5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
掌握这种方法的关键是确定适合条件的x 2+(a +b ) x +ab =(x +a )(x +b )进行因式分解。
两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax +bx +c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数
2
a 1，c 1，a 2，c 2满足a 1a 2=a ，c 1c 2=c ，并且a 1c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式ax 2+bx +c 即a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1)x +c 1c 2可以分解为(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)。这里要确
定四个常数a 1，c 1，a 2，c 2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：x -11x +24>0，求x 的取值范围。 2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足
2
x -y -x 2+2xy -y 2+2=0，求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若4x -y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则8x +10xy -3y 是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )
2
2
2
2
2(2x +3y )=4x +6y =4x -y +7y
∵4x -y 是7的倍数，7y 也是7的倍数（y 是整数） ∴2(2x +3y )是7的倍数
而2与7互质，因此，2x +3y 是7的倍数，所以8x +10xy -3y 是49的倍数。 证明二：∵4x -y 是7的倍数，设4x -y =7m （m 是整数）
2
2
则y =4x -7m
又∵8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )
2
2
∴(2x +12x -21m )(4x -4x +7m )=7m (14x -21m )=49m (2x -3m ) ∵x ，m 是整数，∴m (2x -3m )也是整数 所以，8x +10xy -3y 是49的倍数。 4、中考点拨
例1. 把4x y -5x y -9y 分解因式的结果是________________。 解：4x y -5x y -9y
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
22
=y 2(4x 4-5x 2-9)
=y 4x -9x +1
2
=y 2
((x
2
)(
2
)
2
+1)(2x +3)(2x -3)
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2.
因式分解：6x -7x -5=_______________ 解：6x -7x -5=(2x +1)(3x -5)
2
2
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示
例1. 若x -y +mx +5y -6能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1
22
2
B. -1
2
C. ±1
D. 2
解：x -y +mx +5y -6=(x +y )(x -y )+mx +5y -6 -6可分解成(-2)⨯3或(-3)⨯2，因此，存在两种情况：
（1） （2）
x-y 3 x-y 2
由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足(a -c )=4(b -a )(c -b )。
2
求证：a -b =b -c
证明： (a -c )=4(b -a )(c -b )
2
∴(a -c )-4(b -a )(c -b )=0
∴a 2-2ac +c 2-4bc +4ac -4ab +4b 2=0
2
∴a +c -4b a +c +4b =0()()
2
2
∴(a +c -2b )=0∴a +c -2b =0∴a -b =b -c
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若x +5x +7x +a 有一因式x +1。求a ，并将原式因式分解。 解： x +5x +7x +a 有一因式x +1
∴当x +1=0，即x =-1时，x +5x +7x +a =0 ∴a =3
3
2
3
2
3
2
2
x 3+5x 2+7x +3
=x 3+x 2+4x 2+4x +3x +3
=x 2(x +1)+4x (x +1)+3(x +1)=(x +1)(x +4x +3)
2
=(x +1)(x +1)(x +3)=(x +1)(x +3)
说明：由条件知，x =-1时多项式的值为零，代入求得a ，再利用原式有一个因式是x +1，分解时尽量出现x +1，从而分解彻底。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）a b +16ab +39 （2）15x
（3）x +3x
2
2
2n
2
+7x n y n +1-4y 2n +2
(
2
)
2
-22(x 2+3x )+72
2. 在多项式x +1，x +2，x +3，x +2x -3，x +2x -1，x +2x +3，哪些是多项式x +2x
3. 已知多项式2x -x -13x +k 有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：3x +5xy -2y +x +9y -4
5. 已知：x +y =0. 5，x +3y =12. ，求3x +12xy +9y 的值。
2
2
2
2
2
2
2
(
2
)
4
-10(x 2+2x )+9的因式？
2
32
【试题答案】
1.
（1）解：原式=(ab )+16ab +39=(ab +3)(ab +13) （2）解：原式=3x -y
2
(
n n +1
)(5x )(
n
+4y n +1)
（3）解：原式=x +3x -4x +3x -18=(x +4)(x -1)(x +6)(x -3)
2
2
()
2.
解： x +2x
(
2
)
4
-10(x 2+2x )+9
2
2
=(x 2+2x )-9(x 2+2x )-1
2
[][
2
]
2
=x +2x +3x +2x -3x +2x +1x +2x -1
2
2
2
(=(x
2
)()()(+2x +3)(x +3)(x -1)(x +1)(x +2x -1)
2
2
2
)
∴其中x +1，x +3，x +2x +3，x +2x -1是多项式
(x 2+2x )-10(x 2+2x )+9的因式。
4
2
说明：先正确分解，再判断。 3.
解：设2x -x -13x +k =(2x +1)x +ax +b
3
2
2
()
则2x -x -13x +k =2x +(2a +1)x +(a +2b )x +b
3
2
3
2
⎧2a +1=-1⎪
∴⎨a +2b =-13
⎪b =k ⎩⎧a =-1⎪
解得：⎨b =-6
⎪k =-6⎩
∴k =-6且2x -x -13x -6=(2x -1)x -x -6=(2x -1)(x -3)(x +2)
3
2
2
()
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x +5xy -2y +x +9y -4
2
2
=(3x -y +m )(x +2y +n )
=3x +5xy -2y +(m +3n )x +(2m -n )y +mn
2
2
⎧m +3n =1⎪
比较同类项系数，得：⎨2m -n =9
⎪mn =-4⎩
⎧m =4
解得：⎨
n =-1⎩
∴3x +5xy -2y +x +9y -4=(3x -y +4)(x -2y -1)
2
2
5.
