极坐标及参数方程
1. 极坐标系的概念：
2．有序数对(ρ, θ) 叫做点M 的极坐标，记为M (ρ, θ) . 3. 极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
（1）圆(x -a ) 2
+(y -b ) 2
=r 2
的参数方程可表示为 ⎧⎨x =a +r c o θ
s , ⎩
y =b +r s i n θ. (θ为参数) .
2）椭圆x 2y 2
（a b (a >b >0) 的参数方程可表示为⎧⎨x =a cos ϕ, 2+2=1⎩y =b sin ϕ.
(ϕ为参数) .
（3）经过点M y ⎧x =x o +t cos α,
O (x o , o ) ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎨⎩y =y （t 为参数）.
o +t sin α.
极坐标方程典型例题
1. 点(2，-2)的极坐标为
2. 已知圆C ：(x +1) 2+(y 2=1，则圆心C 的极坐标为_______(ρ>0, 0≤θ
3. 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4. 化极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0为直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y =1 B ．x =1 C ．x 2+y 2=0或x =1 D ．y =1
5. 极坐标ρ=cos(π
4
-θ) 表示的曲线是( )
A. 双曲线 B.椭圆 C. 抛物线
D. 圆
6. 极点到直线ρ(cos θ+sin θ)=
7. 在极坐标系中，点(2,3
2
π) 到直线l ：3ρcos θ-4ρsin θ=3的距离为.
8.
在极坐标系中，点P (1,ππ2) 到曲线l :ρcos(θ+4) =
上的点的最短距离为．
9. 已知直线l :ρcos θ-ρsin θ=4，圆C :ρ=4cos θ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）
10. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。
11. 在极坐标系中，直线ρ(sinθ-cos θ) =2被圆ρ=4sin θ
截得的弦长为
12. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 上
两点M , N 的极坐标分别为(2, 0), (2π
⎧x =2+2cos θ3, 2) ，圆C 的参数方程⎨
θ
(θ为参数）。 ⎩y =-3+2sin （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
⎧的极坐标方程是x =-313. 已知曲线C
t ρ=2sin θ，设直线L 的参数方程是⎪⎨5+2, ． ⎪⎩
y =4（t 为参数）5t
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
1. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2,π
6
) 到直线l 的距离为 ．
2. 已知曲线C C ρ=4cos θ(ρ≥0,0≤θ
1, 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3, 2) ，则曲线C 1 C 2交点的极坐
标为 ．
3. 若直线⎧⎨x =1-2t
=2+3t （t 为参数）与直线4x +ky =1垂直，则常数k =________．
⎩y
4. 在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π) 中，曲线ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为 ．
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P 、Q 都在曲线C :⎨
⎧x =2cos β,
⎩
y =2sin β（β为参数）上，对应参数分别为β=α与α=2πM （0
M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，
θ∈⎡⎢⎣0, 2⎤⎥
⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D
处的切线与直线l :y =+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：x 2y 2
⎧x =2+t 4+9=1，直线l ：⎨
（t 为参数）. ⎩
y =2-2t (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 2
2
1:x =-2，圆C 2：(x -1)+(y -2)=1, 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求C 1，C 2的极坐标方程； （II ） 若直线C π
3的极坐标方程为θ=
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M , N , 求 C 2MN 的面积
（23）在直角坐标系xOy 中，曲线C ⎧x =t cos α,
1：⎨
（t 为参数，t ≠0）其中0≤α π，在以O 为极点，x 轴
⎩y =t sin ∂,
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，C 3
：ρ=θ. (Ⅰ). 求C 2与C 3交点的直角坐标；
(Ⅱ). 若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
（23） 已知曲线C 1的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
1. 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2-5x +6=0的根。
⎧a ⎫
（I ）求{a n }的通项公式； （II ）求数列⎨n 的前n 项和. n ⎬2⎩⎭
22. S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n ＞0，a n +a n =错误！未找到引用源。.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}的前n 项和
极坐标及参数方程
1. 极坐标系的概念：
2．有序数对(ρ, θ) 叫做点M 的极坐标，记为M (ρ, θ) . 3. 极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
（1）圆(x -a ) 2
+(y -b ) 2
=r 2
的参数方程可表示为 ⎧⎨x =a +r c o θ
s , ⎩
y =b +r s i n θ. (θ为参数) .
