微积分下册知识点

第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、线性运算：加减法、数乘；

3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、利用坐标做向量的运算：设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，

则 a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz), λa=(λax,λay,λaz)；

5、向量的模、方向角、投影：

222r=x+y+z1）向量的模：

；

222

2）两点间的距离公式：AB=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)

3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角α,β,γ

xyz, cosβ=, cosγ= 4）方向余弦：cosα=rrr

cos2α+cos2β+cos2γ=1

5）投影：Prjua=acosϕ，其中ϕ

（二）数量积，向量积

为向量a与u的夹角。

1、数量积：a⋅b=abcosθ

21）a⋅a=a

2）a⊥b⇔a⋅b=0

a⋅b=axbx+ayby+azbz

2、向量积：c=a⨯b

大小：absinθ，方向：a,b,c符合右手规则

1）a⨯a=0

2）a//b⇔a⨯b=0

ijk

a⨯b=axayaz

bxbybz

运算律：反交换律 b⨯a=-a⨯b

（三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：S2、旋转曲面：

:f(x,y,z)=0

yoz面上曲线C:f(y,z)=0，

yf(y,±x+z)=0 绕轴旋转一周：

绕

z轴旋转一周：

f(±x2+y2,z)=0

3、柱面：

⎧⎪F(x,y)=0F(x,y)=0表示母线平行于z轴，准线为⎨的柱面

⎪⎩z=0

4、二次曲面（不考）

xy2

+=z1）椭圆锥面：2 ab2

x2y2z2

+2+2=1

2）椭球面：2

abcx2y2z2

+2+2=1

旋转椭球面：2

aac

x2y2z2

+2-2=1

3）单叶双曲面：2

abcx2y2z2

-2-2=1

4）双叶双曲面：2

abc

+2=z

5）椭圆抛物面：2

x2y2

-2=z

6）双曲抛物面（马鞍面）：2

abx2y2

+2=1

7）椭圆柱面：2

abxy

-2=1

8）双曲柱面：2

ab2

9）抛物柱面：x=ay

（四）空间曲线及其方程

⎧⎪F(x,y,z)=01、一般方程：⎨

⎪⎩G(x,y,z)=0

⎧x=x(t)⎧x=acost⎪⎪⎪⎪y=y(t)2、参数方程：⎨，如螺旋线：⎨y=asint ⎪⎪⎪⎪⎩z=z(t)⎩z=bt

3、空间曲线在坐标面上的投影

⎧⎧⎪F(x,y,z)=0⎪H(x,y)=0

⎨，消去z，得到曲线在面xoy上的投影⎨ ⎪⎪⎩G(x,y,z)=0⎩z=0

（五）平面及其方程

1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

法向量：n=(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、一般式方程：Ax+By+Cz+D=0

xyz

++=1 截距式方程：

abc

n=(A,B,C)n3、两平面的夹角：1111，2=(A2,B2,C2)， cosθ=

A1A2+B1B2+C1C2

A+B+C⋅A+B+C

∏1⊥∏2⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0

A1B1C1

=∏1//∏2⇔ =

A2B2C2

4、点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离：

Ax0+By0+Cz0+D

A+B+C

（六）空间直线及其方程

⎧⎪A1x+B1y+C1z+D1=0

1、一般式方程：⎨

⎪⎩A2x+B2y+C2z+D2=0

x-x0y-y0z-z0

==2、对称式（点向式）方程：mnp

s 方向向量：=(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

⎧x=x0+mt⎪⎪

y=y0+nt

3、参数式方程：⎨

⎪⎪⎩z=z0+pt

4、两直线的夹角：s1=(m1,n1,p1)，s2=(m2,n2,p2)， cosϕ=

m1m2+n1n2+p1p2m+n+p⋅m+n+p

L1⊥L2⇔ m1m2+n1n2+p1p2=0

m1n1p1

==L1//L2⇔

m2n2p2

5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

sinϕ=

Am+Bn+CpA+B+C⋅m+n+p

L//∏⇔ Am+Bn+Cp=0

ABC

L⊥∏⇔ ==

mnp

第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、多元函数：z=f(x,y)，图形：

f(x,y)=A 3、极限：(x,y)lim→(x,y)

f(x,y)=f(x0,y0) 4、连续：(x,y)lim→(x,y)

