欧拉公式在实数域内的应用

创　新　教　育

欧拉公式在实数域内的应用

李宗涛　　邢婷文

（广州民航职业技术学院基础部　　广东广州　　５１０４０３）

摘　要:欧拉公式是复数理论的基本结果。利用它，可以进行初等数学中三角函数相关公式推导，高等数学中某些实积分计算及幂级数展开，体现了复数理论的重要作用。

关键词:欧拉公式 三角函数 实积分 幂级数中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:1674-098X(2012)06(c)-0125-02

复数自发现以来, 由于数学家对其性质不清楚, 甚至对它的意义都没法作一合理的解释，以至于长期被排斥在数域之外, 包括数学家笛卡尔、牛顿等数学巨匠都拒绝接受复数。欧拉是第一位深入研究复数的数学家，他得到复数的一系列重要性质，提高了复数在数学上的地位。著名的欧拉公式

e i ϕ=cos ϕ+i sin ϕ (1) 就是最经典的成果，它建立了指数函数与三角函数的关系，拓展了指数函数与三角函数研究的思路。其中, 它的特例

i π

e +1=0

因建立了数学中5个重要的数0、1、被数 i 、 π、 e 之间的关系，学家称为最美丽的数学公式.

由(1)式得

e −i ϕ=cos(−ϕ) +i sin(−ϕ) =cos ϕ−i sin ϕ (2) (1)、(2)两式分别相加与相减，得三角函数的指数表示

２　利用欧拉公式进行实积分运算

利用欧拉公式，可以将实积分转化成简单的复积分进行运算。

复积分需要以下几个基本定理。

定理1. [1](Cauchy定理) 设 Ω是复数域 £中以有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域 f (z ) ，在闭区域上 连续，在 Ω内解析，则

∫∂ Ωf (z ) d z =0

定理2 (Cauchy公式) 设 Ω是复数域 £中以有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域 f (z ) ，在闭区域 上连续，在 Ω内解析，则

1对任意 z ∈Ω，f (z ) =

e i ϕ+e −i ϕ

cos ϕ=， (3)

2

e i ϕ−e −i ϕ

=sin ϕ. (4)

2

f (w ) ∫∂ Ωw −z d w . 2πi

(n ) n ! f (w ) f (z ) =dw d w .

2πi ∫∂Ω(w −z ) n +1

1+2cos

例1. 求证: ∫05+4cos d =0.

证明:由Cauchy 定理可得积分 令 z

∫

本文就几个方面探讨欧拉公式在实数域内有关计算与证明的

应用。

１　利用欧拉公式推导三角函数的相关性质

对欧拉公式两边n 次方得 e in ϕ=(cosϕ+i sin ϕ) n ，而由欧拉公式知 e in ϕ=cos n ϕ+i sin n ϕ所以 (cosϕ+i sin ϕ) n =cos n ϕ+i sin n ϕ，此即为棣莫佛公式。而用初等数学方法证明棣莫佛公式是相当困难的。

进一步，由棣莫佛公式还可以得到一系列常用的公式。令 n =2，则 (cosϕ+i sin ϕ) 2=cos 2ϕ+i sin 2ϕ，也即

22

cos ϕ−sin ϕ+i 2sin ϕcos ϕ=cos 2ϕ+i sin 2ϕ。

比较等式两边的实部与虚部，就得到三角函数的倍角公式: sin 2ϕ=2sin ϕcos ϕ, cos2ϕ=cos 2ϕ−sin 2ϕ=1−2sin 2ϕ=2cos 2ϕ−1. 同理，令 n =3得到三倍角公式 sin 3ϕ=3cos 2sin ϕ−sin 3ϕ=−4sin 3ϕ+3sin ϕ,

cos3ϕ=cos 3ϕ−3cos ϕsin 2ϕ=4cos 3ϕ−3cos ϕ.

