第24卷第11期2005年11月 大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS Vo l. 24. No. 11
Nov. 2005
均匀带电薄圆盘的电场
周海英
1, 2
, 陈 浩, 张晓炜
11
(1. 华南师范大学物理与电信工程学院, 广东广州 510631; 2. 广州市仲元中学, 广东广州 511400)
摘要:通过解拉普拉斯方程导出均匀带电薄圆盘的电势和电场的级数表达式, 进而讨论均匀带电薄圆盘平面内、中心轴线上和远区的电场.
关键词:薄圆盘; 电势; 电场; 叠加原理; 级数解
中图分类号:O 441 1 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2005) 11-0031-04
文献[1]根据点电荷电势的公式和叠加原理, 导出均匀带电细圆环的空间电势, 再根据电势的叠加原理得到了均匀带电薄圆盘的电势的级数解; 文献[2]仅用积分形式表示其电势和电场的解, 再用计算机画出电势和电场随距离变化的曲线图; 文献[3]通过数学物理方法, 用多项式表示其电势. 本文通过解拉普拉斯方程, 得到均匀带电薄圆盘的电势和电场分布, 进而讨论均匀带电薄圆盘平面内、中心轴线上和远区的电场, 并用计算机绘出电场的变化曲线图.
所以整个圆盘在这一点所产生的电势为
a
z = d z =
2 00
=z +r z
(1)
1
22
(a +z ) -2 0
显然, 对于圆盘所在的平面是对称的, 即在轴线上有 (z ) = (-z ).
1. 2 均匀带电薄圆盘轴线外的电势和电场强度以圆心为原点, 过圆心垂直于圆盘所在平面的
轴为极轴, 建立球坐标系(如图2). 用半径为a 的球面和圆盘所在的平面把整个空间分成4个区域, 在这4个区域内, 电势 满足拉普拉斯方程
2
=0
考虑电势分布的对称性. 因均匀带电的圆盘位于xy 平面内, 所以具有轴对称性, 即它产生的电势与方位角无关; 考虑边界条件, 无穷远处电势为0, 即r 时, 有 0, 又在圆盘中心处没有点电荷, 即r 0时, 应取有限值, 且 在z 轴上应为有限值. 所以4个区域电势的解分别为:
a 区域(球内空间的上半部分) :
a =l A l r P l (cos ) =0
l
1 均匀带电薄圆盘的电势和电场强度
1. 1 均匀带电薄圆盘轴线上的电势和电场强度如图1所示, 半径为a 、电荷面密度为 的均匀
带电薄圆盘(其厚度不计) 位于x y 平面内, 坐标原点与圆盘的中心重合. 在圆盘上取半径为r , 宽度为d r 的环带, 这个环带上的电荷为d q = 2 r d r . 选取无穷远处为电势零点, 这一环带电荷在轴线(z 轴) 上的一点(0, 0, z ) 处产生的电势为
d z =
4 z +r 0
r a ,
2
图2
图1
收稿日期:2004-08-23; 修回日期:2005-07-02
)
32
大 学 物 理 第24卷
b 区域(球内空间的下半部分) : b =l A ) l r P l (cos =0
l
r a ,
2
所以
A 0=
, A 1=-, A 2=
2 02 04 0a A 3=A 5=A 7= =0
c 区域(球外空间的上半部分) : c =l =0
B l
) P l (cos
r
r a ,
A 2l
(l 2) =2 02l ! a
l -1
d 区域(球外空间的下半部分) :B l
d =l ) P l (cos =0r
r a ,
平面是对称的, 2
a =l A l r P l (cos ) ==0
-r P 1(cos ) +P 2(cos ) +
2 02 04 0a ) =P 2l (cos l =22 02l ! a -r cos +(3cos 2 +1) +2 02 04 0a 4 ) P 2l (cos l =22 02l ! a b =l (-1) A l r P l (cos ) ==0
+r cos +(3cos 2 +1) +2 2 2 000a 4 l =22 0
l -1
2
l
l
l -1
2l
2
l -1
2l 2
l
在a 、b 区域内, 电势对于 =
即 ( ) = ( - ) , 这是偶对称.
