九年级数学二次函数压轴题
1．（10分）某商店销售一种商品，每件的进价为2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你分析，销售单价多少时，可以获利最大？ 2．（12分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．
小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价﹣进价）×销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表： 销售单价x （元/kg） 10 11 13 销售量y （kg ）
（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在怎样的函数关系．并求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
3、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间每天的定价增加x 元。
⑴写出房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；
⑵写出该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；
⑶求该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
4．（本小题满分10分）
某产品每件成本10元 ，试销阶段每件产品的销售单价x （元 ∕ 件）与日销售量y （件）之间的关系如下表．
（2）求日销售利润w （元）与销售单价x （元 ∕ 件）之间的函数关系式；
（3）若规定销售单价不低于15元，且日销售量不少于120件，那么销售单价应定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
5．（本题满分6分）
某商场进行促销活动，规定凡在商场一次性消费200元以上的顾客可以参加一次摸奖活动，摸奖规则如下：一个不透明的袋子里装有红（1个）、黄（2个）、绿（4个）、白（18个）除颜色外其余完全相同的小球，充分摇匀后，从中摸出一个小球，如果摸出的球是红、黄或绿色小球，顾客就可以分别获得150元、100元、50元的现金. 如果不选择摸奖，则可以直接获得15元购物券. 有一名顾客本次购物225元.
（1） 这名顾客能否参加摸奖，摸奖获得现金的概率是多少？
（2） 请通过计算说明选择哪种方式更合算？
6．（本题满分10分）
某经销店代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每千克售价为260元时，月销售量为45千克．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每千克售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5千克．综合考虑各种因素，
每售出一千克建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每千克材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．
（1）当每千克售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；
（3）按照厂家的规定，每千克售价不得低于220元. 结合（2）中的函数关系式说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每千克多少元？此时最大利润是多少元？
7．（10分））如图，在四边形ABCD 中，∠BAC=∠ACD ，∠B=∠D ．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；点P 从B 点出发，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC运动，点Q 从B 点出发，以1cm/s的速度沿BC 方向运动，当一个点先到达点C 时另一点就停止运动．问从运动开始经过多少时间，△BPQ 的面积最大？
8、如图，已知二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过A （-2，-1），B （0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x 为何值时，y ＞0？
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线， 垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
9. （10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0) ，与y 轴交于C (0，-3) 点，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点. （1）求这个二次函数表达式；
（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ，
那么是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此 时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）是否存在点P ，使得四边形ACBP 的面积有最大值？若存在，求出此 时点P 的坐标及面积最大值；若不存在，请说明理由.
10．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ，C ，D 均在坐标系轴上，且点A 的坐标为（﹣2，0），点D 的坐标为（3，0）．过点A ，C ，D 的抛物线为y 1=ax+bx+c，
2
（1）求抛物线y 1=ax+bx+c的函数表达式；
（2）直线AB 的表达式为y 2=mx+n，且AB 与y 1的另一个交点为E ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）抛物线y 1=ax+bx+c的顶点为Q ，在直线AE 的下方，点P 为抛物线上的一个动点，当S △AQE =S△APE 时，求点P 的坐标．
2
2
11．（10分如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x ﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．
12.(本题10分)
已知抛物线y =1x 2+mx +n (n ≠0) 与直线y=x交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，OA=OB，BC ∥x 轴.
2(1) 抛物线的解析式；
(2) 设D 、E 是线段AB
上异于ＡＢ的两个动点（点Ｅ在点Ｄ的右上方），DE =线，交抛物线于Ｆ. 设点D 的横坐标为t ，△EDF 的面积为s ，把s 表示为t 的函数，并求自变量t 的取值范围；
(3) 在（2）的条件下，再过点E 作y 轴的平行线，交抛物线于G ，试问能不能适当选择点D 的位置，使EG=DF？如果能，求出此时点D 的坐标；如果不能，请说明理由.
（第12
13. 如图1，矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4，0）。
2
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点M 的坐标。
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）． ①当t=
11
时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 4
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，请求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．
14. （满分10分）：如图所示，二次函数y =(x +m ) +k 的图象，顶点坐标为M(1，－4).
（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使S ∆PAB =
2
5
S ∆MAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理4
由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y =x +b (b
15
y
A O B
x
. （10分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为(-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；
（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD , 交抛物线于点F , 是否存在实数a 使四边形
BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.
