椭圆的十个“最”
◎李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022）
【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到椭圆的一些“最”值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了椭圆十个“最”值问题，供师生们参考。 【关键词】椭圆；焦点；最大值；最小值
1．椭圆弦长的最大值、最小值
（1）椭圆的最长弦长是椭圆的长轴的长。
椭圆上的最大弦长是否是椭圆的长轴的长？看起来似乎是显然的。但证明起来也挺繁琐，具体见参考文献[1]。
（2）椭圆过原点的最短弦长是椭圆的短轴的长。 在椭圆
xa
22
+
yb
22
222
=1（a>b>0）内构造内接圆x+y=b，由图形结合易证。
（3）椭圆过焦点的弦通径最短lmin= 教学参考书上有证明。
2ba
2
。
2．椭圆的一焦点与椭圆上点的距离最大值、最小值 已知P(x0,y0)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的点，F2(c,0)是椭圆的右焦点，
则PF2的最大值是a+c，最小值是a-c。
证明：由焦半径公式得PF2=a-ex0。当x0=-a时，PF2max=a+c，当x0=a 时，PF2min=a-c。
3．x轴正半轴上的点到椭圆的最短距离 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
，c为半焦距长，则点（t，0）t＞0到椭圆的最短=1（a>b>0）
22⎧ta22
⎪t+b-2⎪c距离为⎨
⎪t-a⎪⎩
0
c
c
2
a
2
a
证明：设点A（t，0）t＞0,点P(x,y)为椭圆上任意一点，则有AP=xa
22
(t-x)+ytac
22
22
，
由+
yb
22
=1得AP
2
=
c
2
a
x-2tx+t+b
222
=f(x)的对称轴为x=，由于
-a≤x≤a，结合图像可得：
①当
tac
22
≤a，即0＜t≤
c
2
a
时⇒x=
tac
22
时，AP取得最小值t+b-
22
tac
2
22
②当
tac
22
＞a,即t＞
c
2
a
时⇒x=a时，AP取得最小值t-a
4.椭圆上的点与椭圆内一定点、焦点的距离和的最大值及最小值 已知点A(x0,y0)为椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）内一定点，F1(-c,0)、F2(c,0)分
2
别是椭圆的左、右焦点，则PA+PF1的最大值为2a＋(x0-c)+y0，最小值为2a－
(x0-c)+y0。
2
2
2
证明：由椭圆的定义得，PF1+PF2=2a，∴PA+PF1=PA＋2a－PF2=2a＋（PA－PF2）
，∵PA-PF2≤AF2，∴当PA－PF2=AF2时，PA+PF1取最大值2a＋AF2，当PF2－PA=AF2时，PA+PF1取最小值2a－AF2。其中AF2=(x0-c)+y0。
2
2
5.椭圆上的点到两焦点距离的积的最大值、最小值 已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)分别
是椭圆的左、右焦点，则PF1∙PF2的最大值是a2，最小值b2。
证明：由焦半径公式PF1=a+ex，PF2=a-ex∴PF1∙PF2=a2-e2x2，
222
∵x≤a ∴0≤x≤a，当x=0时，PF1∙PF2取得最大值是a，当x=a时，
PF1∙PF2取得最小值是a2-e2a2=a2－c2=b2
6 .椭圆上的点与两焦点的向量积的最大值、最小值 已知已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)
2
2
2
分别是椭圆的左、右焦点，则PF1∙PF2
的b，最小值b－c。
222
证明：PF1=（－c-x，－y），PF2=（c-x，－y），PF1∙PF2=x+y-c
=x＋b(1-
22
xa
22
)－c=b－c＋
222
ca
22
x。∵x≤a ∴0≤x≤a。
222
当x=a时，PF1∙PF2取得最大值是b－c＋
22
ca
22
a=b，当x=0时，PF1∙PF2取得
22
最小值是b2－c2。
7.椭圆上的点为顶点与椭圆两焦点所成的最大角 已知已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)
2
2
分别是椭圆的左、右焦点。则当P为短轴端点时，∠F1PF2最大，最大值为arccos
PF1+PF2
2
2
b-ca
2
。
证明：∵PF1∙PF2≤(
⎛2a⎫22
∴当且仅当PF1=PF2=a时，)= ⎪=a，
2⎝⎭
即P点为短轴端点时成立。在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2=
2
2
PF1
2
+PF2
2
-F1F2
2
2PF1PF2
2
=
(PF1+PF2)-2PF1PF2-(2c)
2PF1PF2
2
22
=
(2a)-(2c)-2PF1PF2
2PF1PF2
=
2a-2c
2
PF1PF2
-1。当PF1∙PF2取最大值a时，
cos∠F1PF2最小，∵y=cosx在[0,π]是减函数，∴∠F1PF2最大， cos∠F1PF2
2a-2c
a
2
22
2
最小值为-1=
2a-2c-a
a
2
222
=
b-ca
2
22
。得∠F1PF2最大，最大值为
arccos
b-ca
2
2
。
