传送带的动力学问题
张锦龙 高三物理备课组 近年来“无论是平时训练还是高考，均频繁地以传送带为题材命题”，体现了把物理知识应用于日常生活和生产实际当中．传送带的试题以力和运动的关系为多见，有水平方向的，有倾斜方向的，也有水平和倾斜两个方向相结合的，还有变形的传送带．在处理传送带上的力和运动的关系时，有依据物体的受力情况，判断物体的运动性质；也有依据物体的运动性质，去求解物体的受力情况．
1、水平传送带上的力与运动情况分析
例1 水平传送带被广泛地应用于车站、码头，工厂、车间。如图所
示为水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB 始终保持v 0＝2 m/s的恒定
速率运行，一质量为m 的工件无初速度地放在A 处，传送带对工件的滑动摩擦力使工件开始做匀加速直线运动，设工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2 ,AB 的之间距离为L ＝10m ，g 取10m/s ．求工件从A 处运动到B 处所用的时间． 2
解答 设工件的加速度为a ，加速时间为t 1 ，加速的位移为l ，有：μmg=ma 工件加速运动的时间t 1＝v 012 此过程工件发生的位移l =at 1 2a
代入数据可得：l ＝1m 由于l ＜L ，所以工件没有滑离传送带
设工件随传送带匀速运动的时间为t 2 ，则t 2＝L l 代入数据可得：t 2＝4.5s v
所以工件从A 处运动到B 处的总时间t ＝t 1＋t 2＝5.5 s
点评 这是一道传送带以恒定速度运转，而被运送的工件初速度为0的实际问题，解决这类问题首先要对被运送的工件进行受力分析，由工件的受力情况判断出工件的运动性质，然后根据运动性质求解待求物理量。一般情况下，工件在传送带上有两种运动形式，一是匀加速运动，二是匀速运动。从匀加速运动到匀速运动过程中，往往要对工件在传送带上做加速运动结束时是否滑离传送带作出判断，如果已经滑离传送带，则工件不存在匀速运动阶段，如果没有滑离，则工件将与传送带一起做匀速运动．可见工件是否滑离传送带的判断是不能忽视的．
2、倾斜传送带上的力与运动情况分析
例2．如图所示，传送带与水平方向夹37°角，AB 长为L ＝16m 的传送带
以恒定速度v ＝10m/s运动，在传送带上端A 处无初速释放质量为m ＝0.5kg
的物块，物块与带面间的动摩擦因数μ＝0.5，求： （1）当传送带顺时针转动时，物块从A 到B 所经历的时间为多少？
（2）当传送带逆时针转动时，物块从A 到B 所经历的时间为多少？
解析 (1) 当传送带顺时针转动时，设物块的加速度为a ，物块受到传送带给予的滑动摩擦力 μmgcos37°方向沿斜面向上且小于物块重力的分力mg sin37°，根据牛顿第二定律，有：
mg sin37°- μmgcos37°＝ma
物块在传送带上做加速度为a ＝2 m/s的匀加速运动，设运动时间为t ，
t＝22L 代入数据可得：t ＝4s a
（2）物块放上传送带的开始的一段时间受力情况如图甲所示，前一阶段物块作初速为0的匀加速运动，设加速度为a 1 ，由牛顿第二定律，有
mgsin37°＋μmgcos37°=ma1 , 解得：a 1 ＝10m/s,
设物块加速时间为t 1 ，则t 1 ＝2v ， 解得：t 1=1s a 1
因位移s 1=12a 1t 1=5m＜16m ,说明物块仍然在传送带上． 2
设后一阶段物块的加速度为a 2, 当物块速度大于传送带速度时，其受力情况如图乙
所示．
由牛顿第二定律，有：
mg sin37°- μmgcos37°＝ma 2 ,解得a 2＝2m/s ，
设后阶段物块下滑到底端所用的时间为t 2．由
L －s ＝v t ＋a 2t 2/2，解得t 2＝1s 另一解－11s 不合题意舍去．
所以物块从A 到B 的时间为：t ＝t 1＋t 2＝2s
点评 解答本题的关键是分析摩擦力的方向，以及摩擦力向上和向下的条件。从本题的解答过程中我们可以得到以下三点启示：
222
（1）解答“运动和力”问题的关键是要分析清楚物体的受力情况和运动情况，弄清所给问题的物理情景．加速度是动力学公式和运动学公式之间联系的桥梁．
（2）审题时应注意对题给条件作必要的定性分析和半定量的分析。如：由本题中给出的μ和θ值可作出以下判断：当μ≥tan θ时，物块在加速至与传送带速度相同后，物块将与传送带相对静止，并同传送带一起匀速运动；当μ＜tan θ时，物块在获得与传送带相同的速度后仍继续加速．
