函数及其图像
一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征 在 x 轴上纵坐标为 0 , 在 y 轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）到 x 轴的距离等于 y 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它 对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线 4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y kx b （k，b 是常数，k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的 b 为 0 时， y kx （k 为常数，k 0）。这时，y 叫做 x 的正 比例函数。
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2 2 （2）到 y 轴的距离等于 x （3）到原点的距离等于 x y
2、一次函数的图像：是一条直线 3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数 y kx 有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k
l2 ： y k2 x b2
若 l l k k 1 1 2 1 2
k （k 是常数， k 0） 叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成 y kx 1 x 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
一般地， 函数 y 2、反比例函数的图像是双曲线。 3、反比例函数的性质 (1)当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 (2)当 k
2
函数。 2、二次函数的图像是一条抛物线。 3、二次函数的性质： （1）a>0 抛物线开口向上，对称轴是 x=
b b 4ac b 2 ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧， 2a 2a 4a
2
即当 x
b b 时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而增大； 2a 2a b 4ac b 2 时，y 有最小值， y 最小值 2a 4a b b 4ac b 2 ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左 2a 2a 4a
抛物线有最低点，当 x=
（2） a
b b 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而 2a 2a b 4ac b 2 时，y 有最大值， y 最大值 2a 4a
4、.二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： y ax2 bx c(a, b, c是常数， a 0) （2）顶点式： y a( x h) 2 k (a, h, k是常数， a 0) （3）两根式： y a( x x1 )(x x2 ) 5、抛物线 y ax2 bx c 中， a , b, c 的作用：
a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上，，， a
6、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 b 4ac ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。
2
当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当
（ （1）公式法：顶点是
b b 4ac b 2 ， ） ，对称轴是直线 x . 2a 2a 4a
2
（ 2 ）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h k 的形式，得到顶点为 ( h , k )，对称轴是直线 x h . 8、平移： y ax h k 可以由 y ax 平移得到。上加下减，左加右减。
2
2
3
1、若关于 x 的方程 x^2+2mx+m^2+3m-2=0 有两个实数根 x1、x2，则 x1（x2+x1）+x2^2 的最小值为 2、（2014 郴州）（10 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面 积最大？求出此时点 P 的坐标； （3）如图二，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，那么在直线 DE 上 是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2014 雅安）（12 分）如图，直线 y=﹣3x﹣3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C，经过点 C 且对称 轴为 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点． （1）试求点 A、C 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动，同时，点 N 在线段 OC 上以相 同的速度由点 O 向点 C 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又 PN∥x 轴，交 AC 于 P，问在运动过程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．
4、一次函数 y=kx+b,当 1≤x≤4 时,3≤y≤6,求 k／b 的值,
如图所示， 在平面直角坐标系中， 矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上， 边 OC 在 y 轴的正半轴上， 且 AB=1， OB= 3 ，矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 60°后得到矩形 EFOD．点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点 为点 F，点 C 的对应点为点 D，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，E，D．
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（1）判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在 x 轴的上方是否存在点 P，点 Q，使以点 O，B，P，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面 积的 2 倍，且点 P 在抛物线上？若存在，请求出点 P，点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5、2014•宁波）已知点 A（a-2b，2-4ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐 标为（ ）
6. 如图 , 抛物线 y=1/2x ² +bx-2 与 x 轴交于 A,B 两点 , 于 y 轴交于点 C, 且 A(-1,0). 求 抛 物 线 的 解 析 式 及 顶 点 D 坐 标 判 断 △ ABC 的 形 状 , 并 证 明 点 M(m,0)是 x 轴上一个动点,当 MC+MD 的值最小,求 m
7、 如图，抛物线的顶点为 P（-2，2），与 y 轴交于点 A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动 到点 P′（2，-2），点 A 的对应点为 A′，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为______．
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8、已知二次函数 y=x2-3x-4 的图象,将其函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其
余部分保持不变,得到一个新的图象,结合图象写出当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点 时,n 的取值范围为 9、如图 点 A 在双曲线 y= k x 的第一象限的那一支上 AB 垂直于 y 轴于点 B,点 C 在 x 轴正 半 轴 上 且
且 AE=3EC,点 D 为 OB 的中点,若△ADE 的面积为 3,则 k 的值为
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函数及其图像