11ie i i i

∫ |z |=1z +2d z =∫ −2+e i d e =∫ −2+e i d e

(6)−2sin +i (1+2cos ) 1+2cos

=∫d =2i d ∫ − 05+4cos 5+4cos

比较(5),(6)得

=e i ϕ, 则

1

d z =0. (5)

|z |=1z +2

例2 若 为自然数, 试证明 2r cos

∫0=0

∫ ∫

02

e

e r cos

2π

2n

r , n !

sin(r sin −n ) d =0. cos(r sin −n ) d =

2π

证明:为简单计, 设

则

I 1=∫e r cos ϕcos(r sin ϕ−n ϕ) d ϕ, I 2=∫e r cos ϕsin(r sin ϕ−n ϕ) d ϕ

令 e i ϕ1=cos ϕ1+i sin ϕ1, e i ϕ2=cos ϕ2+i sin ϕ2, 则

e i ϕ1⋅e i ϕ2=e i (ϕ1+ϕ2) =cos(ϕ1+ϕ2) +i sin(ϕ1+ϕ2) ,

(cosϕ1+i sin ϕ1)(cosϕ2+i sin ϕ2) =(cosϕ1cos ϕ2−sin ϕ1sin ϕ2) +

(sini ϕ1cos ϕ2+cos ϕ1sin ϕ2) 上述两式比较得三角函数的加法公式

I 1+I 2=∫e r cos ϕ[cos(r sin ϕ−n ϕ) +i sin(r sin ϕ−n ϕ)]d ϕ.

i ϕ

2π

令 z =e ，由欧拉公式得

.

I 1+I 2=∫ e

2

r cos

e

i (r sin −n )

d = ∫

2

2e re e r (cos+i sin )

d =∫ 0(e i ) n d (e i ) n

i

sin(ϕ1+ϕ2)=sin ϕ1cos ϕ2+cos ϕ1sin ϕ2,

cos(ϕ1+ϕ2) =cos ϕ1cos ϕ2−sin ϕ1sin ϕ2.

e rz d z 1e rz

d z n +1n =∫=i ∫z z iz |z |=1|z |=1

11rz (n )

由柯西积分公式得I 1+I 2=⋅2πi ⋅(e )

i

n !

比较两边的实部与虚部得:

2πn I 1=r , I 2=0. 证毕.

z =0

令 e i ϕ=cos ϕ+i sin ϕ,

e i (−ϕ) =cos(−ϕ) +i sin(−ϕ) =cos ϕ−i sin ϕ, 则

=

2πn

r . n !

e i ϕ⋅e i (−ϕ) =e i (ϕ−ϕ) =e 0=1, 而,

(cosϕ+i sin ϕ) ⋅(cosϕ−i sin ϕ) =cos 2ϕ+sin 2ϕ所以 cos 2ϕ+sin 2ϕ=1. 此即为正、余弦的平方关系.

n !

（下转１２７页）

科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ125

创　新　教　育

到以前所没有的效果。这种方法已实施多年, 实践证明可明显提高学生的实习效果及毕业签约率, 收到了较好的效果。

毕业论文(设计) 是本科生大学阶段最后一次、也可以说是最重要的一次综合训练。因此, 应着重培养学生熟练应用所学知识的综合能力和独立工作能力, 培养学生的产品思想和工程观念。在毕业论文(设计) 选题中, 相当数量的选题来自于产学研结合的企业和实习基地, 这些毕业设计选题知识面较宽, 与生产、实际问题结合得好, 使学生受到了全面的训练。

在工程领域, 计算机正改变着我们的工作方式, 它不仅在控制领域, 而且在工程设计与优化方面, 都产生了巨大的影响。一方面在毕业论文选题中注意结合生产实际引导学生做些工艺设计类题目, 要求学生采用计算机绘制图形, 另一方面, 在毕业论文研究中强调计算机的应用, 利用计算机建立模型, 统计处理实验数据。３．２建立本科生导师制培养管理模式

本专业在实行常规的教学方式的同时, 将“导师制”这一教学培养训练模式引入了教学过程。大学三年级, 已经完成了相关专业基础课程的学习, 并陆续进入专业课学习阶段。此时, 让学生与老师双向选择, 建立导师指导学生制度, 通过导师日常指导、实验实习、毕业论文或科研实验, 使学生在课余时间参与导师课题研究, 培养学生具备一定的实践经验和发现问题、解决问题的能力, 促进学生动手能力和创新能力的不断提高。“导师制”这种教学培养模式, 在一定程度上打破了课程教学的界限, 形成了课堂教学的有效补充, 体现了教育的传统本质和特征, 适合因材施教, 利于培育和发展学生特长及个性, 建立良好的能力优势。从近几年的毕业生实践能力及论文写作水平来看, 这种导师制下培养的学生均表现突出。