16. （满分15分）如图12，经过原点的抛物线y =-x 2-2mx (m ＞1) 与x 轴的另一个交点为A ．过点P (-1,m ) 作直线
PD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点B ，BC ∥x 轴交抛物线于点C ． （1）当m =2时.
① 求线段BC 的长及直线AB 所对应的函数关系式；
② 若动点Q 在直线AB 上方的抛物线上运动，求点Q 在何处时，△QAB 的面积最大； ③ 若点F 在坐标轴上，且PF =PC ，请直接写出符合条件的点F 的坐标； （2）当m ＞1时，连结CA 、CP . 当m 为何值时，CA ⊥CP ？（这一问用相似暂不做）
17．（本题13分）如图13，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴
于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；
（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线
的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD 。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。（暂不做）
18.(本题满分12分) 如果一条抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”． （1）若抛物线
y =ax 2+bx +c (a ≠0)
与x 轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱
形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；
（2）如图，四边形OABC 是抛物线y =-x +bx （b ＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB ＝60°
①求“抛物菱形OABC”的面积.
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O 重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB 、BC 交于E 、F, △OEF 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF 的面积；若不存在，说明理由．
19．（本题满分12分）如果一条抛物线y ＝ax ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是____________三角形；
2
（2）若抛物线y ＝－x ＋bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；
2
2
（3）如图，△OAB 是抛物线y ＝－x ＋b ′（x b ′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
2
（4）若抛物线y =-x 2+4mx -8m +4与直线y ＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m 的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长。若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由。
20. （本题12分）如图，已知抛物线y =-x 2+2x +1-m 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点
C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ． （1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得
△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．已知，如图22-11抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左
侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22. （10分）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+(2k -1) x +k +1的图象与x 轴相交于O 、A 两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6。 求点B 的坐标；
（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若 存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积，若不存在，请说明理由。（暂不做，需用相似）
23. 如图1，已知抛物线的方程C1：y =-
在点C 的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m 的值；并求△BCE 的面积；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F ，使得
以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
24．（本题10分）如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线l ：y=x-5.
（1） 求抛物线顶点A 的坐标；
（2） 设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；
1
(x +2)(x -m ) (m＞0) 与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B m
（3） 在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P 的坐
标；若不存在，请说明理由。
25. （满分12分）如图，二次函数的图象顶点M （2，0），直线AB 与该二
次函数的图象交于A （0，2），B （6，8）两点。 （1）求该直线AB 的表达式和抛物线的表达式；
（2）P 为线段AB 上一动点（A , B 两端点除外），过点P 作
x 轴的垂线与二次函数的图象交于点Q ，设线段PQ 的长为 为 Z ，点P (x , y 1) ，Q (x , y 2) ，求Z 与x 之间的函数表 达式，并求出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在一点P ，使得四边
形PQMA 为梯形。若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
26. (12分) 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，DC =5，AB =42，∠B =45︒动点M 从B
点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）填空；梯形ABCD 的高= ，BC = 。 （2）当MN ∥AB 时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
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M
C
D
B
C
27. （满分13分）如图，直线y=－
1
x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x交于点C ．在线段OA 上，2
动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒.
（1）点F 的坐标（ ， ），点E 的坐标（ ， ）； （2）当t 为多少秒时，四边形 PEFQ 为正方形？
（3）设矩形PEFQ 的面积S ，求s 与t 的函数表达式，并求当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．
28. （满分13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0) ，B （-3，0）两点，与y 轴交于点C(0，3) ，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在一点M ， 使得S △MAP =2S△ACP ，若存在，
求出M 点坐标；若不存在，请说明理由． 29. （14分）如图，抛物线y =（1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合）。过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点
D 。设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；
此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．（（2）（3）两问用相似暂不做）
30．（本小题满分12分） 如图12，已知抛物线y ＝-x 2＋bx ＋ｃ与一直线相交于A （-1,0）
，
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123
x -x -9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ． 22
C （2,3）两点，与y 轴交与点N 其顶点为D 。 （1求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求直线AC 的解析式；
（3）设点M （3，m ），求使MN+MD的值最小时m 的值；
