函数应用题
1 解决应用问题的三个步骤
解答数学应用题的关键有两点：一是认真解题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型。最终求解数学模型使实际问题获解，一般的解题程序是：
（1）阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义。
（2）根据各个量的关系，进行数学化设计，即，将实际问题转化为数学问题。
（3）进行标准化设计，既转化为常规的函数问题或其他常规问题的数学问题加以解决。 与函数有关的应用题，经常设计物价，路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答。
[例] 某电器公司生产A 种型号的家庭电器，1993年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1994年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。1997年平均每抬A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益。
（1）求1997年每台电脑的生产成本：
（2）一1993年生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0．01
==2.449）。
[分析] 本题属增长率问题。
[解] （1）一方面可以根据1993年的出厂价求得1997年的出厂价；另一方面根据题意可把1997年出厂价用1997年的生产成本表示，列出方程求解。
设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得
x (1+50%=) 50⨯00+(12⨯0%，)
解得 x =3200（元）
（2）因为1993~1997年四年间成本平均每年降低百分率相等，因此可把1997年的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第（1）中求得的1997年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解。
设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得
(1y 5000-
解得
y 1=1-4=) 3 200y 2=1+ （舍去） 55
y =1≈0.106≈0.11=11% 所以1997年每台电脑的生产成本为3200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低11%。
[点评] ①出厂价=成本+利润，利润=成本⨯利润率。②寻找等量关系是建立方程模型解答实际应用问题的关键。
练习题：
1、已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元. 某食品加工厂对饼干采用两种包装, 其包装费用、销售价格如下表所示:
①买小包装实惠; ②买大包装实惠; ③卖3小包比卖1大包盈利多; ④卖1大包比卖3小包盈利多.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
2、某不法商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中”大酬宾, 八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元, 那么每台彩电的原价是 元.
3、某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元, 并且每生产一单位产品, 成本增加10万元, 又知总收入K 万元是单位产品数Q 的函数K(Q)=40Q-
是 .
4、一批货物随17列货车从A 市以vkm/h匀速直达B 市, 已知两铁路线常400km, 为了安全, 两列货车间距不得小于(
车的车身长)
5、某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨) 与每吨产品的价格P(元/吨) 之间的关系为P=24200-12Q , 则总利润L(Q)的最大值20v 2) km , 那么这批物资全部运到B 市, 最快需要(不计货2012X , 且生产x 吨的成本为R=50000+200x元. 问该厂每月生产多少吨产品才能5
使利润大到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本)
6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨。为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量
x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （k >0）。
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围。
2与平面几何中面积有关的函数应用题，此类问题中，易求目标函数，关键是依据目标函数确定求最值的方法
[例] 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 上规划出一块矩形地面建造住宅小区公园（如图14-1）。公园的一边落在CD 上，但不能超过文物保护三角形AEF 的边线EF 。问如何设计能使公园占地面积最大？并求出最大的面积（精确到
1m ），已知AB=CD=200m，BC=AD=160m，AE=60m，AF=40m。
2
[解] 如图14-1，设公园矩形地为PQCR ，且x=DR，则BQ=
PR=160-40+
PQ=200-x ， 2(60-x ) 。 322x =120+x ， 33
2x ) 3
272200 =-(x -10) 2+。 33 S=PＱ PR=(200-x )(120+
即当P 在EF 上且距AD 的距离为10m 时，公园面积最大，最大面积为24067m 2。 练习题：
1、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画室的宽与高的比为λ(λ
2、某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示) 上划出一块长方形地面(不改变方位) 建造一幢8层楼公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大? 并求出最大面积(精确到1m 2).
2334
, 框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形, 上部是等腰三角形. 要求框架围成的总面积为8m , 问x,y 分别为多少时用料最省?(精确到
2
x , y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m ，问x , y
（精确到0.001m ）
y
x
3目标函数为分段函数的实际应用题
[例] 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为少20元，但每台最低不能2
低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
[解] 设某单位需要购买x 台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y 。
∴去甲商场购买共花费（800-20x ）x
根据题意，有800-20x ≥440
∴ 1≤x ≤18
(800-2x 0x -) 6x 00≤, x 1≤
∴y= (x ∈N *)
440 x >18 x -60x 0
2 200 1≤x ≤18 , x -2x 0
= (x ∈N *)
-160x x >18
y >0, 1≤x ≤1 0
得 y =0, y =10 , (x ∈N *)
y 0
故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少。
练习题：
1、某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠, 商场规定:
①如一次购物不超过200元, 不予以折扣;
②如一次购物超过200元但不超过500元的, 按标价予以九折优惠;
③如一次购物超过500元的, 其中500元给予九折优惠, 超过500元的部分给予八五折优惠, 某人两次取购物, 分别付款176元和432元, 如果他只去一次购买同样的物品, 则应付款( ).
A.608元 B.574.1元 C.582.6元 D.456.8元
2、某商店迎来店庆, 为了吸引顾客, 采取”满一百送二十, 连环送”的酬宾促销方式, 即顾客在店内花钱满100元(可以是现金也可以是奖励卷或二者合计), 就送20元奖励卷; 满200元, 就送40元奖励卷; 满300元, 就送60元奖励卷; ……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元, 如果按照酬宾促销方式, 他最多能得到优惠( ).
