22卷第6期 第
云南师范大学学报
22No. 6 Vol. 均匀带电薄圆盘上的电势
李清玉, 李永铸, 单嵛琼
1
1
2
(1. 西南林学院基础部, 云南昆明650224; 2. 昭通师范高等专科学校物理系, 云南昭通657000)
摘 要: 计算均匀带电薄圆盘上的电势需要用到勒让德椭圆积分。介绍勒让德椭圆积分的计算方法, 指出选择适当的极坐标系可以简化计算带电体产生的电势。关 键 词: 电势; 极坐标; 勒让德椭圆积分
中图分类号: O441. 1 文献标识码: A 文章编号: 1007-9793(2002) 06-39-02
对已知电荷分布的带电体, 可用积分求得该带电体在空间中P 点的电势为:
. U =r
4 0
式中r 为电荷元d q 到P 点的距离。
例如, 带电量为q 半径为R 的均匀带电圆环, 在其轴线上离轴线中心距离为r 的P 点, 所产生的电势为
2 U ==.
4 00+R 4 R +r 0图1 均匀带电圆环产生的电势计算
一般情况下, 计算积分相当困难, 积分结果也相当复杂。比如当Fig. 1 Calculate the electr ic potential 上例中的P 点偏离轴线, 与轴线成 角时(如图1) , 文[1]给出了P 点的电势为:
22) +() (2) 2+
q 1+() (222
U =
4 R +r +2Rr sin 0
为了简化积分的计算, 就需要选择适当的坐标系。
例如文[2]给出这样一道习题:
半径为R 的薄圆盘均匀带电, 电荷面密度为 , 求盘中心与边缘的电势差。
若把这道题普遍化, 就是要求出均匀带电薄圆盘上任一点P 的电势。为了求出P 点的电势, 可选择P 点为极点, P 点与圆心O 的连线为极轴建立极坐标系。设|PO |=a (显然0 a R ) , 则P 点电势为:
U =====4 0
d d r
4 (a cos +R -a sin ) d
4 a cos d + R -a sin d 4 1-(a/R ) sin d 4 2
a cos +0
R -a si n
r
002 02 2 0
02
00
图2 均匀带电薄圆盘上电势计算
Fig. 2 Calculate the electric po tentical on evenly electrified thin disc
收稿日期:2002-03-13
(,
40
云南师范大学学报(自然科学版) 第22卷
上式中的积分是勒让德椭圆积分。当a =0(圆心) 和a =R (圆盘边缘) 时, 可以很容易地求出积分:
当a =0时,
2 U =d =;
4 2 000
当a =R 时,
U =
4 0
=4 0
2
|cos |d =
4 0
cos d -
3 /2- /2
|cos |d
/2
- /2
3 /2 /2
cos d =0
可见圆盘中心与边缘的电势差为(积分
-) . 20
当0
2
1-k sin 计算这一积分的方法, 是将1-k sin 展开成泰勒级数:
22446688
1-k sin =1-k sin -k sin -k sin -k sin -
22 42 4 62 4 6 8
从而将勒让德椭圆积分改写为无穷多个积分之和, 再利用递推公式:
2
n 2 n-2sin =sin n 00
即可求得:
2223242
k ) -3(k ) -5(k ) -7(k ) -022 42 4 62 4 6 8从而盘上距圆心为a 处的P 点的电势为
234
1-( ) 2-3( ) 2-5( ) 2-7( ) 2-U =2 2R 2 4R 22 4 6R 32 4 6 8R 40
由于a/R
1-k sin =21-(
参 考 文 献:
[1][2][3][4]
张之翔 电磁学教学札记[M ] 北京:高等教育出版社, 1987 81 86 陈家森, 汪昭义 普通物理学[M ] 上海:华东师范大学出版社, 1998
梁绍荣 普通物理学(第三分册 电磁学) [M ] 北京:高等教育出版社, 1998 数学手册 编写组 数学手册[M ] 北京:人民教育出版社, 1979
2
The electric potentical on evenly electrified thin disc
LI Qing -yu 1, SH AN Yu -qiong 2
(1. Department of Basic Courses, Southwest Fo restry College, K unming 650224, China;
2. Department of Physics, Zhong tong T eacher s Co llege, Zhong tong 657000, China)
ABSTRACT T he leg endre elliptic integ ral is needed to Calculate the electric potentical on evenly electrified
thin disc. So w e introduced the calculating method in this paper for :eg endre elliptic integral and pointed out that to choose proper polar coordinates can simplify Calculating electric potenticals produced from elec -trified bodies.