5、偏导数：

f( x0+∆x,y0)-f( x0,y0)

fx(x0,y0)=lim

∆x→0∆x

fy(x0,y0)=lim

∆y→0

f(x0,y0+∆y)-f(x0,y0)

∆y

6、方向导数：

7、梯度：z=f(x,y)，则gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j。

∂f∂f∂f

=cosα+cosβ其中α,β为∂l∂x∂y

的方向角。

∂z∂z

dx+dy 8、全微分：设z=f(x,y)，则dz=∂x∂y

（二）性质

1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

充分条件

2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、微分法

1）定义：u2）复合函数求导：链式法则若z

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)，则v y

∂z∂z∂u∂z∂v∂z∂z∂u∂z∂v

=⋅+⋅ =⋅+⋅，

∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y

3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用 1、极值

1）无条件极值：求函数z=f(x,y)的极值

⎧⎪fx=0解方程组 ⎨ 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令

⎪⎩fy=0

A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)，

① 若AC-B>0，A>0，函数有极小值， 2

若AC-B>0，A

② 若AC-B

③ 若AC-B=0，不定。

2）条件极值：求函数z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值令：L(x,y)=

f(x,y)+λϕ(x,y) ——— Lagrange函数

⎧Lx=0⎪⎪

L=0

解方程组 ⎨y

⎪⎪⎩ϕ(x,y)=0

2、几何应用

1）曲线的切线与法平面

⎧x=x(t)⎪⎪Γ:⎨y=y(t)，则Γ上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的曲线

⎪⎪⎩z=z(t)

x-x0y-y0z-z0

切线方程为：x'(t)=y'(t)=z'(t)

000

法平面方程为：x'(t0)(x-2）曲面的切平面与法线

x0)+y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0

曲面∑:F(x,y,z)=0，则∑上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0

x-x0y-y0z-z0

== 法线方程为：

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

第三章重积分

（一）二重积分（一般换元法不考）

1、定义：

f(ξ∑⎰⎰f(x,y)dσ=limλ

→0

k=1

,ηk)∆σk

2、性质：（6条）

3、几何意义：曲顶柱体的体积。 4、计算： 1）直角坐标

⎧ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)⎫D=⎨(x,y)⎬，

a≤x≤b⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰

dx⎰

φ2(x)

φ1(x)

f(x,y)dy

⎧φ1(y)≤x≤φ2(y)⎫

D=⎨(x,y)⎬，

c≤y≤d⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰

dy⎰

ϕ2(y)

ϕ1(y)

f(x,y)dx

2）极坐标

⎧ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ)⎫

D=⎨(ρ,θ)⎬

α≤θ≤β⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰αdθ⎰ρθ

ρ2(θ)

1()

f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

（二）三重积分 1、定义： 2、性质： 3、计算： 1）直角坐标

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=lim∑f(ξk,ηk,ζk)∆vk

λ→0

k=1

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰⎰dxdy⎰

z2(x,y)z1(x,y)

f(x,y,z)dz -------------“先一后二”

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰dz⎰⎰

f(x,y,z)dxdy -------------“先二后一”

2）柱面坐标

⎧x=ρcosθ⎪⎪

⎨y=ρsinθ，f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz ⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎪⎩z=z

3）球面坐标

⎧x=rsinϕcosθ⎪⎪

⎨y=rsinϕsinθ ⎪⎪⎩z=rcosϕ

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ

（三）应用曲面S:z

=f(x,y),(x,y)∈D的面积：

∂z2∂z2

1+()+()dxdy

∂x∂y

A=⎰⎰

第五章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：2、性质： 1） 2）

⎰

f(x,y)ds=lim∑f(ξi,ηi)⋅∆si

λ→0

i=1

⎰[αf(x,y)+β(x,y)]ds=α⎰

f(x,y)ds+β⎰g(x,y)ds.

⎰

f(x,y)ds=⎰f(x,y)ds+⎰f(x,y)ds. (L=L1+L2).