A.17500元 B.17540元 C.17500元 D.17580元
3、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元。出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f （x ）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价－成本）
4、某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为5t -12。 t （万元）2
（1）若该公司的年产量为x （单位：百件）(x >0) ，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x 的函数；
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3
=9.3）
函数应用题
1 解决应用问题的三个步骤
解答数学应用题的关键有两点：一是认真解题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型。最终求解数学模型使实际问题获解，一般的解题程序是：
（1）阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义。
（2）根据各个量的关系，进行数学化设计，即，将实际问题转化为数学问题。
（3）进行标准化设计，既转化为常规的函数问题或其他常规问题的数学问题加以解决。 与函数有关的应用题，经常设计物价，路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答。
[例] 某电器公司生产A 种型号的家庭电器，1993年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1994年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。1997年平均每抬A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益。
（1）求1997年每台电脑的生产成本：
（2）一1993年生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0．01
==2.449）。
[分析] 本题属增长率问题。
[解] （1）一方面可以根据1993年的出厂价求得1997年的出厂价；另一方面根据题意可把1997年出厂价用1997年的生产成本表示，列出方程求解。
设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得
x (1+50%=) 50⨯00+(12⨯0%，)
解得 x =3200（元）
（2）因为1993~1997年四年间成本平均每年降低百分率相等，因此可把1997年的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第（1）中求得的1997年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解。
设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得
(1y 5000-
解得
y 1=1-4=) 3 200y 2=1+ （舍去） 55
y =1≈0.106≈0.11=11% 所以1997年每台电脑的生产成本为3200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低11%。
[点评] ①出厂价=成本+利润，利润=成本⨯利润率。②寻找等量关系是建立方程模型解答实际应用问题的关键。
练习题：
1、已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元. 某食品加工厂对饼干采用两种包装, 其包装费用、销售价格如下表所示:
①买小包装实惠; ②买大包装实惠; ③卖3小包比卖1大包盈利多; ④卖1大包比卖3小包盈利多.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
2、某不法商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中”大酬宾, 八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元, 那么每台彩电的原价是 元.
3、某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元, 并且每生产一单位产品, 成本增加10万元, 又知总收入K 万元是单位产品数Q 的函数K(Q)=40Q-
是 .
4、一批货物随17列货车从A 市以vkm/h匀速直达B 市, 已知两铁路线常400km, 为了安全, 两列货车间距不得小于(
车的车身长)
5、某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨) 与每吨产品的价格P(元/吨) 之间的关系为P=24200-12Q , 则总利润L(Q)的最大值20v 2) km , 那么这批物资全部运到B 市, 最快需要(不计货2012X , 且生产x 吨的成本为R=50000+200x元. 问该厂每月生产多少吨产品才能5
使利润大到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本)
6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨。为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量
x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （k >0）。
（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围。
2与平面几何中面积有关的函数应用题，此类问题中，易求目标函数，关键是依据目标函数确定求最值的方法
[例] 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 上规划出一块矩形地面建造住宅小区公园（如图14-1）。公园的一边落在CD 上，但不能超过文物保护三角形AEF 的边线EF 。问如何设计能使公园占地面积最大？并求出最大的面积（精确到
1m ），已知AB=CD=200m，BC=AD=160m，AE=60m，AF=40m。
2
[解] 如图14-1，设公园矩形地为PQCR ，且x=DR，则BQ=
PR=160-40+
PQ=200-x ， 2(60-x ) 。 322x =120+x ， 33
2x ) 3
272200 =-(x -10) 2+。 33 S=PＱ PR=(200-x )(120+
即当P 在EF 上且距AD 的距离为10m 时，公园面积最大，最大面积为24067m 2。 练习题：
1、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画室的宽与高的比为λ(λ
2、某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示) 上划出一块长方形地面(不改变方位) 建造一幢8层楼公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大? 并求出最大面积(精确到1m 2).
2334
, 框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形, 上部是等腰三角形. 要求框架围成的总面积为8m , 问x,y 分别为多少时用料最省?(精确到
2
x , y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m ，问x , y
（精确到0.001m ）
y
x
3目标函数为分段函数的实际应用题
[例] 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为少20元，但每台最低不能2
低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
[解] 设某单位需要购买x 台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y 。
∴去甲商场购买共花费（800-20x ）x
根据题意，有800-20x ≥440
∴ 1≤x ≤18
(800-2x 0x -) 6x 00≤, x 1≤
∴y= (x ∈N *)
440 x >18 x -60x 0
2 200 1≤x ≤18 , x -2x 0
= (x ∈N *)
-160x x >18
y >0, 1≤x ≤1 0
得 y =0, y =10 , (x ∈N *)
y 0
故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少。
练习题：
1、某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠, 商场规定:
①如一次购物不超过200元, 不予以折扣;
②如一次购物超过200元但不超过500元的, 按标价予以九折优惠;
③如一次购物超过500元的, 其中500元给予九折优惠, 超过500元的部分给予八五折优惠, 某人两次取购物, 分别付款176元和432元, 如果他只去一次购买同样的物品, 则应付款( ).
A.608元 B.574.1元 C.582.6元 D.456.8元
2、某商店迎来店庆, 为了吸引顾客, 采取”满一百送二十, 连环送”的酬宾促销方式, 即顾客在店内花钱满100元(可以是现金也可以是奖励卷或二者合计), 就送20元奖励卷; 满200元, 就送40元奖励卷; 满300元, 就送60元奖励卷; ……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元, 如果按照酬宾促销方式, 他最多能得到优惠( ).
A.17500元 B.17540元 C.17500元 D.17580元
3、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元。出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f （x ）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价－成本）
4、某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为5t -12。 t （万元）2
（1）若该公司的年产量为x （单位：百件）(x >0) ，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x 的函数；
（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
（3
=9.3）