KEY WORDS electric potential; polar coordinates; Legendre elliptic integral
22卷第6期 第
云南师范大学学报
22No. 6 Vol. 均匀带电薄圆盘上的电势
李清玉, 李永铸, 单嵛琼
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(1. 西南林学院基础部, 云南昆明650224; 2. 昭通师范高等专科学校物理系, 云南昭通657000)
摘 要: 计算均匀带电薄圆盘上的电势需要用到勒让德椭圆积分。介绍勒让德椭圆积分的计算方法, 指出选择适当的极坐标系可以简化计算带电体产生的电势。关 键 词: 电势; 极坐标; 勒让德椭圆积分
中图分类号: O441. 1 文献标识码: A 文章编号: 1007-9793(2002) 06-39-02
对已知电荷分布的带电体, 可用积分求得该带电体在空间中P 点的电势为:
. U =r
4 0
式中r 为电荷元d q 到P 点的距离。
例如, 带电量为q 半径为R 的均匀带电圆环, 在其轴线上离轴线中心距离为r 的P 点, 所产生的电势为
2 U ==.
4 00+R 4 R +r 0图1 均匀带电圆环产生的电势计算
一般情况下, 计算积分相当困难, 积分结果也相当复杂。比如当Fig. 1 Calculate the electr ic potential 上例中的P 点偏离轴线, 与轴线成 角时(如图1) , 文[1]给出了P 点的电势为:
22) +() (2) 2+
q 1+() (222
U =
4 R +r +2Rr sin 0
为了简化积分的计算, 就需要选择适当的坐标系。
例如文[2]给出这样一道习题:
半径为R 的薄圆盘均匀带电, 电荷面密度为 , 求盘中心与边缘的电势差。
若把这道题普遍化, 就是要求出均匀带电薄圆盘上任一点P 的电势。为了求出P 点的电势, 可选择P 点为极点, P 点与圆心O 的连线为极轴建立极坐标系。设|PO |=a (显然0 a R ) , 则P 点电势为:
U =====4 0
d d r
4 (a cos +R -a sin ) d
4 a cos d + R -a sin d 4 1-(a/R ) sin d 4 2
a cos +0
R -a si n
r
002 02 2 0
02
00
图2 均匀带电薄圆盘上电势计算
Fig. 2 Calculate the electric po tentical on evenly electrified thin disc
收稿日期:2002-03-13
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云南师范大学学报(自然科学版) 第22卷
上式中的积分是勒让德椭圆积分。当a =0(圆心) 和a =R (圆盘边缘) 时, 可以很容易地求出积分:
当a =0时,
2 U =d =;
4 2 000
当a =R 时,
U =
4 0
=4 0
2
|cos |d =
4 0
cos d -
3 /2- /2
|cos |d
/2
- /2
3 /2 /2
cos d =0
可见圆盘中心与边缘的电势差为(积分
-) . 20
当0
2
1-k sin 计算这一积分的方法, 是将1-k sin 展开成泰勒级数:
22446688
1-k sin =1-k sin -k sin -k sin -k sin -
22 42 4 62 4 6 8
从而将勒让德椭圆积分改写为无穷多个积分之和, 再利用递推公式:
2
n 2 n-2sin =sin n 00
即可求得:
2223242
k ) -3(k ) -5(k ) -7(k ) -022 42 4 62 4 6 8从而盘上距圆心为a 处的P 点的电势为
234
1-( ) 2-3( ) 2-5( ) 2-7( ) 2-U =2 2R 2 4R 22 4 6R 32 4 6 8R 40
由于a/R
1-k sin =21-(
参 考 文 献:
[1][2][3][4]
张之翔 电磁学教学札记[M ] 北京:高等教育出版社, 1987 81 86 陈家森, 汪昭义 普通物理学[M ] 上海:华东师范大学出版社, 1998
梁绍荣 普通物理学(第三分册 电磁学) [M ] 北京:高等教育出版社, 1998 数学手册 编写组 数学手册[M ] 北京:人民教育出版社, 1979
2
The electric potentical on evenly electrified thin disc
LI Qing -yu 1, SH AN Yu -qiong 2
(1. Department of Basic Courses, Southwest Fo restry College, K unming 650224, China;
2. Department of Physics, Zhong tong T eacher s Co llege, Zhong tong 657000, China)
ABSTRACT T he leg endre elliptic integ ral is needed to Calculate the electric potentical on evenly electrified
thin disc. So w e introduced the calculating method in this paper for :eg endre elliptic integral and pointed out that to choose proper polar coordinates can simplify Calculating electric potenticals produced from elec -trified bodies.
KEY WORDS electric potential; polar coordinates; Legendre elliptic integral