3）在L上，若

f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.

4）

⎰

ds=l ( l 为曲线弧 L的长度)

3、计算：

⎧⎪x=ϕ(t),

(α≤t≤β)，设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为⎨

⎪⎩y=ψ(t),

其中ϕ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且ϕ'(t)+ψ'(t)≠0，则

⎰

f(x,y)ds=⎰f[φ(t),ψ(tt ,(α

（二）对坐标的曲线积分

1、定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P(x,y)在 L 上有界，定义

，Q(x,

⎰

P(x,y)dx=lim∑P(ξk,ηk)∆xk

λ→0

k=1

，

∑Q(ξ⎰Q(x,y)dy=limλ

→0

k=1

,ηk)∆yk.

向量形式：

⎰

F⋅dr=⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy

2、性质：

用L表示L的反向弧 , 则⎰-F(x,y)⋅d=-⎰F(x,y)⋅d

3、计算：

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,

L的参数方程为

⎧⎪x=ϕ(t),

(t:α→β)，其中ϕ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且⎨

⎪⎩y=ψ(t),

ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0，则

⎰

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[φ(t),ψ(t)]φ'(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt

4、两类曲线积分之间的关系：

⎧⎪x=ϕ(t) ⎨设平面有向曲线弧为L：，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：⎪⎩y=ψ(t)

ψ'(t)ϕ'(t)

α,β，cosα=，cosβ=， 2222

'(t)+ψ'(t)'(t)+ψ'(t)

则

（三）格林公式

1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,y),Q(x,y)在

⎰

Pdx+Qdy=⎰(Pcosα+Qcosβ)ds.

⎛∂Q∂P⎫

D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰ ∂x-∂y⎪⎪dxdy=Pdx+Qdy

⎭D⎝L

2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则

∂Q∂P

= ⇔曲线积分 ⎰Pdx+Qdy在G内与路径无关 ∂x∂yL

⇔曲线积分 ⎰Pdx+Qdy=0

⇔ P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分

（四）对面积的曲面积分 1、定义：

设∑为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在∑上的一个有界函数，定义 ⎰⎰∑f(x,y,z)dS=lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆Si λ→0

i=1n

2、计算：———“一投二换三代入”

∑:z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，则

⎰⎰

∑

f(x,y,z)dS=⎰⎰

Dxy

f[x,y,z(x,y)]1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy

（五）对坐标的曲面积分

1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、定义：

设∑为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在∑上的有界函数，定义

⎰⎰

∑

R(x,y,z)dxdy=lim∑R(ξi,ηi,ζi)(∆Si)xy

λ→0

i=1

∑

同理，

⎰⎰

P(x,y,z)dydz=lim∑P(ξi,ηi,ζi)(∆Si)yz

λ→0

i=1

⎰⎰

∑

Q(x,y,z)dzdx=lim∑R(ξi,ηi,ζi)(∆Si)zx

λ→0

i=1

3、性质： 1）∑=∑1+∑2，则

⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+⎰⎰

∑∑1-

∑2

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

2）∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则4、计算：——“一投二代三定号”

⎰⎰

∑

Rdxdy=-⎰⎰Rdxdy

∑

∑:z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在

∑上连续，则

⎰⎰

∑

R(x,y,z)dxdy=±⎰⎰

Dxy

R[x,y,z(x,y)]dxdy,∑为上侧取“ + ”，

∑为下侧取“ - ”.

5、两类曲面积分之间的关系：

⎰⎰

∑

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

∑

其中α,β,γ为有向曲面∑在点(x,y,z)处的法向量的方向角。

（六）高斯公式

1、高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数P,Q,R在Ω上有连续的一阶偏导数,则有

⎛∂P∂Q∂R⎫⎰⎰⎰Ω ∂x+∂y+∂z⎪⎪dxdydz =∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

⎝⎭

⎛∂P∂Q∂R⎫或⎰⎰⎰Ω ∂x+∂y+∂z⎪⎪dxdydz =(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

⎝⎭∑

（七）斯托克斯公式

1、斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有

⎛∂R∂Q⎫⎛∂P∂R⎫⎛∂Q∂P⎫ ⎪ ⎪⎰⎰ ∂y-∂z⎪dydz+ ∂z-∂x⎪dzdx+ ∂x-∂y⎪⎪dxdy =ΓPdx+Qdy+Rdz

⎭⎝⎭⎝⎭∑⎝

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

⎰⎰

∑

dydzdzdxdxdy∂∂∂

=Pdx+Qdy+RdzΓ ∂x∂y∂z

PQR

第六章常微分方程 1、微分方程的基本概念

含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.