（3）滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动，而是阻碍物体间的相对运动。它可能是是阻力，也可能是动力．
3、水平和倾斜组合传送带上的力与运动情况分析
例3 如图甲所示的传送带，其水平部分ab 的长度为2 m，倾斜
部分bc 的长度为4 m ，bc 与水平面的夹角θ＝37°，现将一小物块A
（可视为质点）轻轻放在传送带的a 端，物块A 与传送带之间的动摩
擦因数μ＝0.25．传送带沿图甲所示方向以v ＝2 m/s 的速度匀速运
动，若物块A 始终未脱离传送带，试求小物块A 从a 端被传送到c 端所用的时间？
解答 设物块在水平传送带上加速的过程中的加速度为a 1，根据牛顿第二定律有：
μmg ＝ma 1 解得 : a 1＝2.5m/s
设物块A 做运加速运动的时间为t 1 ，t 1＝2图甲 v 解得： t1＝0.8 s a 1
vt 1-0 解得： t1＝0.8 m 2设物块A 相对传送带加速运动的位移为s 1，则s 1＝
当A 的速度达到2 m/s时，A 将随传送带一起匀速运动，A 在传送带水平段匀速运动的时间为t 2 ，
t 2＝s ab -s 1＝0.6s 解得： t2＝0.6s v
A 在bc 段受到的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为μmg cos37°，设A 沿bc 段下滑的加速度为a 2，根据牛顿第二定律有， mg sin37°－μmg cos37°＝ma 2 解得：a 2＝4 m/s
根据运动学的关系，有： sbc ＝v t 3＋
－2s （不合题意，舍去）
2 12at 3 其中s bc =4 m ，v =2 m/s ，解得 ：t 3＝1s ，另一解t 3＝2
所以物块A 从传送带的a 端传送到c 端所用的时间t ＝t 1＋t 2＋t 3＝2.4s
点评 解答此题的关键是准确分析物块在水平和倾斜传送带上的受力情况，并据此分析出物块在两种状态的传送带上的运动情况。在具体的分析过程中应该注意物块在水平和倾斜传送带上的受力和运动情况的特点来分析，说到底还是力和运动关系问题．
4、变形传送带上的力与运动情况分析
例4 如图所示10只相同的轮子并排水平排列，圆心分别为O 1、O 2、O 3„O 10，已知O 1O 10=3. 6m ，水平转轴通过圆心，所有轮子均绕轴以4
πr/s的转速顺时针转
动。现将一根长0. 8m 、质量为2. 0kg 的匀质木板平放在这些
轮子的左端，木板左端恰好与O 1竖直对齐，木板与轮缘间的2动摩擦因数为0. 16，试求：木板水平移动的总时间（不计轴与轮间的摩擦，g 取10m/s）.
分析 木板无初速置于轮子上，而轮子的边缘有速度，故木板应该受到轮子的滑动摩擦力的作用加速运动，由于滑动摩擦力存在的前提是物体间存在相对速度，故应考虑木板的速度能否增大到和轮子的线速度相等，另外应注意到轮子对木板的总支持力还是等于木板的重力，所以本题实际也是一个传送带问题。当然本题中由于“传送带”的特殊性以及传送的物体是有一定线度的“木板”，且题中求木板“水平移动”的要求，所以应注意到当木板的重心运动到O 10时木板即将开始翻转、滑落。
解答（1）设轮子的半径为r ，由题意O 1O 10=3. 6m ，得轮子的半径r ＝
轮子转动的线速度为v =2πnr oo 1109⨯2＝0.2m. 。
n ＝4
πr/s 代入数据可得：v ＝1.6m/s
木板受到轮子的滑动摩擦力f ＝μmg ，木板在滑动摩擦力的作用下做加速运动
2板运动的加速度a =μg 代入数据可得：a ＝1.6m/s
当木板运动的速度与轮子转动的线速度v 相等时，木板讲作匀速运动。 由以上推理得：板在轮子上作匀加速运动的时间为t =
木板作匀加速运动发生的位移s 1=v ，代入数据可得：t ＝1s a 12at 代入数据可得：s 1=0.8m 2
注意到当木板的重心运动到O 10时木板即将开始翻转、滑落，故木板“水平移动”的距离
板在作匀速运动的全过程中其重心平动发生的位移为s 2=3. 6m -0. 8m -0. 4m =2. 4m 因此，板运动的总时间为：t =t 1+s 22. 4=1s +s =2. 5s v 1. 6
点评 传送带问题的最大特点是“传送带”一般都能对被传送的物体产生摩擦力，但随着被传送物体的速度增大，可能会出现摩擦力消失的问题，这样就会导致被传送物体的运动情况发生改变。对于看似不是传送带的问题，如果其受力特点（摩擦力）和传送带相似，则可以类比传送带的问题来分析求解，因其内在的物理本质相同。