当l 是偶数时, 有P l (cos ) =P l [cos( - ) ]; 当l 是奇数时, 有P l (cos ) =-P l [cos( - ) ].故P l (-x ) =(-1) P l (x ). 所以在球内的a 、b 两区域内, a 、 b 分别为:
a =l A l r P l (cos ) =0 b =l (-1) A l r P l (cos ) =0同理有: c =l =0
l
l
l l
r a ,
(2) 2
(3)
B l
) P l (cos
r
l
r
a ,
(4)
P (cos ) 2l 2l ! a
2
1
2l
当z >a 时, 式(1) 展开成a 1+ z =-z +z 2 0z -2 2 02z 08=
- +4 0z 2 0l =216 0z 2l ! z
2
4
l -1
2l
2
B l
d =l (-1) P l (cos ) =0r r a , 2
(5)
=
+2 016z
2
3
对于在z 轴上并满足z >0的点, 有cos =cos 0=
1, 则上面的解变为:
=l A l r (r a ) =0 =l =0
式(1) 可展成
z =-z +a 1+2 0a
22
1
l
z
22
+
(6) (7)
B l r
(r a )
(9)
比较式(7) 和式(9) 的系数得:
B 0=, B 2=-4 016 0
2
4
把式(1) 展开成z 的幂级数, 当0=
B 2l -2
2
2
-+-2 02 04 0a 16 0a a 32 a 0
2
3
= (l 2) 2 02l !
B 3=B 5=B 7= =0
2l l -1
+
2
a a z
+ =-z ++2 2 4 000a
l -1
所以 c =l =0
2
B l r
l =22 0
2l ! a
2l
P l (cos ) =
4
(8)
(:
P 0(cos ) -) +P 2(cos 40r 0
第11期
l -1
周海英等:均匀带电薄圆盘的电场
2l
33
l ) =P 2l (cos =22 02l ! r -+1) +4 4(3cos 2 0r 16 0r l =22 0 d =l (-1) =0
2
4
l
l -1
2
4
l -12l
) (-1) (2l -3) ! ! a dP 2l (cos
2 d 02l ! r
2 讨论
2. 1 均匀带电薄圆盘中心轴线上的电场
根据电场强度和电势的关系, 由式(1) 得:当z >0时, E z =- z =-当z
-1+z
P (cos ) 2l 2l ! r
2l
B l
) =P l (cos
r
2l -(3cos2 +1) +l (-1) =24 0r 42 016 0r +1+z
l -1
P (cos ) 2l 2l ! r
2l
E z 随z 的变化情况如图3所示. 从图3可看出均匀带电圆盘轴线上的电场随z 的增大而不断减小, 轴
线上电场无极值. z =0处电场强度不连续.
E a =- a =
r cos +(3cos 2 +1) +e r -2 04 02a e
sin +(-6sin 2 ) -2 016 0a
l
-1
l =22 0
2l ! a
dP 2l (cos )
d
(10)
图3 电场强度E z 随z 的变化情况
2l -1
e r 2l P 2l (cos ) +e
E b =- b =e r
cos +(3cos 2 +2 02 0a 4
l -1
2l -1
1) +l =22 02l ! a P 2l (c os ) +e -sin -3sin 2 +
2 2 00a 4
l -12l -1
dP 2l (cos ) l =22 d 02l ! a
2. 2 均匀带电薄圆盘平面上的电场强度
电场强度在均匀带电薄圆盘的盘面上是不连续的. 在均匀带电薄圆盘盘外平面上的电场强度计算如下:
因为P 2l +1(0) =0, P 2l (0) =0时, 有
E c =e r ++ l =22 4 32 0r 0r 0r
2
4
2l [2]
, 所以当 =2
E c =- (3cos 2 +1)-c =e r -e r 344 0r 16 0r e -l =22 4016 0r 2l !
2l
dP 2l (cos ) -e
r (2l -1)P 2l (cos )+e r d
2
4
4
l -1
24
(-1)
l -1
(2l -3) !! l (2l -1) !!
(2l -1) (-1) (2l )! ! 2l !
(11)
从上式可以看出, 均匀带电薄圆盘的盘外平面的电
场强度E c 只在e r 方向有值. E c 随r 的变化如图4所示. 从图4中可以看出, 均匀带电薄圆盘的盘外平面的电场量值有极大值, 当r a =1. 18时, 极大值为. 2 0
2. 3 均匀带电薄圆盘远区的电场
当r 时, 仅取式(11) 的第一项, 得
E d =- (3cos 2 +d =e r -344 16 0r 0r
1) +l (-1) (2l -1) =22 0
2l
l -1
P 2l (cos ) +
2l ! r
2l
2l
2 - (-1) l =
34
大 学 物 理 第24卷
电荷的点电荷产生的电场. 也就是说, 对于无穷远处, 带电薄圆盘相当于点电荷.