能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.

如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 2、典型的一阶微分方程

可分离变量的微分方程： g(y)dy=f(x)dx或

=h(x)g(y)dx

对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：

⎰g(y)dy=⎰f(x)dx

y'=ϕ() 或者x'=ψ() 2、齐次微分方程：

' 在齐次方程y=ϕ()中，令u=,可将其化为可分离方程

ydydu 令u=，则y=xu, =x+u,

xdxdx

代入微分方程即可。

(1)形如y'=f(ax+by+c)的方程.

u'-a

=f(u).b

u'=a+by',原方程可化为3、一阶线性微分方程

y'+p(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程。型如

-⎰p(x)dx

y=Ce。其对应的齐次线性微分方程的解为

利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解

-p(x)dxp(x)dx

y=e⎰( ⎰q(x)e⎰dx+C ) 。

4、伯努利方程： y'+p(x)y=q(x)yn ( n≠0, 1 )

将方程两端同除以yn,得⇒y-ny'+p(x)y1-n=q(x) ( n≠0, 1 ) dudydy1du令 u=y1-n，则=(1-n)y-n， y-n=⋅，

dxdxdx1-ndx

于是U的通解为：

-(1-n)p(x)dx(1-n)p(x)dx

u=e⎰( ⎰(1-n)q(x)e⎰ +C ) 。

5、全微分方程：

7、可降阶的高阶常微分方程（1） y(n)=f(x)型的微分方程

(n)(n-1) 6.4.2y=f(x,y)型的微分方程（2）

（3） 6.4.3y''=f(y,y')型的微分方程 8、线性微分方程解的结构

（1）函数组的线性无关和线性相关（2）线性微分方程的性质和解的结构

叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解（3）刘维尔公式

-p(x)dx

e⎰

y2(x)=y1(x) ⎰dx

y12

（4）二阶非齐线性微分方程解的结构

y=y1(x)+y*(x)

特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：

'(x)y1(x)+C2'(x)y2(x)=0 ，C1 '(x)y1'(x)+C2'(x)y2'(x)=f(x) 。C1 y*(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)

9、二阶常系数线性微分方程（1）齐次线性微分方程的通解

λ2+λp+q=0 。特征方程：

1) 特征方程有两个不同的实根 λ1≠λ2 ，则 y1=eλx， y2=eλx

其通解为：y=C1y1+C2y2=C1eλ1x+ C2e λ2x。

-p±p2-4qp2) 特征方程有实重根 λ1=λ2 ，则 λ1,2==-，

此时，y1=eλ1x 是方程 ( 1 ) 的一个解。再利用刘维尔公式求出另外一个线性无关的解即可3) 特征方程有一对共轭复根 λ1=α+iβ ， λ2=α-iβ ，则

y=C1y1+C2y2=C1e(α+iβ)x+C2e(α-iβ)x。或y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) 。

（2）二阶常系数非齐线性微分方程的特解

1. f(x)=eαxPn(x) 的情形

若a不是其特征方程的特征根，则 y*=eαxQn(x) 。若a是其特征方程的单特征根，则 y*=xeαxQn(x) 。

kαx

eQn(x) 。若a是其特征方程的K重特征根，则 y*=x

2. f(x)=eαx[P的情形, l(x)cosβx+Pn(x)sinβx]

(1)(2)

y*=xeαx[Qm(x)cosβx+Qm(x)sinβx] ; 当α±βi不是特征根时，方程的特解可设为

αx(1)(2)

当α±βi是特征根时，方程的特解可设为 y*=xe[Qm(x)cosβx+Qm(x)sinβx] ;