３．３认真组织实施ＳＲＴＰ

通过学生或教师立项, 给予一定的科研经费资助, 提供本科生科研训练的机会, 使学生尽早进入各专业科研领域, 接触学科前沿, 了解学科发展动态; 增强学生创新意识, 培养学生创新和实践动手能力; 加强合作交流, 培养团队协作精神, 从而提高学生的综合素质。

３．４改革实践环节考核制度

实践环节的考核是检验和推进实践水平的主要手段。以往重

教学、轻实践的教学模式和体制下, 对实践环节的考核只是对学生的实验报告或生产实习总结简单地进行评分, 且在学生的总评成绩中所占比例很少, 无法真正把握实践效果, 衡量实践教学的质量。为适应实践教学的改革, 我们探索建立新的科学合理易操作的实践考核制度。如对《食品分析与检测实验》、《食品工程原理课程设计》等课程均实行了实践环节单独设课考核, 并采用分组评议、答辩及现场实验项目抽测等形式进行考核, 大大提高了课程的教学效果。

３．５加强创新能力培养和素质教育

创新能力的培养也是一项综合素质培养, 在保证学生具有坚实的专业知识基础的前提下, 充分利用多种形式的第二课堂教育来拓宽学生的知识面, 特别是应根据食品工业的发展方向适时的调整、改造、重组现有的专业, 加强专业适应性。通过举办活动、科技小发明、技能大赛等, 来启发学生的思维, 激发学生的想象力, 积极鼓励学生们参加校、系举办的各种竞赛、文体活动等, 培养学生的创造力和综合素质。

参考文献

[1]黄文, 王益, 罗学林, 等. 高等农林院校食品专业实验教学改革

初探[J].高等农业教育,2002,5:79-80.

[2]杨富民. 农业院校食品科学与工程专业学生实践能力培养[J].

高等农业教育,2003-04,4:71-72.

[3]蒋益虹. 综合性大学食品工程专业实践教学的改革与创新[J].

高等农业教育,2003,10:66-68.

[4]蒋兴加. 工科专业学生工程素质培养探讨[J].2011,729(7):30-31.

[5]王宏丽, 裘莉娟, 邹志荣. 设施农业科学与工程专业学生工程素

质培养研究[J].中国农业教育,2011,4:76-78.

（上接１２５页）

３　利用欧拉公式求三角函数幂级数展开式

在实数域内三角函数的幂级数展开式较难推导与记忆，但指数函数的幂级数展开式容易推导与掌握。利用复指数函数幂级数

x

展开式结合欧拉公式就可求得正弦、余弦函数 e 的展开式。类似于实数函数的展开式。

ix (ix ) 2(ix ) 3(ix ) n

(i 2x ) 2(i 2x ) 3(i 2x ) n

++L ++L ) =[(1+(i 2x ) +

4i 2! 3! n ! (−i 2x ) 2(−i 2x ) 3(−i 2x ) n (1+(−i 2x ) +++L ++L )]-2! 3! n !

1

e =1+(ix ) +

2!

+

3!

+L +

n !

+L

=1−到

x 2x 4x 2n x 3x 5x 2n +1

+−L +(−1) n +L +i (x −+−L +(−1) n −1+L ) 2! 4! (2n )! 3! 5! (2n +1)! 又由欧拉公式 e ix =cos x +i sin x ，比较两边的实部与虚部得

(i 2x ) 3(i 2x ) 2n −1

+L ++L )]=

2i 3! (2n −1)!

2n −12n −1

1x 23x 3n −12+L +(−1) +L ]=[2x −23! (2n −1)!

2n −22n −1 22x 3x n −12+L +(−1) +L 。=x −

3! (2n −1)!

1

[(i 2x ) +

cos x =1−

x 2x 4x 2n

+−L +(−1) n +L 2! 4! (2n )!

此种方法要比单纯用实数域展开式简洁条理得多.

x 3x 5x 2n +1n −1

+L sin x =x −+−L +(−1)

3! 5! (2n +1)!

e ix +e −ix e ix −e −ix

,sin x =。于是我们可以求下列级数展22i

参考文献

[1]谭小江, 伍胜健. 复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版

社,2006.