8.椭圆的点到一条直线距离的最大值、最小值 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0） .直线方程Ax+By+C=0。则椭圆上的点到此
⎧
⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪⎪⎩
Aa+Bb
A+BAa+Bb
A+B
2
22
2
2
2
2
2
2
2222
+C
C≥0
2
直线的最大距离
dmax
，最小值
+C
C
dmin=0,C≤
Aa+Bb
22
，
dmin
⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩
-Aa+Bb
A+B
2
2
2222
+C
C>
Aa+Bb
2
2
2
2
Aa+Bb
A+B
2
2222
C
Aa+Bb
2
2
2
2
+C
2
证明：在椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上取一点P(acosθ,bsinθ)，它到直线
Aa+Bbsin(θ+ϕ)+C=
2
2
2
2
Ax+By+C=0的距离d=
Aacosθ+Bbsinθ+C
A+B
2
2
，
A+B
2
2
又因为-1≤sin(θ+ϕ)≤1，即可得出结论。
9.椭圆内接三角形的最大面积 AB为过椭圆为bc。
证明：设A、B两点的坐标分别为(x0,y0)，(－x0,－y0)，则
S∆AFB=S∆CFB+S∆CFA=
12
22
xa
22
+
yb
22
=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值
∙c∙y0+
12
∙c∙-y0=c∙y0。
∵点A、B在椭圆
xa
22
+
yb
=1上，∴点A(x0,y0)的纵坐标最大值y0=b，
∴S∆AFB的最大值是bc。 10.椭圆内接矩形面积的最大值 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0），则椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.
证明：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和x轴、y轴平行，设A(acosθ,bsinθ)为其一个顶点。∵x轴、y轴把矩形平分成四个全等的小矩形，
∴一个小矩形的面积S=acosθ∙bcosθ=
Smax=
12
ab，椭圆内接矩形面积的最大值为4s=4∙
1212
absin2θ，∴当sin2θ=1时，ab=2ab.
【参考文献】
[1]黄生顺。椭圆的长轴长最长吗？中学数学，2006（2）
[2]董奇。x轴正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题，数学教学通讯，2006（9）
椭圆的十个“最”
◎李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022）
【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到椭圆的一些“最”值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了椭圆十个“最”值问题，供师生们参考。 【关键词】椭圆；焦点；最大值；最小值
1．椭圆弦长的最大值、最小值
（1）椭圆的最长弦长是椭圆的长轴的长。
椭圆上的最大弦长是否是椭圆的长轴的长？看起来似乎是显然的。但证明起来也挺繁琐，具体见参考文献[1]。
（2）椭圆过原点的最短弦长是椭圆的短轴的长。 在椭圆
xa
22
+
yb
22
222
=1（a>b>0）内构造内接圆x+y=b，由图形结合易证。
（3）椭圆过焦点的弦通径最短lmin= 教学参考书上有证明。
2ba
2
。
2．椭圆的一焦点与椭圆上点的距离最大值、最小值 已知P(x0,y0)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的点，F2(c,0)是椭圆的右焦点，
则PF2的最大值是a+c，最小值是a-c。
证明：由焦半径公式得PF2=a-ex0。当x0=-a时，PF2max=a+c，当x0=a 时，PF2min=a-c。
3．x轴正半轴上的点到椭圆的最短距离 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
，c为半焦距长，则点（t，0）t＞0到椭圆的最短=1（a>b>0）
22⎧ta22
⎪t+b-2⎪c距离为⎨
⎪t-a⎪⎩
0
c
c
2
a
2
a
证明：设点A（t，0）t＞0,点P(x,y)为椭圆上任意一点，则有AP=xa
22
(t-x)+ytac
22
22
，
由+
yb
22
=1得AP
2
=
c
2
a
x-2tx+t+b
222
=f(x)的对称轴为x=，由于
-a≤x≤a，结合图像可得：
①当
tac
22
≤a，即0＜t≤
c
2
a
时⇒x=
tac
22
时，AP取得最小值t+b-
22
tac
2
22
②当
tac
22
＞a,即t＞
c
2
a
时⇒x=a时，AP取得最小值t-a
4.椭圆上的点与椭圆内一定点、焦点的距离和的最大值及最小值 已知点A(x0,y0)为椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）内一定点，F1(-c,0)、F2(c,0)分
2
别是椭圆的左、右焦点，则PA+PF1的最大值为2a＋(x0-c)+y0，最小值为2a－
(x0-c)+y0。
2
2
2
证明：由椭圆的定义得，PF1+PF2=2a，∴PA+PF1=PA＋2a－PF2=2a＋（PA－PF2）