参考文献:
[1] 程昌林, 王慧, 李业凤 均匀带电薄圆盘的电势与等势
面[J]. 物理与工程, 2002, 12(5) :6.
[2] 赵宝明, 张继生. 均匀带电圆盘的电势及场强分布[J].
鞍山钢铁学院学报, 1997(4) :32~33. [3]
图4 电场强度E c 随r 的变化情况
吴崇试. 均匀带电圆盘的静电势问题[J].大学物理, 2000, 19(11) :1~4.
E =e r
=e r =e r 4 0r 4 0r 4 0r
22
[4] 数学手册 编写组 数学手册[M ]. 北京:高等教育出
版社, 1979. 607.
此时带电薄圆盘在无穷远处产生的电场相当于等量
Potential and electrical field created by a uniform charged disc
ZHOU Ha-i ying
1, 2
, CHEN Hao , ZHANG Xiao -w ei
1
(1. School of Physics and T elecom -Eng ineering, Sout h China Nor mal University, Guang zhou 510631, China;
2. Zhongyuan M iddle School in Guangzhou, Guangzhou 511400, China)
Abstract :According to the superposition principle, the series solution of the potential and electrical field created by a uniform charged disc are obtained.
Key words :charged disc; potential; electrical field; superposition principle; series solution
动态信息
光学元件库 欧普特科技
北京欧普特公司参照国际通常规格及技术指标, 备有完整系列的精密光学零部件(备有产品样本供参考) , 供国内各大专
院校、科研机构、实验室随时选用, 公司同时可为用户提供技术咨询.
光学透镜:平凸、双凸, 平凹、双凹, 消色差胶合透镜等. 直径ý1~150mm; 焦距1~1000mm; 材料包括光学玻璃, 紫外石英
玻璃, 有色光学玻璃, 红外材料.
光学棱镜:1~50mm 各种规格直角棱镜, 及其他常用棱镜.
光学反射镜:各种尺寸规格的镀铝, 镀银, 镀金, 及介质反射镜, 直径ý5~200mm. 光学窗口:各种尺寸规格、材料的光学平面窗口, 平晶. 直径ý5~200mm. 各种有色玻璃滤光片:规格ý5~200mm(紫外, 可见, 红外) .
紫外石英光纤:进口紫外石英光纤, SM A 接口光纤探头, 紫外石英聚焦探头.
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陈锵先生, 刘传峰先生, 石冀阳小姐
第24卷第11期2005年11月 大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS Vo l. 24. No. 11
Nov. 2005
均匀带电薄圆盘的电场
周海英
1, 2
, 陈 浩, 张晓炜
11
(1. 华南师范大学物理与电信工程学院, 广东广州 510631; 2. 广州市仲元中学, 广东广州 511400)
摘要:通过解拉普拉斯方程导出均匀带电薄圆盘的电势和电场的级数表达式, 进而讨论均匀带电薄圆盘平面内、中心轴线上和远区的电场.
关键词:薄圆盘; 电势; 电场; 叠加原理; 级数解
中图分类号:O 441 1 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2005) 11-0031-04
文献[1]根据点电荷电势的公式和叠加原理, 导出均匀带电细圆环的空间电势, 再根据电势的叠加原理得到了均匀带电薄圆盘的电势的级数解; 文献[2]仅用积分形式表示其电势和电场的解, 再用计算机画出电势和电场随距离变化的曲线图; 文献[3]通过数学物理方法, 用多项式表示其电势. 本文通过解拉普拉斯方程, 得到均匀带电薄圆盘的电势和电场分布, 进而讨论均匀带电薄圆盘平面内、中心轴线上和远区的电场, 并用计算机绘出电场的变化曲线图.
所以整个圆盘在这一点所产生的电势为
a
z = d z =
2 00
=z +r z
(1)
1
22
(a +z ) -2 0
显然, 对于圆盘所在的平面是对称的, 即在轴线上有 (z ) = (-z ).