微积分下册知识点

第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、线性运算：加减法、数乘；

3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、利用坐标做向量的运算：设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，

则 a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz), λa=(λax,λay,λaz)；

5、向量的模、方向角、投影：

222r=x+y+z1）向量的模：

；

222

2）两点间的距离公式：AB=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)

3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角α,β,γ

xyz, cosβ=, cosγ= 4）方向余弦：cosα=rrr

cos2α+cos2β+cos2γ=1

5）投影：Prjua=acosϕ，其中ϕ

（二）数量积，向量积

为向量a与u的夹角。

1、数量积：a⋅b=abcosθ

21）a⋅a=a

2）a⊥b⇔a⋅b=0

a⋅b=axbx+ayby+azbz

2、向量积：c=a⨯b

大小：absinθ，方向：a,b,c符合右手规则

1）a⨯a=0

2）a//b⇔a⨯b=0

ijk

a⨯b=axayaz

bxbybz

运算律：反交换律 b⨯a=-a⨯b

（三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：S2、旋转曲面：

:f(x,y,z)=0

yoz面上曲线C:f(y,z)=0，

yf(y,±x+z)=0 绕轴旋转一周：

绕

z轴旋转一周：

f(±x2+y2,z)=0

3、柱面：

⎧⎪F(x,y)=0F(x,y)=0表示母线平行于z轴，准线为⎨的柱面

⎪⎩z=0

4、二次曲面（不考）

xy2

+=z1）椭圆锥面：2 ab2

x2y2z2

+2+2=1

2）椭球面：2

abcx2y2z2

+2+2=1

旋转椭球面：2

aac

x2y2z2

+2-2=1

3）单叶双曲面：2

abcx2y2z2

-2-2=1

4）双叶双曲面：2

abc

+2=z

5）椭圆抛物面：2

x2y2

-2=z

6）双曲抛物面（马鞍面）：2

abx2y2

+2=1

7）椭圆柱面：2

abxy

-2=1

8）双曲柱面：2

ab2

9）抛物柱面：x=ay

（四）空间曲线及其方程

⎧⎪F(x,y,z)=01、一般方程：⎨

⎪⎩G(x,y,z)=0

⎧x=x(t)⎧x=acost⎪⎪⎪⎪y=y(t)2、参数方程：⎨，如螺旋线：⎨y=asint ⎪⎪⎪⎪⎩z=z(t)⎩z=bt

3、空间曲线在坐标面上的投影

⎧⎧⎪F(x,y,z)=0⎪H(x,y)=0

⎨，消去z，得到曲线在面xoy上的投影⎨ ⎪⎪⎩G(x,y,z)=0⎩z=0

（五）平面及其方程

1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

法向量：n=(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、一般式方程：Ax+By+Cz+D=0

xyz

++=1 截距式方程：

abc

n=(A,B,C)n3、两平面的夹角：1111，2=(A2,B2,C2)， cosθ=

A1A2+B1B2+C1C2

A+B+C⋅A+B+C

∏1⊥∏2⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0

A1B1C1

=∏1//∏2⇔ =

A2B2C2

4、点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离：

Ax0+By0+Cz0+D

A+B+C

（六）空间直线及其方程

⎧⎪A1x+B1y+C1z+D1=0

1、一般式方程：⎨

⎪⎩A2x+B2y+C2z+D2=0

x-x0y-y0z-z0

==2、对称式（点向式）方程：mnp

s 方向向量：=(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

⎧x=x0+mt⎪⎪

y=y0+nt

3、参数式方程：⎨

⎪⎪⎩z=z0+pt

4、两直线的夹角：s1=(m1,n1,p1)，s2=(m2,n2,p2)， cosϕ=

m1m2+n1n2+p1p2m+n+p⋅m+n+p

L1⊥L2⇔ m1m2+n1n2+p1p2=0

m1n1p1

==L1//L2⇔

m2n2p2

5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

sinϕ=

Am+Bn+CpA+B+C⋅m+n+p

L//∏⇔ Am+Bn+Cp=0

ABC

L⊥∏⇔ ==

mnp

第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、多元函数：z=f(x,y)，图形：

f(x,y)=A 3、极限：(x,y)lim→(x,y)

f(x,y)=f(x0,y0) 4、连续：(x,y)lim→(x,y)

