教学过程
一、复习预习
（1）菱形的定义，判定和性质分别是什么？ （2）如何判定一个图形是菱形？
（3）菱形的面积如何计算，它和边，对角线等之间的关系是什么？
二、知识讲解
考点/易错点1
利用菱形的判定与性质求菱形的边长，对角线的长及菱形的面积和周长，有关试题出现在选择题或填空题中。
考点/易错点2
利用菱形的判定条件来证明菱形，有关类似问题在中考试题中出现的频率非常高，多为填空题或解答题。
考点/易错点3
菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形（直角三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。这类题目在中考试题中常出现，主要考察学生的几何综合能力及图形转化能力。
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知菱形ABCD 的对角线AC 长为16，BD 长为12求它的面积。边长AB 及高。
【答案】解：∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC，OD=OB
又∵AC=16 BD=12 ∴OD=6 AO=8 ∴∴AB=10
∵∴
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得积等于对角线乘积的一半，同时也等于
【例题2】
乘
的长，再根据菱形的面
边上的高即可求得高。
【题干】如图所示，在菱形ABCD 中，已知E 是BC 上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，
求证：BE=AF．
【答案】∵菱形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠EAD=∠BEA ，
∵∠EAD=2∠BAE ，∴∠BEA=2∠BAE ， ∵AE=AB，∴∠ABE=∠BEA ， 设∠BAE=x，则∠ABE=∠BEA=2x， 则5x=180°，解得x=36°， ∴∠BAE=36°，∠ABE=∠BEA=72°， ∵菱形ABCD ，∴AD=AB，∴∠ABD=∠ADB ， ∵AD ∥BC ∴∠ADB=∠FBE ， ∴∠ABD=∠FBE=36°，∴∠BFE=72°， ∵∠BFE=∠BEA=72°， ∴BE=AF．
【解析】试题分析：根据菱形的性质可得AD ∥BC ，即得∠EAD=∠BEA ，再结合AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，根据三角形的内角和为180°即可证得结果。
【例题3】
【题干】如图，已知O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥DB 。DE 与CE 相交于E 求证：四边形OCED 为菱形。
【答案】解：∵DE ∥AC ∴DE ∥OC 同理CE ∥OD ∴OCED 为平行四边形 ∵ABCD 为矩形 AC、BD 相交于O ∴OA=OC OD=OB且AC=BD ∴OD=OC ∴OCED 为菱形。
【解析】由DE ∥AC ，CE ∥DB 可得OCED 为平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分可得OD=OC，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证得结果。
四、课堂运用
【基础】
1. 如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠ABC=60°，则AC ：BD 等于（ ）
A ．
：1 B．1：2 C．
：3 D．1：2
【解析】∵菱形ABCD ， ∴AB=BC，∠AOB=90°， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AO ：BO=1：
=
：3，
∴AC ：BD=2AO：2BO= AO：BO=故选C.
：3，
2. 若菱形ABCD 的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC 的度数是（ ） A ．120° B．60° C．30° D．150°
【解析】试题分析：根据菱形的性质结合对角线AC=2，可得△ABC 是等边三角形，即可得到结果.
∵菱形ABCD 的周长为8， ∴AB=BC=2，∵AC=2， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°，故选B. …… 【巩固】
1. 如图，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，BE=CE，AD=4cm.
(1)求菱形ABCD 的各角的度数； (2)求AE 的长.
解：(1)如图，连结AC ，
∵AE ⊥BC 于点E ，BE=CE，即AE 垂直且平分线段BC ， ∴AC=AB(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) ， 又∵BC=AB(菱形的四边相等) ， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠B=60°， ∵AD ∥BC ，
∴∠BAD=180-60°=120°(两直线平行，同旁内角互补) ， ∴∠D=∠B=60°，∠BCD=∠BAD=120°(菱形的对角相等) ， 即菱形ABCD 的各角的度数分别为: 60°、120°、60°、120°； (2)∵菱形的四边相等， ∴BC=AB=AD=4cm， 又∵BE=CE， ∴BE=2cm， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=
2. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，若将△ABC 沿AB 方向平移线段AB 的长得到△BDE.
=
=
=2
cm.
（1）试判断四边形BDEC 的形状，并说明理由； （2）试说明AC 与CD 垂直.
解：(1)四边形BDEC 是菱形.
∵△ABC 沿AB 方向平移AB 长得到△BDE ∴
CB//ED,CB=ED
∴四边形BDEC 是平行四边形 ∵AB ＝BC AB=BD ∴BD ＝BC ，
∴四边形BDEC 为菱形. （2）AC ⊥CD.
证明：∵四边形BDEC 为菱形 ∴BE ⊥CD
∵△ABC 沿AB 方向平移AB 长得到△BDE ∴AC ∥BE ∴AC ⊥CD.