1. 2 均匀带电薄圆盘轴线外的电势和电场强度以圆心为原点, 过圆心垂直于圆盘所在平面的
轴为极轴, 建立球坐标系(如图2). 用半径为a 的球面和圆盘所在的平面把整个空间分成4个区域, 在这4个区域内, 电势 满足拉普拉斯方程
2
=0
考虑电势分布的对称性. 因均匀带电的圆盘位于xy 平面内, 所以具有轴对称性, 即它产生的电势与方位角无关; 考虑边界条件, 无穷远处电势为0, 即r 时, 有 0, 又在圆盘中心处没有点电荷, 即r 0时, 应取有限值, 且 在z 轴上应为有限值. 所以4个区域电势的解分别为:
a 区域(球内空间的上半部分) :
a =l A l r P l (cos ) =0
l
1 均匀带电薄圆盘的电势和电场强度
1. 1 均匀带电薄圆盘轴线上的电势和电场强度如图1所示, 半径为a 、电荷面密度为 的均匀
带电薄圆盘(其厚度不计) 位于x y 平面内, 坐标原点与圆盘的中心重合. 在圆盘上取半径为r , 宽度为d r 的环带, 这个环带上的电荷为d q = 2 r d r . 选取无穷远处为电势零点, 这一环带电荷在轴线(z 轴) 上的一点(0, 0, z ) 处产生的电势为
d z =
4 z +r 0
r a ,
2
图2
图1
收稿日期:2004-08-23; 修回日期:2005-07-02
)
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大 学 物 理 第24卷
b 区域(球内空间的下半部分) : b =l A ) l r P l (cos =0
l
r a ,
2
所以
A 0=
, A 1=-, A 2=
2 02 04 0a A 3=A 5=A 7= =0
c 区域(球外空间的上半部分) : c =l =0
B l
) P l (cos
r
r a ,
A 2l
(l 2) =2 02l ! a
l -1
d 区域(球外空间的下半部分) :B l
d =l ) P l (cos =0r
r a ,
平面是对称的, 2
a =l A l r P l (cos ) ==0
-r P 1(cos ) +P 2(cos ) +
2 02 04 0a ) =P 2l (cos l =22 02l ! a -r cos +(3cos 2 +1) +2 02 04 0a 4 ) P 2l (cos l =22 02l ! a b =l (-1) A l r P l (cos ) ==0
+r cos +(3cos 2 +1) +2 2 2 000a 4 l =22 0
l -1
2
l
l
l -1
2l
2
l -1
2l 2
l
在a 、b 区域内, 电势对于 =
即 ( ) = ( - ) , 这是偶对称.
当l 是偶数时, 有P l (cos ) =P l [cos( - ) ]; 当l 是奇数时, 有P l (cos ) =-P l [cos( - ) ].故P l (-x ) =(-1) P l (x ). 所以在球内的a 、b 两区域内, a 、 b 分别为:
a =l A l r P l (cos ) =0 b =l (-1) A l r P l (cos ) =0同理有: c =l =0
l
l
l l
r a ,
(2) 2
(3)
B l
) P l (cos
r
l
r
a ,
(4)
P (cos ) 2l 2l ! a
2
1
2l
当z >a 时, 式(1) 展开成a 1+ z =-z +z 2 0z -2 2 02z 08=
- +4 0z 2 0l =216 0z 2l ! z
2
4
l -1
2l
2
B l
d =l (-1) P l (cos ) =0r r a , 2
(5)
=
+2 016z
2
3
对于在z 轴上并满足z >0的点, 有cos =cos 0=
1, 则上面的解变为:
=l A l r (r a ) =0 =l =0
式(1) 可展成
z =-z +a 1+2 0a
22
1
l
z
22
+
(6) (7)
B l r
(r a )
(9)
比较式(7) 和式(9) 的系数得:
B 0=, B 2=-4 016 0
2
4
把式(1) 展开成z 的幂级数, 当0=
B 2l -2
2
2
-+-2 02 04 0a 16 0a a 32 a 0
2
3
= (l 2) 2 02l !
B 3=B 5=B 7= =0
2l l -1
+
2
a a z
+ =-z ++2 2 4 000a
l -1
所以 c =l =0
2
B l r
l =22 0
2l ! a
2l
P l (cos ) =
4
(8)
(:
P 0(cos ) -) +P 2(cos 40r 0
第11期
l -1
周海英等:均匀带电薄圆盘的电场
2l
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l ) =P 2l (cos =22 02l ! r -+1) +4 4(3cos 2 0r 16 0r l =22 0 d =l (-1) =0
2
4
l
l -1
2
4
l -12l
) (-1) (2l -3) ! ! a dP 2l (cos
2 d 02l ! r
2 讨论
2. 1 均匀带电薄圆盘中心轴线上的电场
根据电场强度和电势的关系, 由式(1) 得:当z >0时, E z =- z =-当z
-1+z
P (cos ) 2l 2l ! r
2l
B l
) =P l (cos
r
2l -(3cos2 +1) +l (-1) =24 0r 42 016 0r +1+z
l -1
P (cos ) 2l 2l ! r
2l
E z 随z 的变化情况如图3所示. 从图3可看出均匀带电圆盘轴线上的电场随z 的增大而不断减小, 轴
线上电场无极值. z =0处电场强度不连续.