[2]同济大学应用数学系．高等数学; 下册[M]．5版. 北京:高等教育

出版社，2002.

e −ix =cos x −i sin x ，进一步，因为 e ix =cos x +i sin x ，所以

cos x =

开式

e ix −e −ix e ix +e −ix 1i 2x −i 2x

sin x cos x =⋅=(e −e )

2i 24i

科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ127

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欧拉公式在实数域内的应用

李宗涛　　邢婷文

（广州民航职业技术学院基础部　　广东广州　　５１０４０３）

摘　要:欧拉公式是复数理论的基本结果。利用它，可以进行初等数学中三角函数相关公式推导，高等数学中某些实积分计算及幂级数展开，体现了复数理论的重要作用。

关键词:欧拉公式 三角函数 实积分 幂级数中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:1674-098X(2012)06(c)-0125-02

复数自发现以来, 由于数学家对其性质不清楚, 甚至对它的意义都没法作一合理的解释，以至于长期被排斥在数域之外, 包括数学家笛卡尔、牛顿等数学巨匠都拒绝接受复数。欧拉是第一位深入研究复数的数学家，他得到复数的一系列重要性质，提高了复数在数学上的地位。著名的欧拉公式

e i ϕ=cos ϕ+i sin ϕ (1) 就是最经典的成果，它建立了指数函数与三角函数的关系，拓展了指数函数与三角函数研究的思路。其中, 它的特例

i π

e +1=0

因建立了数学中5个重要的数0、1、被数 i 、 π、 e 之间的关系，学家称为最美丽的数学公式.

由(1)式得

e −i ϕ=cos(−ϕ) +i sin(−ϕ) =cos ϕ−i sin ϕ (2) (1)、(2)两式分别相加与相减，得三角函数的指数表示

２　利用欧拉公式进行实积分运算

利用欧拉公式，可以将实积分转化成简单的复积分进行运算。

复积分需要以下几个基本定理。

定理1. [1](Cauchy定理) 设 Ω是复数域 £中以有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域 f (z ) ，在闭区域上 连续，在 Ω内解析，则

∫∂ Ωf (z ) d z =0

定理2 (Cauchy公式) 设 Ω是复数域 £中以有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域 f (z ) ，在闭区域 上连续，在 Ω内解析，则

1对任意 z ∈Ω，f (z ) =

e i ϕ+e −i ϕ

cos ϕ=， (3)

2

e i ϕ−e −i ϕ

=sin ϕ. (4)

2

f (w ) ∫∂ Ωw −z d w . 2πi

(n ) n ! f (w ) f (z ) =dw d w .

2πi ∫∂Ω(w −z ) n +1

1+2cos

例1. 求证: ∫05+4cos d =0.

证明:由Cauchy 定理可得积分 令 z

∫

本文就几个方面探讨欧拉公式在实数域内有关计算与证明的

应用。

１　利用欧拉公式推导三角函数的相关性质

对欧拉公式两边n 次方得 e in ϕ=(cosϕ+i sin ϕ) n ，而由欧拉公式知 e in ϕ=cos n ϕ+i sin n ϕ所以 (cosϕ+i sin ϕ) n =cos n ϕ+i sin n ϕ，此即为棣莫佛公式。而用初等数学方法证明棣莫佛公式是相当困难的。

进一步，由棣莫佛公式还可以得到一系列常用的公式。令 n =2，则 (cosϕ+i sin ϕ) 2=cos 2ϕ+i sin 2ϕ，也即

22

cos ϕ−sin ϕ+i 2sin ϕcos ϕ=cos 2ϕ+i sin 2ϕ。

比较等式两边的实部与虚部，就得到三角函数的倍角公式: sin 2ϕ=2sin ϕcos ϕ, cos2ϕ=cos 2ϕ−sin 2ϕ=1−2sin 2ϕ=2cos 2ϕ−1. 同理，令 n =3得到三倍角公式 sin 3ϕ=3cos 2sin ϕ−sin 3ϕ=−4sin 3ϕ+3sin ϕ,

cos3ϕ=cos 3ϕ−3cos ϕsin 2ϕ=4cos 3ϕ−3cos ϕ.