传送带的动力学问题
张锦龙 高三物理备课组 近年来“无论是平时训练还是高考，均频繁地以传送带为题材命题”，体现了把物理知识应用于日常生活和生产实际当中．传送带的试题以力和运动的关系为多见，有水平方向的，有倾斜方向的，也有水平和倾斜两个方向相结合的，还有变形的传送带．在处理传送带上的力和运动的关系时，有依据物体的受力情况，判断物体的运动性质；也有依据物体的运动性质，去求解物体的受力情况．
1、水平传送带上的力与运动情况分析
例1 水平传送带被广泛地应用于车站、码头，工厂、车间。如图所
示为水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB 始终保持v 0＝2 m/s的恒定
速率运行，一质量为m 的工件无初速度地放在A 处，传送带对工件的滑动摩擦力使工件开始做匀加速直线运动，设工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2 ,AB 的之间距离为L ＝10m ，g 取10m/s ．求工件从A 处运动到B 处所用的时间． 2
解答 设工件的加速度为a ，加速时间为t 1 ，加速的位移为l ，有：μmg=ma 工件加速运动的时间t 1＝v 012 此过程工件发生的位移l =at 1 2a
代入数据可得：l ＝1m 由于l ＜L ，所以工件没有滑离传送带
设工件随传送带匀速运动的时间为t 2 ，则t 2＝L l 代入数据可得：t 2＝4.5s v
所以工件从A 处运动到B 处的总时间t ＝t 1＋t 2＝5.5 s
点评 这是一道传送带以恒定速度运转，而被运送的工件初速度为0的实际问题，解决这类问题首先要对被运送的工件进行受力分析，由工件的受力情况判断出工件的运动性质，然后根据运动性质求解待求物理量。一般情况下，工件在传送带上有两种运动形式，一是匀加速运动，二是匀速运动。从匀加速运动到匀速运动过程中，往往要对工件在传送带上做加速运动结束时是否滑离传送带作出判断，如果已经滑离传送带，则工件不存在匀速运动阶段，如果没有滑离，则工件将与传送带一起做匀速运动．可见工件是否滑离传送带的判断是不能忽视的．
2、倾斜传送带上的力与运动情况分析
例2．如图所示，传送带与水平方向夹37°角，AB 长为L ＝16m 的传送带
以恒定速度v ＝10m/s运动，在传送带上端A 处无初速释放质量为m ＝0.5kg
的物块，物块与带面间的动摩擦因数μ＝0.5，求： （1）当传送带顺时针转动时，物块从A 到B 所经历的时间为多少？
（2）当传送带逆时针转动时，物块从A 到B 所经历的时间为多少？
解析 (1) 当传送带顺时针转动时，设物块的加速度为a ，物块受到传送带给予的滑动摩擦力 μmgcos37°方向沿斜面向上且小于物块重力的分力mg sin37°，根据牛顿第二定律，有：
mg sin37°- μmgcos37°＝ma
物块在传送带上做加速度为a ＝2 m/s的匀加速运动，设运动时间为t ，
t＝22L 代入数据可得：t ＝4s a
（2）物块放上传送带的开始的一段时间受力情况如图甲所示，前一阶段物块作初速为0的匀加速运动，设加速度为a 1 ，由牛顿第二定律，有
mgsin37°＋μmgcos37°=ma1 , 解得：a 1 ＝10m/s,
设物块加速时间为t 1 ，则t 1 ＝2v ， 解得：t 1=1s a 1
因位移s 1=12a 1t 1=5m＜16m ,说明物块仍然在传送带上． 2
设后一阶段物块的加速度为a 2, 当物块速度大于传送带速度时，其受力情况如图乙
所示．
由牛顿第二定律，有：
mg sin37°- μmgcos37°＝ma 2 ,解得a 2＝2m/s ，
设后阶段物块下滑到底端所用的时间为t 2．由
L －s ＝v t ＋a 2t 2/2，解得t 2＝1s 另一解－11s 不合题意舍去．
所以物块从A 到B 的时间为：t ＝t 1＋t 2＝2s
点评 解答本题的关键是分析摩擦力的方向，以及摩擦力向上和向下的条件。从本题的解答过程中我们可以得到以下三点启示：
222
（1）解答“运动和力”问题的关键是要分析清楚物体的受力情况和运动情况，弄清所给问题的物理情景．加速度是动力学公式和运动学公式之间联系的桥梁．
（2）审题时应注意对题给条件作必要的定性分析和半定量的分析。如：由本题中给出的μ和θ值可作出以下判断：当μ≥tan θ时，物块在加速至与传送带速度相同后，物块将与传送带相对静止，并同传送带一起匀速运动；当μ＜tan θ时，物块在获得与传送带相同的速度后仍继续加速．
（3）滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动，而是阻碍物体间的相对运动。它可能是是阻力，也可能是动力．
3、水平和倾斜组合传送带上的力与运动情况分析
例3 如图甲所示的传送带，其水平部分ab 的长度为2 m，倾斜
部分bc 的长度为4 m ，bc 与水平面的夹角θ＝37°，现将一小物块A
（可视为质点）轻轻放在传送带的a 端，物块A 与传送带之间的动摩
擦因数μ＝0.25．传送带沿图甲所示方向以v ＝2 m/s 的速度匀速运
动，若物块A 始终未脱离传送带，试求小物块A 从a 端被传送到c 端所用的时间？
解答 设物块在水平传送带上加速的过程中的加速度为a 1，根据牛顿第二定律有：
μmg ＝ma 1 解得 : a 1＝2.5m/s
设物块A 做运加速运动的时间为t 1 ，t 1＝2图甲 v 解得： t1＝0.8 s a 1
vt 1-0 解得： t1＝0.8 m 2设物块A 相对传送带加速运动的位移为s 1，则s 1＝
当A 的速度达到2 m/s时，A 将随传送带一起匀速运动，A 在传送带水平段匀速运动的时间为t 2 ，
t 2＝s ab -s 1＝0.6s 解得： t2＝0.6s v
A 在bc 段受到的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为μmg cos37°，设A 沿bc 段下滑的加速度为a 2，根据牛顿第二定律有， mg sin37°－μmg cos37°＝ma 2 解得：a 2＝4 m/s
根据运动学的关系，有： sbc ＝v t 3＋
－2s （不合题意，舍去）
2 12at 3 其中s bc =4 m ，v =2 m/s ，解得 ：t 3＝1s ，另一解t 3＝2
所以物块A 从传送带的a 端传送到c 端所用的时间t ＝t 1＋t 2＋t 3＝2.4s
点评 解答此题的关键是准确分析物块在水平和倾斜传送带上的受力情况，并据此分析出物块在两种状态的传送带上的运动情况。在具体的分析过程中应该注意物块在水平和倾斜传送带上的受力和运动情况的特点来分析，说到底还是力和运动关系问题．
4、变形传送带上的力与运动情况分析
例4 如图所示10只相同的轮子并排水平排列，圆心分别为O 1、O 2、O 3„O 10，已知O 1O 10=3. 6m ，水平转轴通过圆心，所有轮子均绕轴以4
πr/s的转速顺时针转
动。现将一根长0. 8m 、质量为2. 0kg 的匀质木板平放在这些
轮子的左端，木板左端恰好与O 1竖直对齐，木板与轮缘间的2动摩擦因数为0. 16，试求：木板水平移动的总时间（不计轴与轮间的摩擦，g 取10m/s）.
分析 木板无初速置于轮子上，而轮子的边缘有速度，故木板应该受到轮子的滑动摩擦力的作用加速运动，由于滑动摩擦力存在的前提是物体间存在相对速度，故应考虑木板的速度能否增大到和轮子的线速度相等，另外应注意到轮子对木板的总支持力还是等于木板的重力，所以本题实际也是一个传送带问题。当然本题中由于“传送带”的特殊性以及传送的物体是有一定线度的“木板”，且题中求木板“水平移动”的要求，所以应注意到当木板的重心运动到O 10时木板即将开始翻转、滑落。
解答（1）设轮子的半径为r ，由题意O 1O 10=3. 6m ，得轮子的半径r ＝
轮子转动的线速度为v =2πnr oo 1109⨯2＝0.2m. 。
n ＝4
πr/s 代入数据可得：v ＝1.6m/s
木板受到轮子的滑动摩擦力f ＝μmg ，木板在滑动摩擦力的作用下做加速运动
2板运动的加速度a =μg 代入数据可得：a ＝1.6m/s
当木板运动的速度与轮子转动的线速度v 相等时，木板讲作匀速运动。 由以上推理得：板在轮子上作匀加速运动的时间为t =
木板作匀加速运动发生的位移s 1=v ，代入数据可得：t ＝1s a 12at 代入数据可得：s 1=0.8m 2
注意到当木板的重心运动到O 10时木板即将开始翻转、滑落，故木板“水平移动”的距离
板在作匀速运动的全过程中其重心平动发生的位移为s 2=3. 6m -0. 8m -0. 4m =2. 4m 因此，板运动的总时间为：t =t 1+s 22. 4=1s +s =2. 5s v 1. 6
点评 传送带问题的最大特点是“传送带”一般都能对被传送的物体产生摩擦力，但随着被传送物体的速度增大，可能会出现摩擦力消失的问题，这样就会导致被传送物体的运动情况发生改变。对于看似不是传送带的问题，如果其受力特点（摩擦力）和传送带相似，则可以类比传送带的问题来分析求解，因其内在的物理本质相同。