（4）若抛物线对称轴与直线AC 相交于点B ， 直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B ；上下平移多少个单位时过点B ；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接．．写出满足条件的所有点P 的坐标； ．．
（3）如图②，连结AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、
B 不重合），过点E 作EF ∥AC
交线段BC 于点F ，连结CE ，记△CEF 的面积为S
，求出S 的最大值及此时E 点的坐标. （用相似）
图①
第31题
图②
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九年级数学二次函数压轴题
1．（10分）某商店销售一种商品，每件的进价为2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你分析，销售单价多少时，可以获利最大？ 2．（12分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．
小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 【利润=（销售价﹣进价）×销售量】 （1）请根据他们的对话填写下表： 销售单价x （元/kg） 10 11 13 销售量y （kg ）
（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在怎样的函数关系．并求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
3、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间每天的定价增加x 元。
⑴写出房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；
⑵写出该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；
⑶求该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
4．（本小题满分10分）
某产品每件成本10元 ，试销阶段每件产品的销售单价x （元 ∕ 件）与日销售量y （件）之间的关系如下表．
（2）求日销售利润w （元）与销售单价x （元 ∕ 件）之间的函数关系式；
（3）若规定销售单价不低于15元，且日销售量不少于120件，那么销售单价应定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
5．（本题满分6分）
某商场进行促销活动，规定凡在商场一次性消费200元以上的顾客可以参加一次摸奖活动，摸奖规则如下：一个不透明的袋子里装有红（1个）、黄（2个）、绿（4个）、白（18个）除颜色外其余完全相同的小球，充分摇匀后，从中摸出一个小球，如果摸出的球是红、黄或绿色小球，顾客就可以分别获得150元、100元、50元的现金. 如果不选择摸奖，则可以直接获得15元购物券. 有一名顾客本次购物225元.
（1） 这名顾客能否参加摸奖，摸奖获得现金的概率是多少？
（2） 请通过计算说明选择哪种方式更合算？
6．（本题满分10分）
某经销店代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每千克售价为260元时，月销售量为45千克．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每千克售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5千克．综合考虑各种因素，
每售出一千克建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每千克材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．
（1）当每千克售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；
（3）按照厂家的规定，每千克售价不得低于220元. 结合（2）中的函数关系式说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每千克多少元？此时最大利润是多少元？
7．（10分））如图，在四边形ABCD 中，∠BAC=∠ACD ，∠B=∠D ．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；点P 从B 点出发，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC运动，点Q 从B 点出发，以1cm/s的速度沿BC 方向运动，当一个点先到达点C 时另一点就停止运动．问从运动开始经过多少时间，△BPQ 的面积最大？
8、如图，已知二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过A （-2，-1），B （0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x 为何值时，y ＞0？
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线， 垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
9. （10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0) ，与y 轴交于C (0，-3) 点，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点. （1）求这个二次函数表达式；
（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ，
那么是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此 时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）是否存在点P ，使得四边形ACBP 的面积有最大值？若存在，求出此 时点P 的坐标及面积最大值；若不存在，请说明理由.
10．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ，C ，D 均在坐标系轴上，且点A 的坐标为（﹣2，0），点D 的坐标为（3，0）．过点A ，C ，D 的抛物线为y 1=ax+bx+c，
2
（1）求抛物线y 1=ax+bx+c的函数表达式；
（2）直线AB 的表达式为y 2=mx+n，且AB 与y 1的另一个交点为E ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）抛物线y 1=ax+bx+c的顶点为Q ，在直线AE 的下方，点P 为抛物线上的一个动点，当S △AQE =S△APE 时，求点P 的坐标．
2
2
11．（10分如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x ﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．
12.(本题10分)
已知抛物线y =1x 2+mx +n (n ≠0) 与直线y=x交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，OA=OB，BC ∥x 轴.
2(1) 抛物线的解析式；
(2) 设D 、E 是线段AB
上异于ＡＢ的两个动点（点Ｅ在点Ｄ的右上方），DE =线，交抛物线于Ｆ. 设点D 的横坐标为t ，△EDF 的面积为s ，把s 表示为t 的函数，并求自变量t 的取值范围；
(3) 在（2）的条件下，再过点E 作y 轴的平行线，交抛物线于G ，试问能不能适当选择点D 的位置，使EG=DF？如果能，求出此时点D 的坐标；如果不能，请说明理由.
（第12
13. 如图1，矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4，0）。
2
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点M 的坐标。
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）． ①当t=
11
时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 4
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，请求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．
14. （满分10分）：如图所示，二次函数y =(x +m ) +k 的图象，顶点坐标为M(1，－4).
（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使S ∆PAB =
2
5
S ∆MAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理4
由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y =x +b (b
15
y
A O B
x
. （10分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为(-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；
（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD , 交抛物线于点F , 是否存在实数a 使四边形
BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.