11ie i i i

∫ |z |=1z +2d z =∫ −2+e i d e =∫ −2+e i d e

(6)−2sin +i (1+2cos ) 1+2cos

=∫d =2i d ∫ − 05+4cos 5+4cos

比较(5),(6)得

=e i ϕ, 则

1

d z =0. (5)

|z |=1z +2

例2 若 为自然数, 试证明 2r cos

∫0=0

∫ ∫

02

e

e r cos

2π

2n

r , n !

sin(r sin −n ) d =0. cos(r sin −n ) d =

2π

证明:为简单计, 设

则

I 1=∫e r cos ϕcos(r sin ϕ−n ϕ) d ϕ, I 2=∫e r cos ϕsin(r sin ϕ−n ϕ) d ϕ

令 e i ϕ1=cos ϕ1+i sin ϕ1, e i ϕ2=cos ϕ2+i sin ϕ2, 则

e i ϕ1⋅e i ϕ2=e i (ϕ1+ϕ2) =cos(ϕ1+ϕ2) +i sin(ϕ1+ϕ2) ,

(cosϕ1+i sin ϕ1)(cosϕ2+i sin ϕ2) =(cosϕ1cos ϕ2−sin ϕ1sin ϕ2) +

(sini ϕ1cos ϕ2+cos ϕ1sin ϕ2) 上述两式比较得三角函数的加法公式

I 1+I 2=∫e r cos ϕ[cos(r sin ϕ−n ϕ) +i sin(r sin ϕ−n ϕ)]d ϕ.

i ϕ

2π

令 z =e ，由欧拉公式得

.

I 1+I 2=∫ e

2

r cos

e

i (r sin −n )

d = ∫

2

2e re e r (cos+i sin )

d =∫ 0(e i ) n d (e i ) n

i

sin(ϕ1+ϕ2)=sin ϕ1cos ϕ2+cos ϕ1sin ϕ2,

cos(ϕ1+ϕ2) =cos ϕ1cos ϕ2−sin ϕ1sin ϕ2.

e rz d z 1e rz

d z n +1n =∫=i ∫z z iz |z |=1|z |=1

11rz (n )

由柯西积分公式得I 1+I 2=⋅2πi ⋅(e )

i

n !

比较两边的实部与虚部得:

2πn I 1=r , I 2=0. 证毕.

z =0

令 e i ϕ=cos ϕ+i sin ϕ,

e i (−ϕ) =cos(−ϕ) +i sin(−ϕ) =cos ϕ−i sin ϕ, 则

=

2πn

r . n !

e i ϕ⋅e i (−ϕ) =e i (ϕ−ϕ) =e 0=1, 而,

(cosϕ+i sin ϕ) ⋅(cosϕ−i sin ϕ) =cos 2ϕ+sin 2ϕ所以 cos 2ϕ+sin 2ϕ=1. 此即为正、余弦的平方关系.

n !

（下转１２７页）

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创　新　教　育

到以前所没有的效果。这种方法已实施多年, 实践证明可明显提高学生的实习效果及毕业签约率, 收到了较好的效果。

毕业论文(设计) 是本科生大学阶段最后一次、也可以说是最重要的一次综合训练。因此, 应着重培养学生熟练应用所学知识的综合能力和独立工作能力, 培养学生的产品思想和工程观念。在毕业论文(设计) 选题中, 相当数量的选题来自于产学研结合的企业和实习基地, 这些毕业设计选题知识面较宽, 与生产、实际问题结合得好, 使学生受到了全面的训练。

在工程领域, 计算机正改变着我们的工作方式, 它不仅在控制领域, 而且在工程设计与优化方面, 都产生了巨大的影响。一方面在毕业论文选题中注意结合生产实际引导学生做些工艺设计类题目, 要求学生采用计算机绘制图形, 另一方面, 在毕业论文研究中强调计算机的应用, 利用计算机建立模型, 统计处理实验数据。３．２建立本科生导师制培养管理模式

本专业在实行常规的教学方式的同时, 将“导师制”这一教学培养训练模式引入了教学过程。大学三年级, 已经完成了相关专业基础课程的学习, 并陆续进入专业课学习阶段。此时, 让学生与老师双向选择, 建立导师指导学生制度, 通过导师日常指导、实验实习、毕业论文或科研实验, 使学生在课余时间参与导师课题研究, 培养学生具备一定的实践经验和发现问题、解决问题的能力, 促进学生动手能力和创新能力的不断提高。“导师制”这种教学培养模式, 在一定程度上打破了课程教学的界限, 形成了课堂教学的有效补充, 体现了教育的传统本质和特征, 适合因材施教, 利于培育和发展学生特长及个性, 建立良好的能力优势。从近几年的毕业生实践能力及论文写作水平来看, 这种导师制下培养的学生均表现突出。