解：3x 2
+12xy +9y 2
=3(x 2+4xy +3y 2)=3(x +y )(x +3y )
x +y =0. 5，x +3y =12. ∴原式=3⨯0. 5⨯12. =18.
说明：用因式分解可简化计算。
5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
掌握这种方法的关键是确定适合条件的x 2+(a +b ) x +ab =(x +a )(x +b )进行因式分解。
两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax +bx +c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数
2
a 1，c 1，a 2，c 2满足a 1a 2=a ，c 1c 2=c ，并且a 1c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式ax 2+bx +c 即a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1)x +c 1c 2可以分解为(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)。这里要确
定四个常数a 1，c 1，a 2，c 2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：x -11x +24>0，求x 的取值范围。 2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足
2
x -y -x 2+2xy -y 2+2=0，求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若4x -y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则8x +10xy -3y 是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )
2
2
2
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2(2x +3y )=4x +6y =4x -y +7y
∵4x -y 是7的倍数，7y 也是7的倍数（y 是整数） ∴2(2x +3y )是7的倍数
而2与7互质，因此，2x +3y 是7的倍数，所以8x +10xy -3y 是49的倍数。 证明二：∵4x -y 是7的倍数，设4x -y =7m （m 是整数）
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则y =4x -7m
又∵8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )
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∴(2x +12x -21m )(4x -4x +7m )=7m (14x -21m )=49m (2x -3m ) ∵x ，m 是整数，∴m (2x -3m )也是整数 所以，8x +10xy -3y 是49的倍数。 4、中考点拨
例1. 把4x y -5x y -9y 分解因式的结果是________________。 解：4x y -5x y -9y
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=y 2(4x 4-5x 2-9)
=y 4x -9x +1
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=y 2
((x
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)(
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)
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+1)(2x +3)(2x -3)
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2.
因式分解：6x -7x -5=_______________ 解：6x -7x -5=(2x +1)(3x -5)
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说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示
例1. 若x -y +mx +5y -6能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1
22
2
B. -1
2
C. ±1
D. 2
解：x -y +mx +5y -6=(x +y )(x -y )+mx +5y -6 -6可分解成(-2)⨯3或(-3)⨯2，因此，存在两种情况：
（1） （2）
x-y 3 x-y 2
由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足(a -c )=4(b -a )(c -b )。
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求证：a -b =b -c
证明： (a -c )=4(b -a )(c -b )
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∴(a -c )-4(b -a )(c -b )=0
∴a 2-2ac +c 2-4bc +4ac -4ab +4b 2=0
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∴a +c -4b a +c +4b =0()()
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∴(a +c -2b )=0∴a +c -2b =0∴a -b =b -c
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若x +5x +7x +a 有一因式x +1。求a ，并将原式因式分解。 解： x +5x +7x +a 有一因式x +1
∴当x +1=0，即x =-1时，x +5x +7x +a =0 ∴a =3
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x 3+5x 2+7x +3
=x 3+x 2+4x 2+4x +3x +3
=x 2(x +1)+4x (x +1)+3(x +1)=(x +1)(x +4x +3)
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=(x +1)(x +1)(x +3)=(x +1)(x +3)
说明：由条件知，x =-1时多项式的值为零，代入求得a ，再利用原式有一个因式是x +1，分解时尽量出现x +1，从而分解彻底。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）a b +16ab +39 （2）15x
（3）x +3x
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2n
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+7x n y n +1-4y 2n +2
(
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)
2
-22(x 2+3x )+72
2. 在多项式x +1，x +2，x +3，x +2x -3，x +2x -1，x +2x +3，哪些是多项式x +2x
3. 已知多项式2x -x -13x +k 有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：3x +5xy -2y +x +9y -4
5. 已知：x +y =0. 5，x +3y =12. ，求3x +12xy +9y 的值。
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-10(x 2+2x )+9的因式？
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【试题答案】
1.
（1）解：原式=(ab )+16ab +39=(ab +3)(ab +13) （2）解：原式=3x -y
2
(
n n +1
)(5x )(
n
+4y n +1)
（3）解：原式=x +3x -4x +3x -18=(x +4)(x -1)(x +6)(x -3)
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解： x +2x
(
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-10(x 2+2x )+9
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=(x 2+2x )-9(x 2+2x )-1
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=x +2x +3x +2x -3x +2x +1x +2x -1
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)()()(+2x +3)(x +3)(x -1)(x +1)(x +2x -1)
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∴其中x +1，x +3，x +2x +3，x +2x -1是多项式
(x 2+2x )-10(x 2+2x )+9的因式。
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说明：先正确分解，再判断。 3.
解：设2x -x -13x +k =(2x +1)x +ax +b
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则2x -x -13x +k =2x +(2a +1)x +(a +2b )x +b
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⎧2a +1=-1⎪
∴⎨a +2b =-13
⎪b =k ⎩⎧a =-1⎪
解得：⎨b =-6
⎪k =-6⎩
∴k =-6且2x -x -13x -6=(2x -1)x -x -6=(2x -1)(x -3)(x +2)
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说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x +5xy -2y +x +9y -4
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=(3x -y +m )(x +2y +n )
=3x +5xy -2y +(m +3n )x +(2m -n )y +mn
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⎧m +3n =1⎪
比较同类项系数，得：⎨2m -n =9
⎪mn =-4⎩
⎧m =4
解得：⎨
n =-1⎩
∴3x +5xy -2y +x +9y -4=(3x -y +4)(x -2y -1)
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5.
解：3x 2
+12xy +9y 2
=3(x 2+4xy +3y 2)=3(x +y )(x +3y )
x +y =0. 5，x +3y =12. ∴原式=3⨯0. 5⨯12. =18.
说明：用因式分解可简化计算。