【拔高】
1. 已知：平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于的方程
的两
个实数根． （1）当
为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB=2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？ 解: （1）若四边形ABCD 是菱形 则AB ＝AD
又∵AB 、AD 的长是方程的两个实数根 ∴即
∴∴
此时方程可化为：
∴
∴当时，四边形ABCD 是菱形，菱形的边长为
（2）∵AB ＝2
即此时方程的一个根为2 ∴把
代入
得：
∴∴
即此时平行四边形相邻的两边长分别为：2，∴平行四边形的周长为5
2. 动手操作：在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二）．
（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？
解 ： （1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形. 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC. ∴∠DAC=∠
ACB.
又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ，
∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB. ∴AE="EC=CF=FA." ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：方案二：设BE=x，则∴
由AECF 是菱形，得AE =CE，∴∴∵
2
2
.
， .
，解得
.
.
∴方案二小明同学所折的菱形面积较大．
课程小结
（1）在使用菱形的判定与性质解决问题时，要熟记菱形的判定与性质，菱形的性质和判
定的熟练掌握；
（2）利用菱形的性质综合解决问题, 要注意图形之间的转化。
课后作业
【基础】
如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是（ ）
A ．
D．8
解析：∵四边形ABCD 是菱形，AC=10，BD=24， ∴CO=
AC=5，BO=
BD=12，AO ⊥BO ，
∴，
∵，
，解得，
故选A. 【巩固】
在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且CE=CF
(1)求证：△ABE ≌△ADF
(2)过点C 作CG ‖EA 交AF 于点H, 交AD 于点G ，若∠BAE=25°, ∠BCD=130°, 求∠AHC 的度数。
解：（1）根据菱形的性质，可以得出如下 ∵菱形ABCD ，∴AB=CD,BC=AD,∠B=∠D 又∵CE=CF, ∴BE=DF
根据全等三角形的判定，边角边 ∴△ABE ≌△ADF （2）如图：
根据菱形的性质
∵∠BCD=130°, ∴∠BAD=130°, ∵∠BAE=∠DAF=25°, ∴∠EAF=130°－50°=80°
根据平行线的性质
又∵CG ∥AE, ∠EAH=∠AHG
∴∠AHC=180°－∠EAH=180°－80°=100°
【拔高】
已知，如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC.
(1)求证：BE=DG；
(2)∠若B=60°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.
证明：（1）∵四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
(2）当． 时，四边形是菱形． ， ． 是． 边上的高，且． ． 是由沿方向平移而成． 是平行四边形，
∵
∴四边形
∵
∴
∴，， 是平行四边形． 中，， ．
，
11
∵， ∴．
∴． ∴四边形是菱形．
课后评价
12
教学过程
一、复习预习
（1）菱形的定义，判定和性质分别是什么？ （2）如何判定一个图形是菱形？
（3）菱形的面积如何计算，它和边，对角线等之间的关系是什么？
二、知识讲解
考点/易错点1
利用菱形的判定与性质求菱形的边长，对角线的长及菱形的面积和周长，有关试题出现在选择题或填空题中。
考点/易错点2
利用菱形的判定条件来证明菱形，有关类似问题在中考试题中出现的频率非常高，多为填空题或解答题。
考点/易错点3
菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形（直角三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。这类题目在中考试题中常出现，主要考察学生的几何综合能力及图形转化能力。
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知菱形ABCD 的对角线AC 长为16，BD 长为12求它的面积。边长AB 及高。
【答案】解：∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC，OD=OB
又∵AC=16 BD=12 ∴OD=6 AO=8 ∴∴AB=10
∵∴
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得积等于对角线乘积的一半，同时也等于
【例题2】
乘
的长，再根据菱形的面
边上的高即可求得高。
【题干】如图所示，在菱形ABCD 中，已知E 是BC 上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，
求证：BE=AF．
【答案】∵菱形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠EAD=∠BEA ，
∵∠EAD=2∠BAE ，∴∠BEA=2∠BAE ， ∵AE=AB，∴∠ABE=∠BEA ， 设∠BAE=x，则∠ABE=∠BEA=2x， 则5x=180°，解得x=36°， ∴∠BAE=36°，∠ABE=∠BEA=72°， ∵菱形ABCD ，∴AD=AB，∴∠ABD=∠ADB ， ∵AD ∥BC ∴∠ADB=∠FBE ， ∴∠ABD=∠FBE=36°，∴∠BFE=72°， ∵∠BFE=∠BEA=72°， ∴BE=AF．
【解析】试题分析：根据菱形的性质可得AD ∥BC ，即得∠EAD=∠BEA ，再结合AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，根据三角形的内角和为180°即可证得结果。
【例题3】
【题干】如图，已知O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥DB 。DE 与CE 相交于E 求证：四边形OCED 为菱形。
【答案】解：∵DE ∥AC ∴DE ∥OC 同理CE ∥OD ∴OCED 为平行四边形 ∵ABCD 为矩形 AC、BD 相交于O ∴OA=OC OD=OB且AC=BD ∴OD=OC ∴OCED 为菱形。
【解析】由DE ∥AC ，CE ∥DB 可得OCED 为平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分可得OD=OC，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证得结果。
四、课堂运用
【基础】
1. 如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠ABC=60°，则AC ：BD 等于（ ）
A ．
：1 B．1：2 C．
：3 D．1：2
【解析】∵菱形ABCD ， ∴AB=BC，∠AOB=90°， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AO ：BO=1：
=
：3，
∴AC ：BD=2AO：2BO= AO：BO=故选C.
：3，
2. 若菱形ABCD 的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC 的度数是（ ） A ．120° B．60° C．30° D．150°
【解析】试题分析：根据菱形的性质结合对角线AC=2，可得△ABC 是等边三角形，即可得到结果.
∵菱形ABCD 的周长为8， ∴AB=BC=2，∵AC=2， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°，故选B. …… 【巩固】
1. 如图，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，BE=CE，AD=4cm.
(1)求菱形ABCD 的各角的度数； (2)求AE 的长.
解：(1)如图，连结AC ，
∵AE ⊥BC 于点E ，BE=CE，即AE 垂直且平分线段BC ， ∴AC=AB(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) ， 又∵BC=AB(菱形的四边相等) ， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠B=60°， ∵AD ∥BC ，
∴∠BAD=180-60°=120°(两直线平行，同旁内角互补) ， ∴∠D=∠B=60°，∠BCD=∠BAD=120°(菱形的对角相等) ， 即菱形ABCD 的各角的度数分别为: 60°、120°、60°、120°； (2)∵菱形的四边相等， ∴BC=AB=AD=4cm， 又∵BE=CE， ∴BE=2cm， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=
2. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，若将△ABC 沿AB 方向平移线段AB 的长得到△BDE.
=
=
=2
cm.
（1）试判断四边形BDEC 的形状，并说明理由； （2）试说明AC 与CD 垂直.
解：(1)四边形BDEC 是菱形.
∵△ABC 沿AB 方向平移AB 长得到△BDE ∴
CB//ED,CB=ED
∴四边形BDEC 是平行四边形 ∵AB ＝BC AB=BD ∴BD ＝BC ，
∴四边形BDEC 为菱形. （2）AC ⊥CD.
证明：∵四边形BDEC 为菱形 ∴BE ⊥CD
∵△ABC 沿AB 方向平移AB 长得到△BDE ∴AC ∥BE ∴AC ⊥CD.
【拔高】
1. 已知：平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于的方程
的两
个实数根． （1）当
为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB=2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？ 解: （1）若四边形ABCD 是菱形 则AB ＝AD
又∵AB 、AD 的长是方程的两个实数根 ∴即
∴∴
此时方程可化为：
∴
∴当时，四边形ABCD 是菱形，菱形的边长为
（2）∵AB ＝2
即此时方程的一个根为2 ∴把
代入
得：
∴∴
即此时平行四边形相邻的两边长分别为：2，∴平行四边形的周长为5
2. 动手操作：在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二）．
（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？
解 ： （1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形. 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC. ∴∠DAC=∠
ACB.
又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ，
∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB. ∴AE="EC=CF=FA." ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：方案二：设BE=x，则∴
由AECF 是菱形，得AE =CE，∴∴∵
2
2
.
， .
，解得
.
.
∴方案二小明同学所折的菱形面积较大．
课程小结
（1）在使用菱形的判定与性质解决问题时，要熟记菱形的判定与性质，菱形的性质和判
定的熟练掌握；
（2）利用菱形的性质综合解决问题, 要注意图形之间的转化。
课后作业
【基础】
如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是（ ）
A ．
D．8
解析：∵四边形ABCD 是菱形，AC=10，BD=24， ∴CO=
AC=5，BO=
BD=12，AO ⊥BO ，
∴，
∵，
，解得，
故选A. 【巩固】
在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且CE=CF
(1)求证：△ABE ≌△ADF
(2)过点C 作CG ‖EA 交AF 于点H, 交AD 于点G ，若∠BAE=25°, ∠BCD=130°, 求∠AHC 的度数。
解：（1）根据菱形的性质，可以得出如下 ∵菱形ABCD ，∴AB=CD,BC=AD,∠B=∠D 又∵CE=CF, ∴BE=DF
根据全等三角形的判定，边角边 ∴△ABE ≌△ADF （2）如图：
根据菱形的性质
∵∠BCD=130°, ∴∠BAD=130°, ∵∠BAE=∠DAF=25°, ∴∠EAF=130°－50°=80°
根据平行线的性质
又∵CG ∥AE, ∠EAH=∠AHG
∴∠AHC=180°－∠EAH=180°－80°=100°
【拔高】
已知，如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC.
(1)求证：BE=DG；
(2)∠若B=60°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.
证明：（1）∵四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
(2）当． 时，四边形是菱形． ， ． 是． 边上的高，且． ． 是由沿方向平移而成． 是平行四边形，
∵
∴四边形
∵
∴
∴，， 是平行四边形． 中，， ．
，
11
∵， ∴．
∴． ∴四边形是菱形．
课后评价
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