16. （满分15分）如图12，经过原点的抛物线y =-x 2-2mx (m ＞1) 与x 轴的另一个交点为A ．过点P (-1,m ) 作直线
PD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点B ，BC ∥x 轴交抛物线于点C ． （1）当m =2时.
① 求线段BC 的长及直线AB 所对应的函数关系式；
② 若动点Q 在直线AB 上方的抛物线上运动，求点Q 在何处时，△QAB 的面积最大； ③ 若点F 在坐标轴上，且PF =PC ，请直接写出符合条件的点F 的坐标； （2）当m ＞1时，连结CA 、CP . 当m 为何值时，CA ⊥CP ？（这一问用相似暂不做）
17．（本题13分）如图13，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴
于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；
（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线
的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD 。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。（暂不做）
18.(本题满分12分) 如果一条抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”． （1）若抛物线
y =ax 2+bx +c (a ≠0)
与x 轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱
形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；
（2）如图，四边形OABC 是抛物线y =-x +bx （b ＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB ＝60°
①求“抛物菱形OABC”的面积.
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O 重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB 、BC 交于E 、F, △OEF 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF 的面积；若不存在，说明理由．
19．（本题满分12分）如果一条抛物线y ＝ax ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是____________三角形；
2
（2）若抛物线y ＝－x ＋bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；
2
2
（3）如图，△OAB 是抛物线y ＝－x ＋b ′（x b ′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
2
（4）若抛物线y =-x 2+4mx -8m +4与直线y ＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m 的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长。若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由。
20. （本题12分）如图，已知抛物线y =-x 2+2x +1-m 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点
C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ． （1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得
△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．已知，如图22-11抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左
侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22. （10分）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+(2k -1) x +k +1的图象与x 轴相交于O 、A 两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6。 求点B 的坐标；
（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若 存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积，若不存在，请说明理由。（暂不做，需用相似）
23. 如图1，已知抛物线的方程C1：y =-
在点C 的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m 的值；并求△BCE 的面积；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F ，使得
以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
24．（本题10分）如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线l ：y=x-5.
（1） 求抛物线顶点A 的坐标；
（2） 设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；
1
(x +2)(x -m ) (m＞0) 与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B m
（3） 在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P 的坐
标；若不存在，请说明理由。
25. （满分12分）如图，二次函数的图象顶点M （2，0），直线AB 与该二
次函数的图象交于A （0，2），B （6，8）两点。 （1）求该直线AB 的表达式和抛物线的表达式；
（2）P 为线段AB 上一动点（A , B 两端点除外），过点P 作
x 轴的垂线与二次函数的图象交于点Q ，设线段PQ 的长为 为 Z ，点P (x , y 1) ，Q (x , y 2) ，求Z 与x 之间的函数表 达式，并求出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在一点P ，使得四边
形PQMA 为梯形。若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
26. (12分) 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，DC =5，AB =42，∠B =45︒动点M 从B
点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）填空；梯形ABCD 的高= ，BC = 。 （2）当MN ∥AB 时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
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M
C
D
B
C
27. （满分13分）如图，直线y=－
1
x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x交于点C ．在线段OA 上，2
动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒.
（1）点F 的坐标（ ， ），点E 的坐标（ ， ）； （2）当t 为多少秒时，四边形 PEFQ 为正方形？
（3）设矩形PEFQ 的面积S ，求s 与t 的函数表达式，并求当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．
28. （满分13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0) ，B （-3，0）两点，与y 轴交于点C(0，3) ，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在一点M ， 使得S △MAP =2S△ACP ，若存在，
求出M 点坐标；若不存在，请说明理由． 29. （14分）如图，抛物线y =（1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合）。过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点
D 。设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；
此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．（（2）（3）两问用相似暂不做）
30．（本小题满分12分） 如图12，已知抛物线y ＝-x 2＋bx ＋ｃ与一直线相交于A （-1,0）
，
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x -x -9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ． 22
C （2,3）两点，与y 轴交与点N 其顶点为D 。 （1求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求直线AC 的解析式；
（3）设点M （3，m ），求使MN+MD的值最小时m 的值；
（4）若抛物线对称轴与直线AC 相交于点B ， 直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B ；上下平移多少个单位时过点B ；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接．．写出满足条件的所有点P 的坐标； ．．
（3）如图②，连结AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、
B 不重合），过点E 作EF ∥AC
交线段BC 于点F ，连结CE ，记△CEF 的面积为S
，求出S 的最大值及此时E 点的坐标. （用相似）
图①
第31题
图②
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