一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征 在 x 轴上纵坐标为 0 , 在 y 轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）到 x 轴的距离等于 y 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它 对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线 4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y kx b （k，b 是常数，k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的 b 为 0 时， y kx （k 为常数，k 0）。这时，y 叫做 x 的正 比例函数。
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2、一次函数的图像：是一条直线 3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数 y kx 有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k
l2 ： y k2 x b2
若 l l k k 1 1 2 1 2
k （k 是常数， k 0） 叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成 y kx 1 x 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
一般地， 函数 y 2、反比例函数的图像是双曲线。 3、反比例函数的性质 (1)当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 (2)当 k
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函数。 2、二次函数的图像是一条抛物线。 3、二次函数的性质： （1）a>0 抛物线开口向上，对称轴是 x=
b b 4ac b 2 ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧， 2a 2a 4a
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即当 x
b b 时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而增大； 2a 2a b 4ac b 2 时，y 有最小值， y 最小值 2a 4a b b 4ac b 2 ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左 2a 2a 4a
抛物线有最低点，当 x=
（2） a
b b 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而 2a 2a b 4ac b 2 时，y 有最大值， y 最大值 2a 4a
4、.二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： y ax2 bx c(a, b, c是常数， a 0) （2）顶点式： y a( x h) 2 k (a, h, k是常数， a 0) （3）两根式： y a( x x1 )(x x2 ) 5、抛物线 y ax2 bx c 中， a , b, c 的作用：
a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上，，， a
6、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 b 4ac ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。
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当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当
（ （1）公式法：顶点是
b b 4ac b 2 ， ） ，对称轴是直线 x . 2a 2a 4a
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（ 2 ）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h k 的形式，得到顶点为 ( h , k )，对称轴是直线 x h . 8、平移： y ax h k 可以由 y ax 平移得到。上加下减，左加右减。
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1、若关于 x 的方程 x^2+2mx+m^2+3m-2=0 有两个实数根 x1、x2，则 x1（x2+x1）+x2^2 的最小值为 2、（2014 郴州）（10 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面 积最大？求出此时点 P 的坐标； （3）如图二，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，那么在直线 DE 上 是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2014 雅安）（12 分）如图，直线 y=﹣3x﹣3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C，经过点 C 且对称 轴为 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点． （1）试求点 A、C 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动，同时，点 N 在线段 OC 上以相 同的速度由点 O 向点 C 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又 PN∥x 轴，交 AC 于 P，问在运动过程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．
4、一次函数 y=kx+b,当 1≤x≤4 时,3≤y≤6,求 k／b 的值,
如图所示， 在平面直角坐标系中， 矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上， 边 OC 在 y 轴的正半轴上， 且 AB=1， OB= 3 ，矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 60°后得到矩形 EFOD．点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点 为点 F，点 C 的对应点为点 D，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，E，D．
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（1）判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在 x 轴的上方是否存在点 P，点 Q，使以点 O，B，P，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面 积的 2 倍，且点 P 在抛物线上？若存在，请求出点 P，点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5、2014•宁波）已知点 A（a-2b，2-4ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐 标为（ ）
6. 如图 , 抛物线 y=1/2x ² +bx-2 与 x 轴交于 A,B 两点 , 于 y 轴交于点 C, 且 A(-1,0). 求 抛 物 线 的 解 析 式 及 顶 点 D 坐 标 判 断 △ ABC 的 形 状 , 并 证 明 点 M(m,0)是 x 轴上一个动点,当 MC+MD 的值最小,求 m
7、 如图，抛物线的顶点为 P（-2，2），与 y 轴交于点 A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动 到点 P′（2，-2），点 A 的对应点为 A′，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为______．
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8、已知二次函数 y=x2-3x-4 的图象,将其函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其
余部分保持不变,得到一个新的图象,结合图象写出当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点 时,n 的取值范围为 9、如图 点 A 在双曲线 y= k x 的第一象限的那一支上 AB 垂直于 y 轴于点 B,点 C 在 x 轴正 半 轴 上 且
且 AE=3EC,点 D 为 OB 的中点,若△ADE 的面积为 3,则 k 的值为
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