３．３认真组织实施ＳＲＴＰ

通过学生或教师立项, 给予一定的科研经费资助, 提供本科生科研训练的机会, 使学生尽早进入各专业科研领域, 接触学科前沿, 了解学科发展动态; 增强学生创新意识, 培养学生创新和实践动手能力; 加强合作交流, 培养团队协作精神, 从而提高学生的综合素质。

３．４改革实践环节考核制度

实践环节的考核是检验和推进实践水平的主要手段。以往重

教学、轻实践的教学模式和体制下, 对实践环节的考核只是对学生的实验报告或生产实习总结简单地进行评分, 且在学生的总评成绩中所占比例很少, 无法真正把握实践效果, 衡量实践教学的质量。为适应实践教学的改革, 我们探索建立新的科学合理易操作的实践考核制度。如对《食品分析与检测实验》、《食品工程原理课程设计》等课程均实行了实践环节单独设课考核, 并采用分组评议、答辩及现场实验项目抽测等形式进行考核, 大大提高了课程的教学效果。

３．５加强创新能力培养和素质教育

创新能力的培养也是一项综合素质培养, 在保证学生具有坚实的专业知识基础的前提下, 充分利用多种形式的第二课堂教育来拓宽学生的知识面, 特别是应根据食品工业的发展方向适时的调整、改造、重组现有的专业, 加强专业适应性。通过举办活动、科技小发明、技能大赛等, 来启发学生的思维, 激发学生的想象力, 积极鼓励学生们参加校、系举办的各种竞赛、文体活动等, 培养学生的创造力和综合素质。

参考文献

[1]黄文, 王益, 罗学林, 等. 高等农林院校食品专业实验教学改革

初探[J].高等农业教育,2002,5:79-80.

[2]杨富民. 农业院校食品科学与工程专业学生实践能力培养[J].

高等农业教育,2003-04,4:71-72.

[3]蒋益虹. 综合性大学食品工程专业实践教学的改革与创新[J].

高等农业教育,2003,10:66-68.

[4]蒋兴加. 工科专业学生工程素质培养探讨[J].2011,729(7):30-31.

[5]王宏丽, 裘莉娟, 邹志荣. 设施农业科学与工程专业学生工程素

质培养研究[J].中国农业教育,2011,4:76-78.

（上接１２５页）

３　利用欧拉公式求三角函数幂级数展开式

在实数域内三角函数的幂级数展开式较难推导与记忆，但指数函数的幂级数展开式容易推导与掌握。利用复指数函数幂级数

x

展开式结合欧拉公式就可求得正弦、余弦函数 e 的展开式。类似于实数函数的展开式。

ix (ix ) 2(ix ) 3(ix ) n

(i 2x ) 2(i 2x ) 3(i 2x ) n

++L ++L ) =[(1+(i 2x ) +

4i 2! 3! n ! (−i 2x ) 2(−i 2x ) 3(−i 2x ) n (1+(−i 2x ) +++L ++L )]-2! 3! n !

1

e =1+(ix ) +

2!

+

3!

+L +

n !

+L

=1−到

x 2x 4x 2n x 3x 5x 2n +1

+−L +(−1) n +L +i (x −+−L +(−1) n −1+L ) 2! 4! (2n )! 3! 5! (2n +1)! 又由欧拉公式 e ix =cos x +i sin x ，比较两边的实部与虚部得

(i 2x ) 3(i 2x ) 2n −1

+L ++L )]=

2i 3! (2n −1)!

2n −12n −1

1x 23x 3n −12+L +(−1) +L ]=[2x −23! (2n −1)!

2n −22n −1 22x 3x n −12+L +(−1) +L 。=x −

3! (2n −1)!

1

[(i 2x ) +

cos x =1−

x 2x 4x 2n

+−L +(−1) n +L 2! 4! (2n )!

此种方法要比单纯用实数域展开式简洁条理得多.

x 3x 5x 2n +1n −1

+L sin x =x −+−L +(−1)

3! 5! (2n +1)!

e ix +e −ix e ix −e −ix

,sin x =。于是我们可以求下列级数展22i

参考文献

[1]谭小江, 伍胜健. 复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版

社,2006.

[2]同济大学应用数学系．高等数学; 下册[M]．5版. 北京:高等教育

出版社，2002.

e −ix =cos x −i sin x ，进一步，因为 e ix =cos x +i sin x ，所以

cos x =

开式

e ix −e −ix e ix +e −ix 1i 2x −i 2x

sin x cos x =⋅=(e −e )

2i 24i

科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ127