与三角形有关的线段
（1）使学生在小学已有知识的基础上，进一步理解三角形、三角形的边、顶点、内角的概念；
（2）正确理解三角形的角平分线、中线、高这三个概念的含义、联系及区别；
（3）能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高；
（4）能用符号规范地表示一个三角形及六个元素；
（5）通过对三角形有关概念的教学，提高学生对概念的辨析能力和画图能力；
（6）让学生结合具体形象叙述定义，
训练他们的语言表达能力，激发学生学习几何的兴趣。
1．三角形的边
三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）
由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c
，c>b－a
即有：三角形的两边之差小于第三边
2． 高
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3． 中线：
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
4． 角平分线
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
【试题来源】
【题目】已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )
A.1
【答案】C
【解析】4-2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根
木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？
【答案】有9种；4,5,6,7,8,9,10,11,12m
【解析】分析：设第三根木棒的长度为x，
则3
所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12 D
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知：△ABC中，AD是BC边上的中线
求证：AD+BD>1（AB+AC） 2
【答案】证明：∵BD+AD>AB、CD+AD>AC
∴ BD+AD+ CD+AD >AB+AC
∵ AD是BC边上的中线，BD=CD ∴ AD+BD>1（AB+AC） 2
【解析】分析：因为 BD+AD>AB、CD+AD>AC
所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC
因为AD是BC边上的中线，BD=CD
所以AD+BD>1（AB+AC） 2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】 C
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， DF⊥CE，求∠CDF的度数。
【答案】74°
【解析】分析：∠CED=40°+34°=74°
所以∠CDF=74°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。
【答案】如图所示：
【解析】 A
A
CDC
AA
A
DCDCDEC
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D。
（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BDC = 。
（2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BDC =。
（3）若∠A = 76°，则∠BDC =。
（4）若∠BDC = 120°，则∠A = 。
（5）你能找出∠A与∠BDC 之间的数量关系吗？
C
【答案】（1） 135°；（2）122°；（3）128°；（4）60°；（5）1∠A+90°=∠BDC； 2
【解析】（1）三角形内角和为180°，∠1=20°，∠2=25°，所以∠BDC=135°；
（2）因为∠ABC +∠ACB =116°，所以∠1+∠2=58°，所以∠BDC=122°；
（3）因为∠A=76°，所以∠ABC +∠ACB=104°，同理，∠BDC=128°；
（4）因为∠BDC = 120°，所以∠1+∠2=60°，所以∠ABC +∠ACB=120°，所以∠A=60°
（5）1∠A+90°=∠BDC。
由（1）--（4）可得：2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知: BE, CE分别为△ABC 的外角∠ MBC, ∠NCB的角平分线,
求: ∠E与∠A的关系
【答案】∠E=90°-1
2∠A
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线,
求: ∠F与∠A的关系
【答案】∠F=1
2∠A
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）
【答案】
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为________．
【答案】AD＝AE．
【解析】等腰三角形的三线合一性质的运用。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点BA落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )
A．是边BB′上的中线B．是边BB′上的高
C．是∠BAB′的角平分线D．以上三种性质合一
BCB'
【答案】 D
【解析】∵△AB′C是△ABC沿直线AC翻折而成，
∴△ABC≌△AB′C，
∴BC=B′C，AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，AD是边BB′的中线，
∴AC是边BB′上的中线、边BB′上的高、∠BAB′的角平分线．
故选D．
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】 【题目】如图所示，D，E分别是△ ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的
是( )
A．DE是△ BCD的中线B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BD＝EC D．∠ C的对边是DE
B
【答案】 D
【解析】在△DEC中，DE才是∠C的对边。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图3所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC
＝4cm2，则S阴影等于( )
A．2cm2
【答案】 B DCB．1cm C．12 cm2 D．12 cm4【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC，∠A＝90°，角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为( )
A．AH＜AE＜AD B．AH＜AD＜AE C．AH≤AD≤AE D．AH≤AE≤AD
【答案】 D
【解析】当△ABC是等腰直角三角形时，AH=AE=AD（三线合一性质）；根据角平分线、中线和高线的分部（画图）可得，AH
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ ABC中，D是BC上的点，且BD：DC＝2：1，S△ACD＝12，那么S△ABC等于( )
A．30 B．36 C．72 D．24
【答案】 B
【解析】根据三角形的面积公式，得
S△ABD：S△ACD=BD：DC=2：1．
又S△ACD=12，
∴S△ABD=24．
∴S△ABC=36．
故选B．
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】不是利用三角形稳定性的是( )
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
【答案】 C
【解析】照相机的三角架”利用的是三点可以确定一个平面，而非利用三角形的稳定性，其是三个动点。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．
【答案】 135°
【解析】180°-45°=135°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________．
【答案】3
【解析】底边上的三线合一，其余两边各三条，共七条。当三角形是等边三角形时，变成只有三条，这只是特例.
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，则
∠DAE的度数为_________．
【答案】 20°
【解析】因为∠B=80°,∠C=40°
所以∠BAC=180°-80°-40°=60°
因为AE是△ABC的角平分线
所以∠EAC=∠BAC/2=60°/2=30°
因为AD是△ABC的高
所以∠DAC=180°-90°-40°=50°
所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝50°-30°＝20°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】三角形的三条中线交于一点，这一点在_______，三角形的三条角平分线交于一点，
这一点在__________，三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在_____．
【答案】见解析
【解析】若三角形的三条中线交于一点,则这一点在三角形的重心.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.
若三角形的三条角平分线交于一点,则这一点在三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.
若三角形的三条高线所在的直线交于一点,则这一点在三角形垂心.性质：此点分每条高线的两部分乘积
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，
求AD的长．
【答案】AD=13cm
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数．
【答案】 130°
【解析】∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°．
∵高BE、CF所在直线交于O,
∴∠AFC=∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠ACF=90°-∠A=40°．
∴∠EBC+∠FCB=130°-80°=50°．
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠FCB）=180°-50°=130°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
与三角形有关的线段
（1）使学生在小学已有知识的基础上，进一步理解三角形、三角形的边、顶点、内角的概念；
（2）正确理解三角形的角平分线、中线、高这三个概念的含义、联系及区别；
（3）能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高；
（4）能用符号规范地表示一个三角形及六个元素；
（5）通过对三角形有关概念的教学，提高学生对概念的辨析能力和画图能力；
（6）让学生结合具体形象叙述定义，
训练他们的语言表达能力，激发学生学习几何的兴趣。
1．三角形的边
三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）
由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c
，c>b－a
即有：三角形的两边之差小于第三边
2． 高
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3． 中线：
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
4． 角平分线
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
【试题来源】
【题目】已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )
A.1
【答案】C
【解析】4-2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根
木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？
【答案】有9种；4,5,6,7,8,9,10,11,12m
【解析】分析：设第三根木棒的长度为x，
则3
所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12 D
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知：△ABC中，AD是BC边上的中线
求证：AD+BD>1（AB+AC） 2
【答案】证明：∵BD+AD>AB、CD+AD>AC
∴ BD+AD+ CD+AD >AB+AC
∵ AD是BC边上的中线，BD=CD ∴ AD+BD>1（AB+AC） 2
【解析】分析：因为 BD+AD>AB、CD+AD>AC
所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC
因为AD是BC边上的中线，BD=CD
所以AD+BD>1（AB+AC） 2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】 C
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， DF⊥CE，求∠CDF的度数。
【答案】74°
【解析】分析：∠CED=40°+34°=74°
所以∠CDF=74°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。
【答案】如图所示：
【解析】 A
A
CDC
AA
A
DCDCDEC
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D。
（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BDC = 。
（2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BDC =。
（3）若∠A = 76°，则∠BDC =。
（4）若∠BDC = 120°，则∠A = 。
（5）你能找出∠A与∠BDC 之间的数量关系吗？
C
【答案】（1） 135°；（2）122°；（3）128°；（4）60°；（5）1∠A+90°=∠BDC； 2
【解析】（1）三角形内角和为180°，∠1=20°，∠2=25°，所以∠BDC=135°；
（2）因为∠ABC +∠ACB =116°，所以∠1+∠2=58°，所以∠BDC=122°；
（3）因为∠A=76°，所以∠ABC +∠ACB=104°，同理，∠BDC=128°；
（4）因为∠BDC = 120°，所以∠1+∠2=60°，所以∠ABC +∠ACB=120°，所以∠A=60°
（5）1∠A+90°=∠BDC。
由（1）--（4）可得：2
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知: BE, CE分别为△ABC 的外角∠ MBC, ∠NCB的角平分线,
求: ∠E与∠A的关系
【答案】∠E=90°-1
2∠A
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线,
求: ∠F与∠A的关系
【答案】∠F=1
2∠A
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）
【答案】
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为________．
【答案】AD＝AE．
【解析】等腰三角形的三线合一性质的运用。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点BA落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )
A．是边BB′上的中线B．是边BB′上的高
C．是∠BAB′的角平分线D．以上三种性质合一
BCB'
【答案】 D
【解析】∵△AB′C是△ABC沿直线AC翻折而成，
∴△ABC≌△AB′C，
∴BC=B′C，AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，AD是边BB′的中线，
∴AC是边BB′上的中线、边BB′上的高、∠BAB′的角平分线．
故选D．
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】 【题目】如图所示，D，E分别是△ ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的
是( )
A．DE是△ BCD的中线B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BD＝EC D．∠ C的对边是DE
B
【答案】 D
【解析】在△DEC中，DE才是∠C的对边。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图3所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC
＝4cm2，则S阴影等于( )
A．2cm2
【答案】 B DCB．1cm C．12 cm2 D．12 cm4【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC，∠A＝90°，角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为( )
A．AH＜AE＜AD B．AH＜AD＜AE C．AH≤AD≤AE D．AH≤AE≤AD
【答案】 D
【解析】当△ABC是等腰直角三角形时，AH=AE=AD（三线合一性质）；根据角平分线、中线和高线的分部（画图）可得，AH
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ ABC中，D是BC上的点，且BD：DC＝2：1，S△ACD＝12，那么S△ABC等于( )
A．30 B．36 C．72 D．24
【答案】 B
【解析】根据三角形的面积公式，得
S△ABD：S△ACD=BD：DC=2：1．
又S△ACD=12，
∴S△ABD=24．
∴S△ABC=36．
故选B．
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】不是利用三角形稳定性的是( )
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
【答案】 C
【解析】照相机的三角架”利用的是三点可以确定一个平面，而非利用三角形的稳定性，其是三个动点。
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．
【答案】 135°
【解析】180°-45°=135°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________．
【答案】3
【解析】底边上的三线合一，其余两边各三条，共七条。当三角形是等边三角形时，变成只有三条，这只是特例.
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，则
∠DAE的度数为_________．
【答案】 20°
【解析】因为∠B=80°,∠C=40°
所以∠BAC=180°-80°-40°=60°
因为AE是△ABC的角平分线
所以∠EAC=∠BAC/2=60°/2=30°
因为AD是△ABC的高
所以∠DAC=180°-90°-40°=50°
所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝50°-30°＝20°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】三角形的三条中线交于一点，这一点在_______，三角形的三条角平分线交于一点，
这一点在__________，三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在_____．
【答案】见解析
【解析】若三角形的三条中线交于一点,则这一点在三角形的重心.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.
若三角形的三条角平分线交于一点,则这一点在三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.
若三角形的三条高线所在的直线交于一点,则这一点在三角形垂心.性质：此点分每条高线的两部分乘积
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，
求AD的长．
【答案】AD=13cm
【解析】
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数．
【答案】 130°
【解析】∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°．
∵高BE、CF所在直线交于O,
∴∠AFC=∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠ACF=90°-∠A=40°．
∴∠EBC+∠FCB=130°-80°=50°．
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠FCB）=180°-50°=130°
【知识点】与三角形有关的线段
【适用场合】课后练习题
【难度系数】2