，∵PA-PF2≤AF2，∴当PA－PF2=AF2时，PA+PF1取最大值2a＋AF2，当PF2－PA=AF2时，PA+PF1取最小值2a－AF2。其中AF2=(x0-c)+y0。
2
2
5.椭圆上的点到两焦点距离的积的最大值、最小值 已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)分别
是椭圆的左、右焦点，则PF1∙PF2的最大值是a2，最小值b2。
证明：由焦半径公式PF1=a+ex，PF2=a-ex∴PF1∙PF2=a2-e2x2，
222
∵x≤a ∴0≤x≤a，当x=0时，PF1∙PF2取得最大值是a，当x=a时，
PF1∙PF2取得最小值是a2-e2a2=a2－c2=b2
6 .椭圆上的点与两焦点的向量积的最大值、最小值 已知已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)
2
2
2
分别是椭圆的左、右焦点，则PF1∙PF2
的b，最小值b－c。
222
证明：PF1=（－c-x，－y），PF2=（c-x，－y），PF1∙PF2=x+y-c
=x＋b(1-
22
xa
22
)－c=b－c＋
222
ca
22
x。∵x≤a ∴0≤x≤a。
222
当x=a时，PF1∙PF2取得最大值是b－c＋
22
ca
22
a=b，当x=0时，PF1∙PF2取得
22
最小值是b2－c2。
7.椭圆上的点为顶点与椭圆两焦点所成的最大角 已知已知点P(x,y)是椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上的动点，F1(-c,0)、F2(c,0)
2
2
分别是椭圆的左、右焦点。则当P为短轴端点时，∠F1PF2最大，最大值为arccos
PF1+PF2
2
2
b-ca
2
。
证明：∵PF1∙PF2≤(
⎛2a⎫22
∴当且仅当PF1=PF2=a时，)= ⎪=a，
2⎝⎭
即P点为短轴端点时成立。在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2=
2
2
PF1
2
+PF2
2
-F1F2
2
2PF1PF2
2
=
(PF1+PF2)-2PF1PF2-(2c)
2PF1PF2
2
22
=
(2a)-(2c)-2PF1PF2
2PF1PF2
=
2a-2c
2
PF1PF2
-1。当PF1∙PF2取最大值a时，
cos∠F1PF2最小，∵y=cosx在[0,π]是减函数，∴∠F1PF2最大， cos∠F1PF2
2a-2c
a
2
22
2
最小值为-1=
2a-2c-a
a
2
222
=
b-ca
2
22
。得∠F1PF2最大，最大值为
arccos
b-ca
2
2
。
8.椭圆的点到一条直线距离的最大值、最小值 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0） .直线方程Ax+By+C=0。则椭圆上的点到此
⎧
⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪⎪⎩
Aa+Bb
A+BAa+Bb
A+B
2
22
2
2
2
2
2
2
2222
+C
C≥0
2
直线的最大距离
dmax
，最小值
+C
C
dmin=0,C≤
Aa+Bb
22
，
dmin
⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩
-Aa+Bb
A+B
2
2
2222
+C
C>
Aa+Bb
2
2
2
2
Aa+Bb
A+B
2
2222
C
Aa+Bb
2
2
2
2
+C
2
证明：在椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）上取一点P(acosθ,bsinθ)，它到直线
Aa+Bbsin(θ+ϕ)+C=
2
2
2
2
Ax+By+C=0的距离d=
Aacosθ+Bbsinθ+C
A+B
2
2
，
A+B
2
2
又因为-1≤sin(θ+ϕ)≤1，即可得出结论。
9.椭圆内接三角形的最大面积 AB为过椭圆为bc。
证明：设A、B两点的坐标分别为(x0,y0)，(－x0,－y0)，则
S∆AFB=S∆CFB+S∆CFA=
12
22
xa
22
+
yb
22
=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值
∙c∙y0+
12
∙c∙-y0=c∙y0。
∵点A、B在椭圆
xa
22
+
yb
=1上，∴点A(x0,y0)的纵坐标最大值y0=b，
∴S∆AFB的最大值是bc。 10.椭圆内接矩形面积的最大值 已知椭圆
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0），则椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.
证明：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和x轴、y轴平行，设A(acosθ,bsinθ)为其一个顶点。∵x轴、y轴把矩形平分成四个全等的小矩形，
∴一个小矩形的面积S=acosθ∙bcosθ=
Smax=
12
ab，椭圆内接矩形面积的最大值为4s=4∙
1212
absin2θ，∴当sin2θ=1时，ab=2ab.
【参考文献】
[1]黄生顺。椭圆的长轴长最长吗？中学数学，2006（2）
[2]董奇。x轴正半轴上的点到椭圆、抛物线、双曲线的最短距离问题，数学教学通讯，2006（9）