柯西不等式的证明

柯西不等式的证明

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

关键词：柯西不等式 证明 应用

柯西（Cauchy）不等式

22222

a1b1a2b2anbna12a2anb1b2bn

2

22

aibiR,i1,2n

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x)a1xb1a2xb2anxbn

2

2

2

2n222n=a12a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn

a1a2an0

22n

fx0恒成立

4a1b1a2b2anbn4a1a2an

2

2

2

n

b

2

2

1

b2bn0

2

n

n

即a1b1a2b2anbna1a2an

2

2

2

n

b

21

b2bn

anbn

当且仅当aixbix0i1,2n 即证明（2）数学归纳法

a1b1



a2b2

时等号成立

（1）当n1时 左式=a1b1 右式=a1b1 显然 左式=右式 当

n2

2

22

时，

2

右式

a1a2

2

2

b1b2a1b1a2b2a2b1a1b2

2

2

2

2

2

2

22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

2

仅当即 a2b1a1b2 即

a1b1



a2b2

时等号成立

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立 即 a1b1a2b2akbka1a2ak

2

2

2

k

b

21

b2bk

2

k

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

22222

设a12a2ak b1b2bk

Ca1b1a2b2akbk

则ak21bk21bk21ak21bk21

C2Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1

2

2

2

22 a12a2ak

2

ak

2



1

b1

2

b2

2

2

k

b

2

k

b

2

1

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即 nk1时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。举例，证明不等式：

例1：已知正数a,b,c满足abc1 证明 abc证明：利用柯西不等式

3

3

3

abc

3

222

a

2

bc

22



2

13131

3a2a2b2b2c2c2 

2

323232

a2b2c2abc abc

3

3

2

3

abc abc1

2

2

2

2

2

2

又因为 abcabbc2，再加上abc 在此不等式两边同乘以ca得：abc3a2b2c2

abc

2

2

2



2

abc

3

3

3

3a

2

bc

22



故abc

333

abc

3

222

2222

例2：已知实数a,b,c,d满足abcd3， a2b3c6d5试求a的最值

解：由柯西不等式得，有

2b

2

3c6d

22

236bcd





2

111

2

即2b23c26d2bcd 由条件可得， 5a23a 解得，1a

21323

1613

2



ax



时等号成立，

代入b1,c b1,c

,d,d

时， am

2

时 am

in

1

参考文献：1 柯西不等式的微小改动 J 数学通报 2002 第三期 2柯西不等式与排序不等式M 南山 湖南教育出版社

3李永新 李德禄 中学数学教材教法M 东北师大出版社 4用柯西不等式解释样本线性相关系数J 数学通讯 2004年第七期

柯西不等式的证明

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

关键词：柯西不等式 证明 应用

柯西（Cauchy）不等式

22222

a1b1a2b2anbna12a2anb1b2bn

2

22

aibiR,i1,2n

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x)a1xb1a2xb2anxbn

2

2

2

2n222n=a12a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn

a1a2an0

22n

fx0恒成立

4a1b1a2b2anbn4a1a2an

2

2

2

n

b

2

2

1

b2bn0

2

n

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即a1b1a2b2anbna1a2an

2

2

2

n

b

21

b2bn

anbn

当且仅当aixbix0i1,2n 即证明（2）数学归纳法

a1b1



a2b2

时等号成立

（1）当n1时 左式=a1b1 右式=a1b1 显然 左式=右式 当

n2

2

22

时，

2

右式

a1a2

2

2

b1b2a1b1a2b2a2b1a1b2

2

2

2

2

2

2

22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

2

仅当即 a2b1a1b2 即

a1b1



a2b2

时等号成立

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立 即 a1b1a2b2akbka1a2ak

2

2

2

k

b

21

b2bk

2

k

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

22222

设a12a2ak b1b2bk

Ca1b1a2b2akbk

则ak21bk21bk21ak21bk21

C2Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1

2

2

2

22 a12a2ak

2

ak

2



1

b1

2

b2

2

2

k

b

2

k

b

2

1

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即 nk1时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。举例，证明不等式：

例1：已知正数a,b,c满足abc1 证明 abc证明：利用柯西不等式

3

3

3

abc

3

222

a

2

bc

22



2

13131

3a2a2b2b2c2c2 

2

323232

a2b2c2abc abc

3

3

2

3

abc abc1

2

2

2

2

2

2

又因为 abcabbc2，再加上abc 在此不等式两边同乘以ca得：abc3a2b2c2

abc

2

2

2



2

abc

3

3

3

3a

2

bc

22



故abc

333

abc

3

222

2222

例2：已知实数a,b,c,d满足abcd3， a2b3c6d5试求a的最值

解：由柯西不等式得，有

2b

2

3c6d

22

236bcd





2

111

2

即2b23c26d2bcd 由条件可得， 5a23a 解得，1a

21323

1613

2



ax



时等号成立，

代入b1,c b1,c

,d,d

时， am

2

时 am

in

1

参考文献：1 柯西不等式的微小改动 J 数学通报 2002 第三期 2柯西不等式与排序不等式M 南山 湖南教育出版社

3李永新 李德禄 中学数学教材教法M 东北师大出版社 4用柯西不等式解释样本线性相关系数J 数学通讯 2004年第七期