圆与方程
1. 圆的标准方程：以点C (a , b ) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2+y 2=r 2.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内
d ＜r ； b.点在圆上
d=r； c.点在圆外
d ＞r
(2). 给定点M (x 0, y 0) 及圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2r 2 （3）涉及最值：
① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
PB min =BN =BC -r PB max =BM =BC +r
② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
PA min =AN =r -AC PA max =AM =r +AC
思考：如何过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3. 圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 .
⎛D E ⎫
(1) 当D +E -4F >0时，方程表示一个圆，其中圆心C -, -⎪，半径r =
22⎝⎭
2
2
D 2+E 2-4F
.
2
(2) 当D 2+E 2-4F =0时，方程表示一个点 -
⎛D E ⎫
, -⎪. 22⎭⎝
(3) 当D 2+E 2-4F
注：方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：B =0且A =C ≠0且
D 2+E 2-4AF 0.
4. 直线与圆的位置关系：
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 圆心到直线的距离d =
Aa +Bb +C A +B
2
2
1）d >r ⇔直线与圆相离⇔无交点； 2）d =r ⇔直线与圆相切⇔只有一个交点；
3）d
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎨的个数来判断：
（1）当∆>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当∆=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当∆
5. 两圆的位置关系
22
（1）设两圆C 1:(x -a 1) 2+(y -b 1) 2=r 1与圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2，
2
2
⎧Ax +By +C =0
⎩x +y +Dx +Ey +F =0
2
2
求解，通过解
圆心距d =
(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2
① d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线； ② d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线； ③ r 1-r 2
④ d =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线； ⑤ 0
外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0， 圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，
则(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0为两相交圆公共弦方程.
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立
②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎧y 1-y 0=k (x 1-x 0) ⎪
b -y 1-k (a -x 1) ⎨R =⎪
R 2+1⎩
求解k ，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2) 点作圆(x+1) +(y —2) =4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程（了解）：圆(x —a ) +(y —b ) =r，圆上一点为(x 0，y 0) ， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a ) +(y 0—b )(y —b ) = r
特别地，过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.
例2. 经过点P(—4，—8) 点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线，则切线方程为 。
8. 切线长：
222
若圆的方程为(x -a ) +(y -b ) =r ，则过圆外一点
2
2
2
2
2
2
2
2
P (x 0, y 0) 的切线长为
d =(x 0-a ) 2+(y 0-b) 2-r 2．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例. 已知圆C 2
2
1：x +y —2x =0和圆C 2
2
2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。
圆与方程
1. 圆的标准方程：以点C (a , b ) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2+y 2=r 2.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内
d ＜r ； b.点在圆上
d=r； c.点在圆外
d ＞r
(2). 给定点M (x 0, y 0) 及圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2r 2 （3）涉及最值：
① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
PB min =BN =BC -r PB max =BM =BC +r
② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
PA min =AN =r -AC PA max =AM =r +AC
思考：如何过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3. 圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 .
⎛D E ⎫
(1) 当D +E -4F >0时，方程表示一个圆，其中圆心C -, -⎪，半径r =
22⎝⎭
2
2
D 2+E 2-4F
.
2
(2) 当D 2+E 2-4F =0时，方程表示一个点 -
⎛D E ⎫
, -⎪. 22⎭⎝
(3) 当D 2+E 2-4F
注：方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：B =0且A =C ≠0且
D 2+E 2-4AF 0.
4. 直线与圆的位置关系：
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 圆心到直线的距离d =
Aa +Bb +C A +B
2
2
1）d >r ⇔直线与圆相离⇔无交点； 2）d =r ⇔直线与圆相切⇔只有一个交点；
3）d
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎨的个数来判断：
（1）当∆>0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当∆=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当∆
5. 两圆的位置关系
22
（1）设两圆C 1:(x -a 1) 2+(y -b 1) 2=r 1与圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2，
2
2
⎧Ax +By +C =0
⎩x +y +Dx +Ey +F =0
2
2
求解，通过解
圆心距d =
(a 1-a 2) 2+(b 1-b 2) 2
① d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线； ② d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线； ③ r 1-r 2
④ d =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线； ⑤ 0
外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0， 圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，
则(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0为两相交圆公共弦方程.
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立
②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎧y 1-y 0=k (x 1-x 0) ⎪
b -y 1-k (a -x 1) ⎨R =⎪
R 2+1⎩
求解k ，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2) 点作圆(x+1) +(y —2) =4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程（了解）：圆(x —a ) +(y —b ) =r，圆上一点为(x 0，y 0) ， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a ) +(y 0—b )(y —b ) = r
特别地，过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.
例2. 经过点P(—4，—8) 点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线，则切线方程为 。
8. 切线长：
222
若圆的方程为(x -a ) +(y -b ) =r ，则过圆外一点
2
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P (x 0, y 0) 的切线长为
d =(x 0-a ) 2+(y 0-b) 2-r 2．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例. 已知圆C 2
2
1：x +y —2x =0和圆C 2
2
2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。