E a =- a =
r cos +(3cos 2 +1) +e r -2 04 02a e
sin +(-6sin 2 ) -2 016 0a
l
-1
l =22 0
2l ! a
dP 2l (cos )
d
(10)
图3 电场强度E z 随z 的变化情况
2l -1
e r 2l P 2l (cos ) +e
E b =- b =e r
cos +(3cos 2 +2 02 0a 4
l -1
2l -1
1) +l =22 02l ! a P 2l (c os ) +e -sin -3sin 2 +
2 2 00a 4
l -12l -1
dP 2l (cos ) l =22 d 02l ! a
2. 2 均匀带电薄圆盘平面上的电场强度
电场强度在均匀带电薄圆盘的盘面上是不连续的. 在均匀带电薄圆盘盘外平面上的电场强度计算如下:
因为P 2l +1(0) =0, P 2l (0) =0时, 有
E c =e r ++ l =22 4 32 0r 0r 0r
2
4
2l [2]
, 所以当 =2
E c =- (3cos 2 +1)-c =e r -e r 344 0r 16 0r e -l =22 4016 0r 2l !
2l
dP 2l (cos ) -e
r (2l -1)P 2l (cos )+e r d
2
4
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l -1
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(-1)
l -1
(2l -3) !! l (2l -1) !!
(2l -1) (-1) (2l )! ! 2l !
(11)
从上式可以看出, 均匀带电薄圆盘的盘外平面的电
场强度E c 只在e r 方向有值. E c 随r 的变化如图4所示. 从图4中可以看出, 均匀带电薄圆盘的盘外平面的电场量值有极大值, 当r a =1. 18时, 极大值为. 2 0
2. 3 均匀带电薄圆盘远区的电场
当r 时, 仅取式(11) 的第一项, 得
E d =- (3cos 2 +d =e r -344 16 0r 0r
1) +l (-1) (2l -1) =22 0
2l
l -1
P 2l (cos ) +
2l ! r
2l
2l
2 - (-1) l =
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大 学 物 理 第24卷
电荷的点电荷产生的电场. 也就是说, 对于无穷远处, 带电薄圆盘相当于点电荷.
参考文献:
[1] 程昌林, 王慧, 李业凤 均匀带电薄圆盘的电势与等势
面[J]. 物理与工程, 2002, 12(5) :6.
[2] 赵宝明, 张继生. 均匀带电圆盘的电势及场强分布[J].
鞍山钢铁学院学报, 1997(4) :32~33. [3]
图4 电场强度E c 随r 的变化情况
吴崇试. 均匀带电圆盘的静电势问题[J].大学物理, 2000, 19(11) :1~4.
E =e r
=e r =e r 4 0r 4 0r 4 0r
22
[4] 数学手册 编写组 数学手册[M ]. 北京:高等教育出
版社, 1979. 607.
此时带电薄圆盘在无穷远处产生的电场相当于等量
Potential and electrical field created by a uniform charged disc
ZHOU Ha-i ying
1, 2
, CHEN Hao , ZHANG Xiao -w ei
1
(1. School of Physics and T elecom -Eng ineering, Sout h China Nor mal University, Guang zhou 510631, China;
2. Zhongyuan M iddle School in Guangzhou, Guangzhou 511400, China)
Abstract :According to the superposition principle, the series solution of the potential and electrical field created by a uniform charged disc are obtained.
Key words :charged disc; potential; electrical field; superposition principle; series solution
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玻璃, 有色光学玻璃, 红外材料.
光学棱镜:1~50mm 各种规格直角棱镜, 及其他常用棱镜.
光学反射镜:各种尺寸规格的镀铝, 镀银, 镀金, 及介质反射镜, 直径ý5~200mm. 光学窗口:各种尺寸规格、材料的光学平面窗口, 平晶. 直径ý5~200mm. 各种有色玻璃滤光片:规格ý5~200mm(紫外, 可见, 红外) .
紫外石英光纤:进口紫外石英光纤, SM A 接口光纤探头, 紫外石英聚焦探头.
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陈锵先生, 刘传峰先生, 石冀阳小姐