5、偏导数：

f( x0+∆x,y0)-f( x0,y0)

fx(x0,y0)=lim

∆x→0∆x

fy(x0,y0)=lim

∆y→0

f(x0,y0+∆y)-f(x0,y0)

∆y

6、方向导数：

7、梯度：z=f(x,y)，则gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j。

∂f∂f∂f

=cosα+cosβ其中α,β为∂l∂x∂y

的方向角。

∂z∂z

dx+dy 8、全微分：设z=f(x,y)，则dz=∂x∂y

（二）性质

1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

充分条件

2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、微分法

1）定义：u2）复合函数求导：链式法则若z

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)，则v y

∂z∂z∂u∂z∂v∂z∂z∂u∂z∂v

=⋅+⋅ =⋅+⋅，

∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y

3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用 1、极值

1）无条件极值：求函数z=f(x,y)的极值

⎧⎪fx=0解方程组 ⎨ 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令

⎪⎩fy=0

A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)，

① 若AC-B>0，A>0，函数有极小值， 2

若AC-B>0，A

② 若AC-B

③ 若AC-B=0，不定。

2）条件极值：求函数z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值令：L(x,y)=

f(x,y)+λϕ(x,y) ——— Lagrange函数

⎧Lx=0⎪⎪

L=0

解方程组 ⎨y

⎪⎪⎩ϕ(x,y)=0

2、几何应用

1）曲线的切线与法平面

⎧x=x(t)⎪⎪Γ:⎨y=y(t)，则Γ上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的曲线

⎪⎪⎩z=z(t)

x-x0y-y0z-z0

切线方程为：x'(t)=y'(t)=z'(t)

000

法平面方程为：x'(t0)(x-2）曲面的切平面与法线

x0)+y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0

曲面∑:F(x,y,z)=0，则∑上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0

x-x0y-y0z-z0

== 法线方程为：

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

第三章重积分

（一）二重积分（一般换元法不考）

1、定义：

f(ξ∑⎰⎰f(x,y)dσ=limλ

→0

k=1

,ηk)∆σk

2、性质：（6条）

3、几何意义：曲顶柱体的体积。 4、计算： 1）直角坐标

⎧ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)⎫D=⎨(x,y)⎬，

a≤x≤b⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰

dx⎰

φ2(x)

φ1(x)

f(x,y)dy

⎧φ1(y)≤x≤φ2(y)⎫

D=⎨(x,y)⎬，

c≤y≤d⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰

dy⎰

ϕ2(y)

ϕ1(y)

f(x,y)dx

2）极坐标

⎧ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ)⎫

D=⎨(ρ,θ)⎬

α≤θ≤β⎩⎭

⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰αdθ⎰ρθ

ρ2(θ)

1()

f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

（二）三重积分 1、定义： 2、性质： 3、计算： 1）直角坐标

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=lim∑f(ξk,ηk,ζk)∆vk

λ→0

k=1

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰⎰dxdy⎰

z2(x,y)z1(x,y)

f(x,y,z)dz -------------“先一后二”

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰dz⎰⎰

f(x,y,z)dxdy -------------“先二后一”

2）柱面坐标

⎧x=ρcosθ⎪⎪

⎨y=ρsinθ，f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰f(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz ⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎪⎩z=z

3）球面坐标

⎧x=rsinϕcosθ⎪⎪

⎨y=rsinϕsinθ ⎪⎪⎩z=rcosϕ

⎰⎰⎰

f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ

（三）应用曲面S:z

=f(x,y),(x,y)∈D的面积：

∂z2∂z2

1+()+()dxdy

∂x∂y

A=⎰⎰

第五章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：2、性质： 1） 2）

⎰

f(x,y)ds=lim∑f(ξi,ηi)⋅∆si

λ→0

i=1

⎰[αf(x,y)+β(x,y)]ds=α⎰

f(x,y)ds+β⎰g(x,y)ds.

