余弦定理练习题及答案



余弦定理练习题及答案

一、选择题

1．(2014·昆明一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为

π

a，b，c，若A＝3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于( )

3

A.2 3C.6

3B.4 8

π

解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin3＝2ππ

3，又B∈03，所以B3ABC是正三角形，所以S△ABC＝





132sinA＝4.

答案：B

2．(2015·广州综合测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别c

为a，b，c，若C＝2B，则b为( )

A．2sinC C．2sinB

B．2cosB D．2cosC

sinC

解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以sinB2cosB，csinC

由正弦定理可得bsinB＝2cosB，故选B.

答案：B

3．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别

c－bsinA

为a，b，c，且B＝( )

c－asinC＋sinB

πA.6 πC.3

πB.43πD.4

c－babca

解析：由sinA＝2R，sinB＝2RsinC＝2Rc－ac＋b1π

⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝2，所以B3答案：C

4．(2015·烟台期末)在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－1lgA＝( ) b＋c

A．90° C．120°

B．60° D．150°

解析：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)， ∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)， ∴b2＋c2－a2＝－bc， b2＋c2－a21∴cosA2bc2. 又A∈(0，π)，∴A＝120°，选C. 答案：C

5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，2sin2B－sin2Ab，c.若3a＝2b，则的值为( ) sinA

1

A．－9

1B.3

C．1

7D.22sin2B－sin2AsinB2b2

－1，因解析：由正弦定理可得2－1＝2sinAsinAab3

为3a＝2b，所以a＝2

2sin2B－sin2A327

所以＝2×2－12sinA



答案：D

6．(2014·石家庄一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝3acosC，则sinA＋sinB的最大值是( )

A．1 C.3

2 D．3

解析：由csinA＝3acosC，所以sinCsinA＝3sinAcosC，即sinCπ2π

＝3cosC，所以tanC＝3，C＝3，A＝3－B，所以sinA＋sinB＝π2π

sin3B＋sinB3sinB＋6，









2πππ5π

∵0＜B＜36＜B＋66， ππ

∴当B＋62

π

即B＝3时，sinA＋sinB3.故选C. 答案：C 二、填空题

7．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC3，则AB等于__________．

ACBC2解析：在△ABC中，根据正弦定理，得sinB＝sinAsinB＝

3

，解得sinB＝1，因为B∈(0°，180°)，所以B＝90°，所以AB＝ sin60°22－32＝1. 答案：1

8．(2014·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，π

c.已知A6，a＝1，b3，则B＝__________.

π5πabbsinA解析：由正弦定理sinAsinBsinB＝a＝2，又B∈66，



π2π

所以B＝3或3.

π2π答案：33

1

9．(2014·北京卷)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝4，则c＝__________；sinA＝__________.

1解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×41

＝4，故c＝2，因为cosC＝4sinC＝

12151－4＝4，于是，

151×4

asinC15

由正弦定理，sinA＝c28(或：由a＝1，b＝2，c＝2，22＋22－127

得cosA＝＝sinA＝

2×2×28

答案：2

158

72151－8＝8． 

三、解答题

10．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

(1)求C和BD；

(2)求四边形ABCD的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC ＝13－12cosC， ①

BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA ＝5＋4cosC. ②

1

由①，②得cosC＝2，故C＝60°，BD＝7. (2)四边形ABCD的面积 11S＝2AB·DAsinA＋2·CDsinC 11

＝21×2＋23×2sin60°





＝23.

11．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，6

b，c.已知a－c＝6，sinB＝6sinC.

(1)求cosA的值； π(2)求cos2A－6的值． 

bc

解析：(1)在△ABC中，由sinB＝sinCsinB6sinC，可得b6

＝6c.又由a－c＝6b，有a＝2c.

b2＋c2－a26c2＋c2－4c26

所以，cosA＝2bc4.

26c2610

(2)在△ABC中，由cosA＝4sinA＝4.

115

于是，cos2A＝2cos2A－1＝－4sin2A＝2sinA·cosA＝4153πππ所以，cos2A－6＝cos2A·cos6＋sin2A·sin6＝. 8

12．(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

5

(1)若a＝2，b＝2，求cosC的值；

9

(2)若sinAcos2sinBcos22sinC，且△ABC的面积S＝2C，求a和b的值．

7

解析：(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝2由余弦定理得： a2＋b2－c2

cosC＝2ab52722＋2－2

2

2B

2A

52×22

1＝－5BA

(2)由sinAcos22sinBcos222sinC可得： 1＋cosB1＋cosA

sinA2＋sinB22sinC，

化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC. 因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC， 所以sinA＋sinB＝3sinC. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.

19

由于S＝2sinC2C，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.

