析函数图像恒过定点

在中考或竞赛试题中，时有求解（或证明）某函数图像恒过定点的问题。这类问题看似无处着手，难以解决，而实际上只要掌握了方法，解答起来并不困难。下面介绍两种求解此类问题的方法，供大家参考。

题：（2001年北京市西城区中考题）无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2-m ) x +m 的图像总过的点是（）

A. （1，3） B. （1，0）

C. （－1，3） D. （－1，0）

一、特殊值法

依据：二次函数y =x 2+(2-m ) x +m 的图像随着m 的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：

y =x 2+2x ，y =x 2+2。

⎧y =x 2+2x ，⎪ 联立方程组⎨ 2⎪⎩y =x +2

⎧x =1 解得⎨ y =3⎩

把x =1，y =3代入y =x 2+(2-m ) x +m 中，无论m 为何值，等式总成立。所以，抛物线群y =x 2+(2-m ) x +m 中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。故应选A 。

二、变换主元法

依据：一元一次方程ax =b 的解有三种情形：

（1）当a ≠0时，方程有惟一解：x =b ； a

（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；

（3）当a=0，b ≠0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m 的值无关，相当于关于m 的一元一次方程am=b（a 、b 为含x 、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：将其二次函数整理变形为：

(x -1) m =x +2x -y ① 2

⎧x -1=0，令⎨2⎩x +2x -y =0⎧x =1解得⎨ y =3⎩

所以，无论m 为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。故应选A 。