⎰

f(x,y)ds=⎰f(x,y)ds+⎰f(x,y)ds. (L=L1+L2).

3）在L上，若

f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.

4）

⎰

ds=l ( l 为曲线弧 L的长度)

3、计算：

⎧⎪x=ϕ(t),

(α≤t≤β)，设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为⎨

⎪⎩y=ψ(t),

其中ϕ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且ϕ'(t)+ψ'(t)≠0，则

⎰

f(x,y)ds=⎰f[φ(t),ψ(tt ,(α

（二）对坐标的曲线积分

1、定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P(x,y)在 L 上有界，定义

，Q(x,

⎰

P(x,y)dx=lim∑P(ξk,ηk)∆xk

λ→0

k=1

，

∑Q(ξ⎰Q(x,y)dy=limλ

→0

k=1

,ηk)∆yk.

向量形式：

⎰

F⋅dr=⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy

2、性质：

用L表示L的反向弧 , 则⎰-F(x,y)⋅d=-⎰F(x,y)⋅d

3、计算：

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,

L的参数方程为

⎧⎪x=ϕ(t),

(t:α→β)，其中ϕ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且⎨

⎪⎩y=ψ(t),

ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0，则

⎰

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[φ(t),ψ(t)]φ'(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt

4、两类曲线积分之间的关系：

⎧⎪x=ϕ(t) ⎨设平面有向曲线弧为L：，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：⎪⎩y=ψ(t)

ψ'(t)ϕ'(t)

α,β，cosα=，cosβ=， 2222

'(t)+ψ'(t)'(t)+ψ'(t)

则

（三）格林公式

1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,y),Q(x,y)在

⎰

Pdx+Qdy=⎰(Pcosα+Qcosβ)ds.

⎛∂Q∂P⎫

D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰ ∂x-∂y⎪⎪dxdy=Pdx+Qdy

⎭D⎝L

2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则

∂Q∂P

= ⇔曲线积分 ⎰Pdx+Qdy在G内与路径无关 ∂x∂yL

⇔曲线积分 ⎰Pdx+Qdy=0

⇔ P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分

（四）对面积的曲面积分 1、定义：

设∑为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在∑上的一个有界函数，定义 ⎰⎰∑f(x,y,z)dS=lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆Si λ→0

i=1n

2、计算：———“一投二换三代入”

∑:z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，则

⎰⎰

∑

f(x,y,z)dS=⎰⎰

Dxy

f[x,y,z(x,y)]1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy

（五）对坐标的曲面积分

1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、定义：

设∑为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在∑上的有界函数，定义

⎰⎰

∑

R(x,y,z)dxdy=lim∑R(ξi,ηi,ζi)(∆Si)xy

λ→0

i=1

∑

同理，

⎰⎰

P(x,y,z)dydz=lim∑P(ξi,ηi,ζi)(∆Si)yz

λ→0

i=1

⎰⎰

∑

Q(x,y,z)dzdx=lim∑R(ξi,ηi,ζi)(∆Si)zx

λ→0

i=1

3、性质： 1）∑=∑1+∑2，则

⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+⎰⎰

∑∑1-

∑2

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

2）∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则4、计算：——“一投二代三定号”

⎰⎰

∑

Rdxdy=-⎰⎰Rdxdy

∑

∑:z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在

∑上连续，则

⎰⎰

∑

R(x,y,z)dxdy=±⎰⎰

Dxy

R[x,y,z(x,y)]dxdy,∑为上侧取“ + ”，

∑为下侧取“ - ”.

5、两类曲面积分之间的关系：

⎰⎰

∑

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

∑

其中α,β,γ为有向曲面∑在点(x,y,z)处的法向量的方向角。

（六）高斯公式

1、高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数P,Q,R在Ω上有连续的一阶偏导数,则有

⎛∂P∂Q∂R⎫⎰⎰⎰Ω ∂x+∂y+∂z⎪⎪dxdydz =∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

⎝⎭

⎛∂P∂Q∂R⎫或⎰⎰⎰Ω ∂x+∂y+∂z⎪⎪dxdydz =(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

⎝⎭∑

（七）斯托克斯公式

⎛∂R∂Q⎫⎛∂P∂R⎫⎛∂Q∂P⎫ ⎪ ⎪⎰⎰ ∂y-∂z⎪dydz+ ∂z-∂x⎪dzdx+ ∂x-∂y⎪⎪dxdy =ΓPdx+Qdy+Rdz

⎭⎝⎭⎝⎭∑⎝

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

⎰⎰

∑

dydzdzdxdxdy∂∂∂

=Pdx+Qdy+RdzΓ ∂x∂y∂z

PQR

第六章常微分方程 1、微分方程的基本概念

能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.