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余弦定理练习题及答案

一、选择题

1．(2014·昆明一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为

π

a，b，c，若A＝3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于( )

3

A.2 3C.6

3B.4 8

π

解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin3＝2ππ

3，又B∈03，所以B3ABC是正三角形，所以S△ABC＝





132sinA＝4.

答案：B

2．(2015·广州综合测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别c

为a，b，c，若C＝2B，则b为( )

A．2sinC C．2sinB

B．2cosB D．2cosC

sinC

解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以sinB2cosB，csinC

由正弦定理可得bsinB＝2cosB，故选B.

答案：B

3．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别

c－bsinA

为a，b，c，且B＝( )

c－asinC＋sinB

πA.6 πC.3

πB.43πD.4

c－babca

解析：由sinA＝2R，sinB＝2RsinC＝2Rc－ac＋b1π

⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝2，所以B3答案：C

4．(2015·烟台期末)在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－1lgA＝( ) b＋c

A．90° C．120°

B．60° D．150°

解析：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)， ∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)， ∴b2＋c2－a2＝－bc， b2＋c2－a21∴cosA2bc2. 又A∈(0，π)，∴A＝120°，选C. 答案：C

5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，2sin2B－sin2Ab，c.若3a＝2b，则的值为( ) sinA

1

A．－9

1B.3

C．1

7D.22sin2B－sin2AsinB2b2

－1，因解析：由正弦定理可得2－1＝2sinAsinAab3

为3a＝2b，所以a＝2

2sin2B－sin2A327

所以＝2×2－12sinA



答案：D

6．(2014·石家庄一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝3acosC，则sinA＋sinB的最大值是( )

A．1 C.3

2 D．3

解析：由csinA＝3acosC，所以sinCsinA＝3sinAcosC，即sinCπ2π

＝3cosC，所以tanC＝3，C＝3，A＝3－B，所以sinA＋sinB＝π2π

sin3B＋sinB3sinB＋6，









2πππ5π

∵0＜B＜36＜B＋66， ππ

∴当B＋62

π

即B＝3时，sinA＋sinB3.故选C. 答案：C 二、填空题

7．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC3，则AB等于__________．

ACBC2解析：在△ABC中，根据正弦定理，得sinB＝sinAsinB＝

3

，解得sinB＝1，因为B∈(0°，180°)，所以B＝90°，所以AB＝ sin60°22－32＝1. 答案：1

8．(2014·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，π

c.已知A6，a＝1，b3，则B＝__________.

π5πabbsinA解析：由正弦定理sinAsinBsinB＝a＝2，又B∈66，



π2π

所以B＝3或3.

π2π答案：33

1

9．(2014·北京卷)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝4，则c＝__________；sinA＝__________.

1解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×41

＝4，故c＝2，因为cosC＝4sinC＝

12151－4＝4，于是，

151×4

asinC15

由正弦定理，sinA＝c28(或：由a＝1，b＝2，c＝2，22＋22－127

得cosA＝＝sinA＝

2×2×28

答案：2

158

72151－8＝8． 

三、解答题

10．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

(1)求C和BD；

(2)求四边形ABCD的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC ＝13－12cosC， ①

BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA ＝5＋4cosC. ②

1

由①，②得cosC＝2，故C＝60°，BD＝7. (2)四边形ABCD的面积 11S＝2AB·DAsinA＋2·CDsinC 11

＝21×2＋23×2sin60°





＝23.

11．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，6

b，c.已知a－c＝6，sinB＝6sinC.

(1)求cosA的值； π(2)求cos2A－6的值． 

bc

解析：(1)在△ABC中，由sinB＝sinCsinB6sinC，可得b6

＝6c.又由a－c＝6b，有a＝2c.

b2＋c2－a26c2＋c2－4c26

所以，cosA＝2bc4.

26c2610

(2)在△ABC中，由cosA＝4sinA＝4.

115

于是，cos2A＝2cos2A－1＝－4sin2A＝2sinA·cosA＝4153πππ所以，cos2A－6＝cos2A·cos6＋sin2A·sin6＝. 8

12．(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

5

(1)若a＝2，b＝2，求cosC的值；

9

(2)若sinAcos2sinBcos22sinC，且△ABC的面积S＝2C，求a和b的值．

7

解析：(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝2由余弦定理得： a2＋b2－c2

cosC＝2ab52722＋2－2

2

2B

2A

52×22

1＝－5BA

(2)由sinAcos22sinBcos222sinC可得： 1＋cosB1＋cosA

sinA2＋sinB22sinC，

化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC. 因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC， 所以sinA＋sinB＝3sinC. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.

19

由于S＝2sinC2C，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.