2）椭圆x 2y 2
（a b (a >b >0) 的参数方程可表示为⎧⎨x =a cos ϕ, 2+2=1⎩y =b sin ϕ.
(ϕ为参数) .
（3）经过点M y ⎧x =x o +t cos α,
O (x o , o ) ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎨⎩y =y （t 为参数）.
o +t sin α.
极坐标方程典型例题
1. 点(2，-2)的极坐标为
2. 已知圆C ：(x +1) 2+(y 2=1，则圆心C 的极坐标为_______(ρ>0, 0≤θ
3. 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4. 化极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0为直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y =1 B ．x =1 C ．x 2+y 2=0或x =1 D ．y =1
5. 极坐标ρ=cos(π
4
-θ) 表示的曲线是( )
A. 双曲线 B.椭圆 C. 抛物线
D. 圆
6. 极点到直线ρ(cos θ+sin θ)=
7. 在极坐标系中，点(2,3
2
π) 到直线l ：3ρcos θ-4ρsin θ=3的距离为.
8.
在极坐标系中，点P (1,ππ2) 到曲线l :ρcos(θ+4) =
上的点的最短距离为．
9. 已知直线l :ρcos θ-ρsin θ=4，圆C :ρ=4cos θ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）
10. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。
11. 在极坐标系中，直线ρ(sinθ-cos θ) =2被圆ρ=4sin θ
截得的弦长为
12. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 上
两点M , N 的极坐标分别为(2, 0), (2π
⎧x =2+2cos θ3, 2) ，圆C 的参数方程⎨
θ
(θ为参数）。 ⎩y =-3+2sin （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
⎧的极坐标方程是x =-313. 已知曲线C
t ρ=2sin θ，设直线L 的参数方程是⎪⎨5+2, ． ⎪⎩
y =4（t 为参数）5t
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
1. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2,π
6
) 到直线l 的距离为 ．
2. 已知曲线C C ρ=4cos θ(ρ≥0,0≤θ
1, 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3, 2) ，则曲线C 1 C 2交点的极坐
标为 ．
3. 若直线⎧⎨x =1-2t
=2+3t （t 为参数）与直线4x +ky =1垂直，则常数k =________．
⎩y
4. 在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π) 中，曲线ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为 ．
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P 、Q 都在曲线C :⎨
⎧x =2cos β,
⎩
y =2sin β（β为参数）上，对应参数分别为β=α与α=2πM （0
M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，
θ∈⎡⎢⎣0, 2⎤⎥
⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D
处的切线与直线l :y =+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：x 2y 2
⎧x =2+t 4+9=1，直线l ：⎨
（t 为参数）. ⎩
y =2-2t (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 2
2
1:x =-2，圆C 2：(x -1)+(y -2)=1, 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求C 1，C 2的极坐标方程； （II ） 若直线C π
3的极坐标方程为θ=
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M , N , 求 C 2MN 的面积
（23）在直角坐标系xOy 中，曲线C ⎧x =t cos α,
1：⎨
（t 为参数，t ≠0）其中0≤α π，在以O 为极点，x 轴
⎩y =t sin ∂,
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，C 3
：ρ=θ. (Ⅰ). 求C 2与C 3交点的直角坐标；
(Ⅱ). 若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
（23） 已知曲线C 1的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
1. 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2-5x +6=0的根。
⎧a ⎫
（I ）求{a n }的通项公式； （II ）求数列⎨n 的前n 项和. n ⎬2⎩⎭
22. S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n ＞0，a n +a n =错误！未找到引用源。.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}的前n 项和