞0
∴k＞﹣1
（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，
αβ=﹣k ，
∴
（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．关于x 的方程有两个不相等的实数根
（1）求m 的取值范围；
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由
又∵m≠0
∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m ．（6分） ，得m ＞﹣1
设方程两根为x 1，x 2则，
解得m=﹣2，此时△＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．
6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，
根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，
整理得2x 2﹣60x+400=0
解得x 1=20，x 2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y 元，则
y=（20+2x）（40﹣x ）
=﹣2x 2+60x+800
=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]
=﹣2（x ﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；
（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x
1=50 x 2=80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．
8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．
【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 则：=12，
解得x 1=12（舍去），x 2=2．
答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．
【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．
9．创新题：
如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，
此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，
可知：FC=x，EC=10﹣2x
在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2
解得：x 1=2，x 2=6 ）2，
当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意
当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去
答：2分钟后，两车相距2km ．
【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．
10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=
∴x1=，x 2=﹣1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．
（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓 只粽子，利润为 （1﹣m ）（300+100〓） ， 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1
）300+100〓
（1﹣m ）（300+100〓）． ，
（2）令（1﹣m ）（300+100〓
化简得，100m 2﹣70m+12=0．
即，m 2﹣0.7m+0.12=0． ）=420．
解得m=0.4或m=0.3．
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．
答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”
面积．
必有实数根； 的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x 2+5
（2）证明：根据题意，得 △=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；
∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0
即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC
=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足
程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由； （其中x 1＞x 2），那么称这个方
（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】（1）先解方程
有“邻近根”； 得到x 1=，x 2=1，则满足
，所以可判断方程
（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1
，或
若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论： ，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；
若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．
【解答】解：（1）方程
∵
∴（x ﹣1）（x ﹣
∵x1＞x 2，
∴x1=，x 2=1，
，
）=0， ， 有“邻近根”．理由如下：
这时x 1＞0，x 2＞0，且
∵
∴满足
∴方程
， ， 有“邻近根”；
（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，
∴
∴当m ＞﹣1时，x 1=1，
当m ＜﹣1时 ， ，x 2=1，
∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1、x 2均为正数，
∴m＜0
若x 1=1，∵﹣1＜0，
∴随m 的增大而减小． ，则，是关于m 的正比例函数，
当1＜﹣m ＜2时，
∴﹣2＜m ＜﹣1；
若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，
∵﹣1＜0， ∴在第二象限，
当
∴随m 的增大而增大．
时，
．…（9分）
． 综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．
14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；
（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．
【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，
解得：k ＜；
（2）由k 为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k 为完全平方数，
则k 的值为2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．
求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．
【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．
（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．
【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．
∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，
设x 1，x 2是此方程的两个根，
∴x1•x2==，
∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，
又m 为正整数，
∴m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0
当a=b时，
当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0． ①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2
． ，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ，故能构成三角形． 故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=
． ＜＞ S △ABC
=〓（2综上，△ABC的面积为1或
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．
一元二次方程专题
一．解答题（共15小题）
1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m 的值．
2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．
4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．
求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．
6．关于x 的方程有两个不相等的实数根
（1）求m 的取值范围；
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．
（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
9．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元．
12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？
14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知
这时我们把关于x 的形如
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”
面积．
必有实数根； 的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． ，，求△ABC
15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足
程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由； （其中x 1＞x 2），那么称这个方
（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【专题】证明题．
【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．
【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m ﹣2）2，
∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=
x 1
=，x 2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．
2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m 的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值． ，
【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，
∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m〓3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x ，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x ，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
【考点】根与系数的关系；根的判别式． 的值；
【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
的值就为一定值． （3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）
【解答】解：（1）△=4+4k，
∵方程有两个不等实根，
∴△＞0，
即4+4k＞0
∴k＞﹣1
（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，
αβ=﹣k ，
∴
（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．关于x 的方程有两个不相等的实数根
（1）求m 的取值范围；
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由
又∵m≠0
∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m ．（6分） ，得m ＞﹣1
设方程两根为x 1，x 2则，
解得m=﹣2，此时△＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．
6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，
根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，
整理得2x 2﹣60x+400=0
解得x 1=20，x 2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y 元，则
y=（20+2x）（40﹣x ）
=﹣2x 2+60x+800
=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]
=﹣2（x ﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；
（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x
1=50 x 2=80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．
8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．
【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 则：=12，
解得x 1=12（舍去），x 2=2．
答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．
【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．
9．创新题：
如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，
此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，
可知：FC=x，EC=10﹣2x
在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2
解得：x 1=2，x 2=6 ）2，
当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意
当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去
答：2分钟后，两车相距2km ．
【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．
10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=
∴x1=，x 2=﹣1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．
（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓 只粽子，利润为 （1﹣m ）（300+100〓） ， 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1
）300+100〓
（1﹣m ）（300+100〓）． ，
（2）令（1﹣m ）（300+100〓
化简得，100m 2﹣70m+12=0．
即，m 2﹣0.7m+0.12=0． ）=420．
解得m=0.4或m=0.3．
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．
答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”
面积．
必有实数根； 的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x 2+5
（2）证明：根据题意，得 △=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；
∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0
即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC
=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足
程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由； （其中x 1＞x 2），那么称这个方
（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】（1）先解方程
有“邻近根”； 得到x 1=，x 2=1，则满足
，所以可判断方程
（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1
，或
若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论： ，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；
若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．
【解答】解：（1）方程
∵
∴（x ﹣1）（x ﹣
∵x1＞x 2，
∴x1=，x 2=1，
，
）=0， ， 有“邻近根”．理由如下：
这时x 1＞0，x 2＞0，且
∵
∴满足
∴方程
， ， 有“邻近根”；
（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，
∴
∴当m ＞﹣1时，x 1=1，
当m ＜﹣1时 ， ，x 2=1，
∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，
∴x1、x 2均为正数，
∴m＜0
若x 1=1，∵﹣1＜0，
∴随m 的增大而减小． ，则，是关于m 的正比例函数，
当1＜﹣m ＜2时，
∴﹣2＜m ＜﹣1；
若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，
∵﹣1＜0， ∴在第二象限，
当
∴随m 的增大而增大．
时，
．…（9分）
． 综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．
14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；
（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．
【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，
解得：k ＜；
（2）由k 为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k 为完全平方数，
则k 的值为2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．
求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．
【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．
（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．
【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．
∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，
设x 1，x 2是此方程的两个根，
∴x1•x2==，
∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，
又m 为正整数，
∴m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0
当a=b时，
当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0． ①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2
． ，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ，故能构成三角形． 故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=
． ＜＞ S △ABC
=〓（2综上，△ABC的面积为1或
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．