可分离变量的微分方程： g(y)dy=f(x)dx或

=h(x)g(y)dx

对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：

⎰g(y)dy=⎰f(x)dx

y'=ϕ() 或者x'=ψ() 2、齐次微分方程：

' 在齐次方程y=ϕ()中，令u=,可将其化为可分离方程

ydydu 令u=，则y=xu, =x+u,

xdxdx

代入微分方程即可。

(1)形如y'=f(ax+by+c)的方程.

u'-a

=f(u).b

u'=a+by',原方程可化为3、一阶线性微分方程

y'+p(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程。型如

-⎰p(x)dx

y=Ce。其对应的齐次线性微分方程的解为

利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解

-p(x)dxp(x)dx

y=e⎰( ⎰q(x)e⎰dx+C ) 。

4、伯努利方程： y'+p(x)y=q(x)yn ( n≠0, 1 )

将方程两端同除以yn,得⇒y-ny'+p(x)y1-n=q(x) ( n≠0, 1 ) dudydy1du令 u=y1-n，则=(1-n)y-n， y-n=⋅，

dxdxdx1-ndx

于是U的通解为：

-(1-n)p(x)dx(1-n)p(x)dx

u=e⎰( ⎰(1-n)q(x)e⎰ +C ) 。

5、全微分方程：

7、可降阶的高阶常微分方程（1） y(n)=f(x)型的微分方程

(n)(n-1) 6.4.2y=f(x,y)型的微分方程（2）

（3） 6.4.3y''=f(y,y')型的微分方程 8、线性微分方程解的结构

（1）函数组的线性无关和线性相关（2）线性微分方程的性质和解的结构

叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解（3）刘维尔公式

-p(x)dx

e⎰

y2(x)=y1(x) ⎰dx

y12

（4）二阶非齐线性微分方程解的结构

y=y1(x)+y*(x)

特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：

'(x)y1(x)+C2'(x)y2(x)=0 ，C1 '(x)y1'(x)+C2'(x)y2'(x)=f(x) 。C1 y*(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)

9、二阶常系数线性微分方程（1）齐次线性微分方程的通解

λ2+λp+q=0 。特征方程：

1) 特征方程有两个不同的实根 λ1≠λ2 ，则 y1=eλx， y2=eλx

其通解为：y=C1y1+C2y2=C1eλ1x+ C2e λ2x。

-p±p2-4qp2) 特征方程有实重根 λ1=λ2 ，则 λ1,2==-，

此时，y1=eλ1x 是方程 ( 1 ) 的一个解。再利用刘维尔公式求出另外一个线性无关的解即可3) 特征方程有一对共轭复根 λ1=α+iβ ， λ2=α-iβ ，则

y=C1y1+C2y2=C1e(α+iβ)x+C2e(α-iβ)x。或y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) 。

（2）二阶常系数非齐线性微分方程的特解

1. f(x)=eαxPn(x) 的情形

若a不是其特征方程的特征根，则 y*=eαxQn(x) 。若a是其特征方程的单特征根，则 y*=xeαxQn(x) 。

kαx

eQn(x) 。若a是其特征方程的K重特征根，则 y*=x

2. f(x)=eαx[P的情形, l(x)cosβx+Pn(x)sinβx]

(1)(2)

y*=xeαx[Qm(x)cosβx+Qm(x)sinβx] ; 当α±βi不是特征根时，方程的特解可设为

αx(1)(2)

当α±βi是特征根时，方程的特解可设为 y*=xe[Qm(x)cosβx+Qm(x)sinβx] ;

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