专题五——分解方法的延拓
1、知识点:因式分解是中学阶段主要内容,是针对多项式的一种恒等变形,主要方法有提取公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法。一些较复杂的因式分解问题,常用到换元法和主元法。
换元法:对结构比较复杂的多项式,把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替,使复杂问题简单化、明朗化,减少多项式项数、降低多项式机构复杂程度。 主元法:在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构
课外拓展与延伸
例1:(十字相乘法)因式分解:
(1)x 2-5x +6 (2)x 2-26x -56 (3)x 2+5xy +6y 2
(4)2x 2-x -3 (5)2x 2-53x +98 (6)4x 2+12xy -7y 2 变式训练:
(1)x 2-x -12 (2)x 2-4xy -12y 2 (3)x 2-8x +12 (4)x 2+8xy +12y 2
(5)x 2-5x -6 (6)y 2-y -20 (7)m 2-6m +8 (8)m 2+50m +49
6x 2-7x +2 2x 2-5x -12 3x 2-17x +10 (9)(10)(11)(12)3x 2-11xy +6y 2
(13)3x 2-2xy -8y 2 (14)5x 2+17x -12 (15)6m 2-m -35
(16)a 2x 2-a 2xy -30a 2y 2(17)(m +n ) 2+2(m +n ) -15 (18)x 2-(a +1) x +a
(19)y 4-(a 2+b 2) y 2+a 2b 2
例2:(分组分解法)因式分解:
1、(1)a 2-ab +ac -bc (2)2ax -10ay +5by -bx
变式训练:(1)3ax +4by +4ay +3bx (2)m 2+5n -mn -5m
(3)20(x +y ) +x +y (4)2m -2n -4x (m -n ) (5)ac +bc +2a +2b
(6)a 2+ab -ac -bc
2、(1)x 2-y 2+ay +ax (2)a 2-2ab +b 2-c 2 (3)x 3+x 2y -xy 2-y 3
变式训练:(1)1-m 2-n 2+2mn (2)x 2-y +y 2-2xy +x
(3)3a 2-6ab +3b 2-5a +5b (4)9m 2-6m +2n -n 2(5)4a 2+12ab +9b 2-25
(6)x 2+6xy +9y 2-4m 2-4mn -n 2
例3:(换元法)因式分解:
(1)(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10 (2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +6) +x 2
(3)(2x -3y ) 3+(3x -2y ) 3-125(x -y ) 3
变式训练:
(1)(x 2+4x +8) 2+3x (x 2+4x +8) +2x 2(2)(2x 2-3x +1) 2-22x 2+33x -1
(3)(x 2+x +1)(x 2+x +2) -12 (4)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2
(5)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4 (6)(6x -1)(2x -1)(3x -1)(x -1) +x 2
(7)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91 (8)(x 2-1)(x +3)(x +5) +12
(9)(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3 (10)1999x 2-(19992-1) x -1999
(11)(x +y -2xy )(x +y -2) +(xy -1) 2 (12)ab (a +b ) 2-(a +b ) 2+1 例4:(主元法)因式分解:x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 变式训练:(1)a 2(b -c ) +b 2(c -a ) +c 2(a -b ) (2)x 2-y 2+3x -y +2
(3)x 2+xy -2y 2-x +7y -6 (4)x 2+xy -6y 2+x +13y -6
(5)x 3+(2a +1) x 2+(a 2+2a -1) x +(a 2-1) (巧选主元) 探索创新:
1:对方程a 2b 2+a 2+b 2=2004,求出至少一组整数解。
2:已知在 ABC 中,a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a 、b 、c 是三角形三边的长),求证:a +c =2b 。
专题五——分解方法的延拓
1、知识点:因式分解是中学阶段主要内容,是针对多项式的一种恒等变形,主要方法有提取公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法。一些较复杂的因式分解问题,常用到换元法和主元法。
换元法:对结构比较复杂的多项式,把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替,使复杂问题简单化、明朗化,减少多项式项数、降低多项式机构复杂程度。 主元法:在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构
课外拓展与延伸
例1:(十字相乘法)因式分解:
(1)x 2-5x +6 (2)x 2-26x -56 (3)x 2+5xy +6y 2
(4)2x 2-x -3 (5)2x 2-53x +98 (6)4x 2+12xy -7y 2 变式训练:
(1)x 2-x -12 (2)x 2-4xy -12y 2 (3)x 2-8x +12 (4)x 2+8xy +12y 2
(5)x 2-5x -6 (6)y 2-y -20 (7)m 2-6m +8 (8)m 2+50m +49
6x 2-7x +2 2x 2-5x -12 3x 2-17x +10 (9)(10)(11)(12)3x 2-11xy +6y 2
(13)3x 2-2xy -8y 2 (14)5x 2+17x -12 (15)6m 2-m -35
(16)a 2x 2-a 2xy -30a 2y 2(17)(m +n ) 2+2(m +n ) -15 (18)x 2-(a +1) x +a
(19)y 4-(a 2+b 2) y 2+a 2b 2
例2:(分组分解法)因式分解:
1、(1)a 2-ab +ac -bc (2)2ax -10ay +5by -bx
变式训练:(1)3ax +4by +4ay +3bx (2)m 2+5n -mn -5m
(3)20(x +y ) +x +y (4)2m -2n -4x (m -n ) (5)ac +bc +2a +2b
(6)a 2+ab -ac -bc
2、(1)x 2-y 2+ay +ax (2)a 2-2ab +b 2-c 2 (3)x 3+x 2y -xy 2-y 3
变式训练:(1)1-m 2-n 2+2mn (2)x 2-y +y 2-2xy +x
(3)3a 2-6ab +3b 2-5a +5b (4)9m 2-6m +2n -n 2(5)4a 2+12ab +9b 2-25
(6)x 2+6xy +9y 2-4m 2-4mn -n 2
例3:(换元法)因式分解:
(1)(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10 (2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +6) +x 2
(3)(2x -3y ) 3+(3x -2y ) 3-125(x -y ) 3
变式训练:
(1)(x 2+4x +8) 2+3x (x 2+4x +8) +2x 2(2)(2x 2-3x +1) 2-22x 2+33x -1
(3)(x 2+x +1)(x 2+x +2) -12 (4)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2
(5)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4 (6)(6x -1)(2x -1)(3x -1)(x -1) +x 2
(7)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91 (8)(x 2-1)(x +3)(x +5) +12
(9)(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3 (10)1999x 2-(19992-1) x -1999
(11)(x +y -2xy )(x +y -2) +(xy -1) 2 (12)ab (a +b ) 2-(a +b ) 2+1 例4:(主元法)因式分解:x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 变式训练:(1)a 2(b -c ) +b 2(c -a ) +c 2(a -b ) (2)x 2-y 2+3x -y +2
(3)x 2+xy -2y 2-x +7y -6 (4)x 2+xy -6y 2+x +13y -6
(5)x 3+(2a +1) x 2+(a 2+2a -1) x +(a 2-1) (巧选主元) 探索创新:
1:对方程a 2b 2+a 2+b 2=2004,求出至少一组整数解。
2:已知在 ABC 中,a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a 、b 、c 是三角形三边的长),求证:a +c =2b 。